初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式

1、第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2根据待求式的特点，模仿套用公式； 3对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(2019一a)=2019，

2、那么(2000一a)2+(2019一a)2= (重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(2019一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律一公式 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法 乘法公式常用的变形有： (1)， (2)； (3) ；（4），【例2】 若x是不为0的有理数，已知，则M及N的大小是（ ）AM>N B M<N

3、 C M=N D无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小【例3】 计算： (1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(天津市竞赛题) (2)1.345×0.345×2.691.3452一1.345×0.3452(江苏省竞赛题)思路点拨 若按部就班计算，显然较繁能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征【例4】 (1)已知x、y满足x2十y2十2x十y，求代数式的值 (“希望

4、杯”邀请赛试题)(2)整数x，y满足不等式，求x+y的值 (第14届“希望杯”邀请赛试题) (3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由 (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法及手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项及重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小注： 有些

5、问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)； 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题 (2)应用于代数式的最值问题 代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量 【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数 证明：(1)b及c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数思路点拨 从的变形入手；，运用质数、奇偶数性质证明学力训练1观察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(

6、x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根据前面的规律可得(x一1)(x n+x n-1+x+1)= (武汉市中考题)2已知，则= (杭州市中考题)3计算： (1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+20192一20192+20192 = ； (3)4如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 (大原市中考题)5已知，则= (菏泽市中考题)6已知，则代数式的值为( ) A一15 B一2 C一6 D6 (扬州市中考

7、题)7乘积等于( )A BC D (重庆市竞赛题)8若，则的值是( ) A4 B20192 C 22019 D420199若，则的个位数字是( ) A1 B3 C 5 D710如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A BC D (陕西省中考题)11(1)设x+2z3z，判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1) (

8、上海市中考题)12一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察： (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； (2)根据(1)，计算2000×2019×2019×2019+1的结果(用一个最简式子表示) (黄冈市竞赛题)14你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1)通过计算，探索规律 152225可写

9、成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；4522025可写成100×4×(4+1)+25；7525625可写成；8527225可写成(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2=(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952 (福建省三明市中者题)15已知，则= (天津市选拔赛试题)16(1)若x+y10，x3+y3=100，则x2+y2(2)若a-b=3，则a3-b3-9ab 171，2，3，98共98个自然数中

10、，能够表示成两整数的平方差的个数是 (初中数学联赛)18已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=( ) A4 B0 C2 D一219方程x2-y2=1991，共有( )组整数解 A6 B7 C8 D920已知a、b满足等式，则x、y的大小关系是( ) Axy Bxy Cx<y Dx>y (大原市竞赛题)21已知a=2019x+2000，b2019x+2019，c2019x+2019，则多项式a2+b2+c2一abbc-ac的值为( ) A0 B1 C2 D3 (全国初中数学竞赛题)22设a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值 (西安市竞赛题)23已知a满足等式a2-a-1=0，求代数式的值 (河北省竞赛题)24若，且，求证： (北京市竞赛题)25有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y1顺次表示第一号选手胜及负的场数；用x2，y2顺次表示第二号选手胜及负的场数；用x10、y10顺次表示十号选手胜及负的场数 求证：26（1）请观察： 写出表示一般规律的等式，并加以证明 (2)2652+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32 任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这