材料力学杆件的变形计算实用教案

1、4 4、x x点处的纵向(zn xin)(zn xin)线应变：xxxdlim 06 6、x x点处的横向(hn xin)(hn xin)线应变：5 5、杆的横向(hn (hn xin)xin)变形：accaacacac第1页/共61页第一页，共62页。二、拉压杆的弹性二、拉压杆的弹性(tnxng)(tnxng)定律定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等内力、等内力(nil)(nil)拉压杆的弹拉压杆的弹性定律性定律2 2、变内力、变内力(nil)(nil)拉压杆的弹性拉压杆的弹性定律定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1d内

2、力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xd xN(x)dxx第2页/共61页第二页，共62页。 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、单向应力状态、单向应力状态(zhungti)(zhungti)下的弹性下的弹性定律定律 1:E即4 4、泊松比（或横向、泊松比（或横向(hn xin)(hn xin)变变形系数）形系数） :或)1 (2EG第3页/共61页第三页，共62页。EAlFlNlxEAxFl)(dNniiiiEAlFl1N第4页/共61页第四页，共62页。是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要

3、的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635(1635一1703)1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前15001500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系(gun x)(gun x)的记载。 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令(ji ln)弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)第5页/共61页第五页，共62页。“”胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之是什么意思? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初

4、始应力，处于自然状态。 第6页/共61页第六页，共62页。 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。 其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描

5、述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在第7页/共61页第七页，共62页。第8页/共61页第八页，共62页。BCABlllABABABABEAlFlN800102004001040331 . 0mm167. 024010200400102033NBCBCBCBCEAlFl067mm. 0167. 01 . 0BCABlll第9页/共61页第九页，共62页。例题(lt)4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， ，拧紧后，l 0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 (b) 螺栓的横向变形d第10页/共61页第十页

6、，共62页。解：1) 求横截面正应力(yngl)4-10.4175404. 0llMPa 2 .1481041. 710200 43E2) 螺栓(lushun)横向变形 41022. 2mm 00340i.dd 螺栓直径螺栓直径(zhjng)缩小缩小 0.0034 mml = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， ，l 0.04 mm第11页/共61页第十一页，共62页。第12页/共61页第十二页，共62页。第13页/共61页第十三页，共62页。030sinFFAC80kN2FFAC030cosACBCFFkN340BCF第14页/共61页第十四页，共62页。111AEl

7、FCClACACAC96010200cos30/1000108033481mm. 0222AElFCClBCBCBCmm277. 050002100110001030433第15页/共61页第十五页，共62页。0.277mm2CCCx44mm. 1cot30sin30/21CCCCCy47mm. 122xyCCC0.278mmxC44mm. 1yC第16页/共61页第十六页，共62页。第二节第二节 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形(bin xng)(bin xng)及相对扭转及相对扭转角角xGIMpxddpxGIMxddpGIpGI第17页/共61页第十七页，共62页。pxGIMxddlpxxGI

8、M0dpxGIMpxGIlMnipiixiGIlM1第18页/共61页第十八页，共62页。第19页/共61页第十九页，共62页。pABxABABGIM320.061080140049m/01375rad. 0pBCxBCBCGIM320.04108080049m/03978rad. 0第20页/共61页第二十页，共62页。第21页/共61页第二十一页，共62页。CBDCDBpCBxCBpDCxDCGIlMGIlM18013180GIpMaaGIpM540第22页/共61页第二十二页，共62页。aGIpM540ppIMdIdM232maxmaxppIMdIdM232maxmax400108010

9、80403540233aGIIdpp81MPa.69第23页/共61页第二十三页，共62页。pBABApCBCBACGIlMGIlM180pGIMa718033. 237DB第24页/共61页第二十四页，共62页。第三节第三节 梁的变形梁的变形(bin xng)(bin xng) 梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格(hg)；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。第25页/共61页第二十五页，共62页。第26页/共61页第二十六页，共62页。 梁在平面内弯曲时，梁轴线(zhu

10、 xin)从原来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。 某截面的竖向位移，称为(chn wi)该截面的挠度 某截面的法线方向(fngxing)与x轴的夹角称为该截面的转角 xfyxfw11)(或)(2xf第三节第三节 梁的变形梁的变形第27页/共61页第二十七页，共62页。第28页/共61页第二十八页，共62页。 坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。 挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 转角(zhunjio)的符号规定：逆时针转向的转角(zhunjio)为正； 顺时针转向的

11、转角(zhunjio)为负。第29页/共61页第二十九页，共62页。xywddtantantanddxyw第30页/共61页第三十页，共62页。zEIxMx)()(1zEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( wx )(1第31页/共61页第三十一页，共62页。zEIxMw)( zEIxMw)( 第32页/共61页第三十二页，共62页。用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变变形形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z第33页/共61页第三十三页，共62页。 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的

12、已知边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为条件称为(chn wi)(chn wi)边界条件。边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为的已知条件称为(chn wi)(chn wi)连续条件。连续条件。 积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： 积分常数积分常数2n2n个个=2n=2n个个 边界条件边界条件+ +连续条件连续条件第3

13、4页/共61页第三十四页，共62页。 积分常数的物理积分常数的物理(wl)(wl)意义和几何意义意义和几何意义 物理物理(wl)(wl)意义：将意义：将x=0 x=0代入转角方程和挠曲线方程，得代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的即坐标原点处梁的转角，它的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数C C；坐标原点；坐标原点处梁的挠度的处梁的挠度的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数DD。 几何意义：几何意义：CC转角转角 D D挠度挠度第35页/共61页第三十五页，共62页。CxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0

14、 xlx 0|lxw0|lx用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第36页/共61页第三十六页，共62页。CxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xax用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第37页/共61页第三十七页，共62页。积分常数(chngsh)C(chngsh)C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。0 Aw0 Aw0 A Aw位移(wiy)(wiy)边界条件光滑(gung hu)(gung hu)连续条件ARALww ARAL ARALww 弹簧变形弹簧变形 第38页/共61页第三

15、十八页，共62页。 利用积分法求梁变形的一般步骤：利用积分法求梁变形的一般步骤： 建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；支座反力，分段列弯矩方程； 分段列出梁的挠曲线分段列出梁的挠曲线(qxin)近似微分方程，并近似微分方程，并对其积分两次；对其积分两次； 利用边界条件，连续条件确定积分常数；利用边界条件，连续条件确定积分常数； 建立转角方程和挠曲线建立转角方程和挠曲线(qxin)方程；方程； 计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。在截面。第39页/共61页第三

16、十九页，共62页。BBw用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变变形形第40页/共61页第四十页，共62页。)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第41页/共61页第四十一页，共62页。ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212CFl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323用积

17、分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第42页/共61页第四十二页，共62页。lxEIFxEIFlEIlxF2222)(22xlEIFxEIFlEIxFlEIlxFw36626)(2323EIFlB22EIFlwB33用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第43页/共61页第四十三页，共62页。用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第44页/共61页第四十四页，共62页。lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2lxa用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第45页/共61页第四十五页，共62页。

18、11xlFbwEI 12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第46页/共61页第四十六页，共62页。12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw01x0Awlx 0Bwaxax21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形

19、第47页/共61页第四十七页，共62页。)3(622211lbxlFbEI122311)(6xlbxlFbwEI2222222)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(222用积分法求梁的弯曲用积分法求梁的弯曲(wnq)(wnq)变形变形第48页/共61页第四十八页，共62页。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第49页/共61页第四十九页，共62页。一、载荷叠加：多个载荷同时一、载荷叠加：多个载荷同时(tngsh)(tngsh)作用于结构而引起的作用于结构而引起的变形变形 等于每

20、个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构二、结构(jigu)(jigu)形式叠加（逐段刚形式叠加（逐段刚化法）：化法）：第50页/共61页第五十页，共62页。结构形式叠加（逐段刚化法) 原理(yunl)说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf第51页/共61页第五十一页，共62页。lxaaxEIFawaxxaEIFxw360362

21、2EIFaB22alEIFawB362xlxlEIlMxw26EIMlEIMlBA63EIMlwlxEIMlwllxl16,239,3222max叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形(bin xng)(bin xng)第52页/共61页第五十二页，共62页。2/2qlM 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形(bin xng)(bin xng)第53页/共61页第五十三页，共62页。CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAAMEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形(bin xng)(bin xng)第54页/共61页第五十四页，共62页。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形(bin xng)(bin xng)第55页/共6