春固体物理习题解答参考实用教案

1、 11、描述同一晶面时，米勒指数和晶面指数一定相同吗？ 12、怎样判断晶体对称性的高低？讨论对称性有什么意义？ 13、六角网状二维格子是不是布拉维格子？如果是，写出其基矢；如果不是，请挑选合适的格点组成(z chn)基元，使基元的中心构成布拉维格子。 14、填写下表的中的数据晶体结构晶体结构scbccfcc金刚石金刚石配位数晶胞中的原子数密堆积时的刚性原子球半径（晶格常数为 ）致密度=刚性原子球体积/晶胞体积a 习题(xt)：1、3、5、6、7、9、10、11、12、13、14、第1页/共32页第一页，共33页。1a2ajaiaajaiaa232232212123333()022222001d

2、ijkaaaaaaaaij 取单位取单位(dnwi)(dnwi)矢量矢量 垂直于垂直于 , ,原胞体积，原胞体积，kji、ka3aij1.1 1.1 对二维正六方晶格，若其对边之间的距离对二维正六方晶格，若其对边之间的距离(jl)(jl)为为 。 （1 1）写出正格子基矢）写出正格子基矢 和倒格子基矢和倒格子基矢 的表示式；的表示式； （2 2）证明其倒格子也是正六方格子；）证明其倒格子也是正六方格子；12,aa12,b ba第2页/共32页第二页，共33页。倒格子倒格子(g zi)(g zi)原胞基矢，原胞基矢，1232223dbaaijaa2312223dbaaijaa 所以所以(suy)

3、(suy)，倒格子也是正六方格子。，倒格子也是正六方格子。正六边形的对称正六边形的对称(duchn)(duchn)操作：操作：绕中心转动：绕中心转动： 1 1、 1 1个；个； 2 2、 1 1个；个； 3 3、 4 4个（个（6060度、度、120120度、度、240240度、度、300300度）；度）；绕对边中心的联线转绕对边中心的联线转180180度，共度，共3 3条；条；绕对顶点联线转绕对顶点联线转180180度，共度，共3 3条；条；以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共2424个对称操作个对称操作C2C3C第3页/共32页第三页

4、，共33页。晶胞晶胞(jn(jn bo) bo)基矢：基矢：cbakacj abi aa,cba3a1a2a与晶胞坐标系对应与晶胞坐标系对应(duyng)(duyng)的倒格子基矢：的倒格子基矢：kacjabiaa2,2,2321aaa)(21kjaa)(22kiaa)(23jiaa原胞基矢原胞基矢与原胞坐标系对应的倒格子与原胞坐标系对应的倒格子( (体心体心(t xn)(t xn)立方立方) )基矢：基矢：)()(2)()(2)()(2321cbakjiabcbakjiabcbakjiab 面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指

5、为 ，求在原胞基矢坐，求在原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。标系中，该晶面族的晶面指数。第4页/共32页第四页，共33页。与晶面族与晶面族 垂直垂直(chuzh)(chuzh)的倒的倒格矢：格矢：32121)(2121332211321hhhhklGpbhbhbhpbkhbhlblkc lbkahG得到得到(d do):(d do):)(hlk)(21)(21)(21211332bbcbbbbba 是是 的最大公约数。的最大公约数。 khhllk,p已知晶面密勒指数已知晶面密勒指数(zhsh) (zhsh) ，可得到原胞坐标系下，可得到原胞坐标系下的晶面指数的晶面指数(zhsh)(zhsh

6、)：khhllkphhh1)(321)(hlk第5页/共32页第五页，共33页。 硅半导体是金刚石结构，设其晶格常数为 （1）画出（1,1,0）面二维格子(g zi)的原胞，并写出其基矢； （2）画出（1,1,0）面二维格子(g zi)的第一、第二布里渊区；aaa21a2a解、解、 金刚石结构（金刚石结构（110110）面上）面上(min shn(min shn) )格点分布，选择原胞如图所示，格点分布，选择原胞如图所示， i aa221j aa222122000022aakjikaak，原胞矢：原胞矢：原胞体积原胞体积(tj)(tj)：第6页/共32页第六页，共33页。根据定义根据定义(dn

7、gy)(dngy)，（，（110110）面二维晶格的倒格子基矢）面二维晶格的倒格子基矢, ,jaj akaakbiakj aakab22222222222212221倒格矢倒格矢, , 2, 1, 0,2221212211hhjhihabhbhGh得到得到(d do)(d do)布里渊界面方程布里渊界面方程, ,222122212222221hhakhkhaGGkyxhh22212122hhakhkhyx第7页/共32页第七页，共33页。得到第一、第二得到第一、第二(d r)(d r)布里渊界面方程布里渊界面方程, ,akhhakhhakkhhakhhkhhyxyxyx2,2,022,0,23

8、2, 1, 1, 1,022,0, 12121212121在倒格子空间画出第一在倒格子空间画出第一(dy)(dy)、第二布里渊区示意图、第二布里渊区示意图, ,xkyka/a/2a/3a/2a2/3a/22第8页/共32页第八页，共33页。3a1a2a面心立方面心立方(lfng)(lfng)晶胞与元胞晶胞与元胞 cba原胞基矢，原胞基矢，12322aaaa)(21kjaa)(22kiaa)(23jiaa1.4 1.4 求面心立方求面心立方(lfng)(lfng)晶格最大面密度晶面族，写出最大面密度晶格最大面密度晶面族，写出最大面密度表达式；表达式；第9页/共32页第九页，共33页。倒格子倒格子

9、(g zi)原胞基矢，原胞基矢，12bijka22bijka32bijka倒格矢，倒格矢，1122331231231232hGh bh bh bhhhihhhjhhhka),3,2, 1,0,(321hhhcba1b2b3b4a第10页/共32页第十页，共33页。晶面族晶面族 的面间距的面间距(jin j)(jin j)，)(321hhh2221231231232hadGhhhhhhhhh314a上式中等效晶面指数上式中等效晶面指数1,0,01,0,0晶面族、（晶面族、（1,1,1)1,1,1)、(-1,-1,-1)(-1,-1,-1)晶面对应晶面对应(duyng)(duyng)的面间距最大，

10、面间距，的面间距最大，面间距， 3ad 最大面密度，最大面密度，324433adaa格点体密度格点体密度(md)(md)，第11页/共32页第十一页，共33页。(111)2aa2a格点面密度，格点面密度，(111)1/61/6属于属于(shy)(shy)该等边三角形该等边三角形1/21/2属于属于(shy)(shy)该等边三角形该等边三角形等边三角形面积等边三角形面积(min (min j)j)，021322sin6022Saaa2243Sa第12页/共32页第十二页，共33页。hklcab晶胞晶胞(jn bo)(jn bo)基矢基矢kacjabiaa,倒格子倒格子(g zi)基矢基矢222,

11、ai bj ckaaa222hklGhikjlkaaa倒格矢倒格矢2222hklhkladGhkl(,0,1,2,3,)h k l 立方立方(lfng)(lfng)晶系晶面族晶系晶面族 的面间距，的面间距， 1.5 1.5 求立方晶系晶面族求立方晶系晶面族 的面间距；的面间距；hkl第13页/共32页第十三页，共33页。 1.6 1.6 画出二维正方格子的第画出二维正方格子的第1 1、2 2、3 3布里渊区及对应布里渊区及对应(duyng)(duyng)的布里渊区界面方程；的布里渊区界面方程； 晶格晶格(jn )基基矢矢123,aai aaj ak1a2a倒格子倒格子(g zi)基基矢矢123

12、22baaia21322baaja1b2b第14页/共32页第十四页，共33页。倒格矢倒格矢jahiahG2221倒格子空间倒格子空间(kngjin)任意矢量任意矢量jkikkyx代入布里渊区界面代入布里渊区界面(jimin)方程，方程，221GGk222121hhakhkhyx），（ 21021hh第15页/共32页第十五页，共33页。界面界面(jimin)方方程：程：akakakakyyxx,akxxkakxakyakyyk离原点最近离原点最近(zujn)的个倒格点的个倒格点)1,0(),1,0(),0, 1(),0, 1(21212121hhhhhhhh第第1布里渊区：布里渊区：原点原点

13、第16页/共32页第十六页，共33页。离原点次近邻离原点次近邻(jn ln)有个倒格点有个倒格点)1, 1(),1, 1(),1, 1(),1, 1(21212121hhhhhhhh界面界面(jimin)方程：方程：akkakkakkakkyxyxyxyx2222与第与第1布里渊区界面布里渊区界面(jimin)围成的区域为第围成的区域为第2布里渊区布里渊区第第2布里渊区：布里渊区：第17页/共32页第十七页，共33页。第第3布里渊区：布里渊区：离原点再次离原点再次(zi c)远有个倒格点远有个倒格点)2,0(),2,0(),0,2(),0,2(21212121hhhhhhhh界面界面(jimi

14、n)方程：方程：akakakakyyxx2,2,2,2与第与第1、2布里渊区界面布里渊区界面(jimin)围成区域为第围成区域为第3布里渊布里渊区区第18页/共32页第十八页，共33页。底心格点与顶角格点周围情况完全相同，构成简底心格点与顶角格点周围情况完全相同，构成简单立方布拉菲格子单立方布拉菲格子(g zi)(g zi)。 注意：立方晶系不存在底心立方点阵，因为它失注意：立方晶系不存在底心立方点阵，因为它失去四条去四条3 3次轴，只保留一条次轴，只保留一条4 4次轴，成为简单立方晶次轴，成为简单立方晶格。格。晶胞晶胞(jn(jn bo)bo)：abcakacj abi aa,3acab晶胞

15、晶胞(jn(jn bo) bo)含个格点含个格点基矢基矢体积体积 底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；第19页/共32页第十九页，共33页。 简述(jin sh)非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征和性质 多晶体多晶体 粒子在微米尺度内有序排粒子在微米尺度内有序排列形成列形成(xngchng)(xngchng)晶粒，晶粒，晶粒随机堆积晶粒随机堆积固体(gt(gt) 晶体晶体粒子在微米尺度有粒子在微米尺度有序排列（长程有序）序排列（长程有序） 准晶体准晶体粒子有序排列介于晶体和非粒子有序排列介于晶体和非晶体之间。但没有平移对称晶体之间。但没

16、有平移对称性、只具有性、只具有5 5重旋转对称性。重旋转对称性。 单晶体单晶体粒子在整个固体中严格周期性排列，粒子在整个固体中严格周期性排列，具有严格的平移对称性、具有具有严格的平移对称性、具有8 8种基种基本点对称操作性。本点对称操作性。 非晶体非晶体粒子在几个原子范粒子在几个原子范围排列有序（短程围排列有序（短程有序）有序）（1）非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征第20页/共32页第二十页，共33页。（2）非晶、单晶、多晶、准晶的性质(xngzh) 多晶体多晶体各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状(xngzhun)(xngzhun)、没有解理性

17、没有解理性准晶体准晶体(jngt)(jngt) 单晶体单晶体自限性自限性-自发生长的晶体具有固定几何外形自发生长的晶体具有固定几何外形解理性解理性 -沿某些晶面方位容易劈裂的性质沿某些晶面方位容易劈裂的性质熔点固定熔点固定 -达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再上升。达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再上升。各向异性各向异性 - 晶体的性质与方向有关晶体的性质与方向有关对称性对称性 - 晶体性质在某些特定方向上完全相同晶体性质在某些特定方向上完全相同 非晶体非晶体没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性没有固定熔点、没有固定几

18、何形状、各项同性、没有解理性第21页/共32页第二十一页，共33页。acb体心立方(lfng)晶胞面心立方(lfng)晶胞cba（100100）面格点分布）面格点分布(fnb)(fnb)（100100）面格点分布）面格点分布aaaa 画出体心立方和面心立方（100）、（110）和（111）面上的格点分布图第22页/共32页第二十二页，共33页。（111111）面格点分布）面格点分布(fnb)(fnb)（111111）面格点分布）面格点分布(fnb)(fnb)2a2a2a2a（110110）面格点分布）面格点分布(fnb)(fnb)a2aa2a（110110）面格点分布）面格点分布第23页/共3

19、2页第二十三页，共33页。 对一定(ydng)的布拉维格子， 的选择不是唯一的，对应的 也不 是唯一的。因而有人说一个布拉维格子可以对应几个倒格子，对吗？复式 格子的倒格子也是复式格子吗？123,aaa123,b bb答：对一定的布拉菲格子，原胞基矢的选择不是唯一的，所对应的倒格子基矢因此答：对一定的布拉菲格子，原胞基矢的选择不是唯一的，所对应的倒格子基矢因此也不是唯一的。但当原胞基矢一旦也不是唯一的。但当原胞基矢一旦(ydn)(ydn)确定，所对应的倒格子基矢也唯一确定，确定，所对应的倒格子基矢也唯一确定，倒格子也唯一确定。因此，说一个布拉菲格子可以对应几个倒格子是不正确的。倒格子也唯一确定

20、。因此，说一个布拉菲格子可以对应几个倒格子是不正确的。 复式格子的原胞基矢所对应的倒格子基矢所生成倒格子不是复式格子。复式格子的原胞基矢所对应的倒格子基矢所生成倒格子不是复式格子。1. 11 描述同一晶面时，密勒指数和晶面指数一定(ydng)相同吗？答：除简单立方晶格外，其它类型晶体结构的晶体，在描述同一晶面时，其密勒答：除简单立方晶格外，其它类型晶体结构的晶体，在描述同一晶面时，其密勒指数和晶面指数是不相同的。指数和晶面指数是不相同的。第24页/共32页第二十四页，共33页。 怎样判断晶体对称性的高低？讨论对称性有什么(shn me)意义？答：一个体系具有的对称性操作越多，该体系的对称性越高

21、。反之越低。答：一个体系具有的对称性操作越多，该体系的对称性越高。反之越低。 通过对一个体系的对称性分析，可以确定该体系的晶体结构类型和结构特殊通过对一个体系的对称性分析，可以确定该体系的晶体结构类型和结构特殊性。从该晶体结构所属类型所具有的共同性质，从而断定该体系的一些重要性。从该晶体结构所属类型所具有的共同性质，从而断定该体系的一些重要(zhngyo)(zhngyo)性质。同时，从该体系的特殊对称性，可以进一步分析该体系所具性质。同时，从该体系的特殊对称性，可以进一步分析该体系所具有的独特性质。是分析了解未知体系的一种重要有的独特性质。是分析了解未知体系的一种重要(zhngyo)(zhng

22、yo)途径。途径。 第25页/共32页第二十五页，共33页。a六角六角(li jio)(li jio)网状的顶点构成的二维格网状的顶点构成的二维格子，子， 六角网状二维格子是不是布拉维格子？如果是，写出其基矢；如果不是，请挑选合适的格点组成(z chn)基元，使基元的中心构成布拉维格子。第26页/共32页第二十六页，共33页。 解：是由红色代表的原子构成的二维菱形格子与黑色代表的原子构成的二解：是由红色代表的原子构成的二维菱形格子与黑色代表的原子构成的二维菱形格子沿正六边形边长方向相互移动一个边长长度维菱形格子沿正六边形边长方向相互移动一个边长长度(chngd)(chngd)套购而成套购而成的

23、复式格子。其二维点阵和其元胞基矢如图所示：的复式格子。其二维点阵和其元胞基矢如图所示：1a2a第27页/共32页第二十七页，共33页。晶体结构晶体结构scbccfcc金刚石金刚石配位数68124晶胞中的原子数1248密堆积时的刚性原子球半径（晶格常数为 ）致密度=刚性原子球体积/晶胞体积a 填写(tinxi)(tinxi)下表的中的数据638283162ar 34a24a38a计算(j sun)(j sun)过程如下： 第28页/共32页第二十八页，共33页。硬球体积硬球体积(tj)3ad334rV（1 1）scsc2ar ，晶胞，晶胞(jn(jn bo) bo)中原子数：中原子数：abc（2 2）体心）体心(t xn)(t xn)立方（立方（bcc)bcc)aaaar43412223adacb致密度致密度334326aa，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：致密度致密度33433438aa2第29页/共32页第二十九页