测量万有引力常数G之自由落体法

1、测量万有引力常数G之自由落体法摘要：引力常数G是一种最基本的物理常量，虽然经过了两个多世纪科学家的努力实践，其仍是测量精度最差的基本物理常量。本着和天体物理、理论物理等紧密相关的原则，其测量的准确性甚至在物理实验都占据了重要的地位。通过说明测量万有引力常数的历史，介绍实验室测量的引力常数，本实验利用高精度绝对重力仪测量扰动质量所产生的重力变化，再运用具有强大可重复性和大量重复观测的自由落体方法，整个实验要严格控制误差，测得了精度较高的引力常数是 (6.6665±0.0554)×/(kg·) 关键词：绝对重力仪；引力常数G；自由落体；重力目 录1 测量万有引力常数G

2、的过去与现在11.1 测G 的过去11.2 测G 的现在12 简述测量引力常数的实验室方法23 用自由落体法测量G33.1 自由落体法原理33.2 测量53.2.1 扰动质量形状及位置的确定53.2.2 重力加速度的测量53.3 计算过程63.4 计算结果63.5 误差分析74 实验结论85 结束语8参考文献91 测量万有引力常数G的过去与现在1.1 测G 的过去 天体物理学、理论物理等紧密关注一个基本的物理常数，即万有引力常数G。它测量的准确性非常重要，明确了引力相互作用对天体物理学和理论物理精确的测量具有重要的意义。两个多世纪以前,科学家是识别和测量引力常数G，随着时间的推移和社会的进步，

3、尽管有些许进步，但G仍是测量精度最差的基本物理常量。牛顿猜想两个测试方法：一个是利用引力公式求G值，前提是要测出两物体间的引力；另一个是使用附近山里的单摆偏角测量G值。因为当时条件有限,这两个猜想都没有实践。直到后来，天文学家马斯基林测引力常数是使用了山脉吸引物体的方法，但其结果误差很大而且不是很稳定。这是因为山很难准确确定其质量。英国物理学家卡文迪许(Cavendish)首次对G值做出了精确测量，但他最初的想法是计划明确地球的质量，他测出的质量值约为6.6×T，水的密度约为其的，G的实验测量值为(6.754±0.041)×/(kg·)，这是用扭称发测出

4、的结果。随后部分人认为，万有引力常数G有可能是距离的函数，在小于1000 km的距离范围内。引力常数G的测量常用的有地球物理测量、实验室测量和空间测量三类构成。空间测量方法面临着许多新的技术问题，尚在探索中。测量G通过测量重力的变化，是地球物理学的主要方法。虽然引力明显，但低于扭力天平实验的准确性。实验室测量高分辨G值的主要手段，常用的工具是一个精密扭力天平。直接倾斜法、循环法和共振法是扭秤测量万有引力常数的几种方法。扭秤周期法是一种运用最多的理想的测量方法。扭秤装置虽然无法进行重复测量、测试几何形状，但是外部引力的干扰和噪声却可以有效地被消除，但还是导致了许多实验误差上的影响因素。1.2 测

5、G 的现在Boer等于1987年通过扭秤法测得的万有引力常数G值为(6.667±0.0007)×/(kg·)。1995年，Walesch 等利用钟摆共鸣法测得G为(6.6719±0.0008)×/(kg·)。1998年，Schumacher等利用改进过的实验，得到了新的结果 (6.6637±0.0004 ±0.0044)×/(kg·)。Fitzgerald和Arms- trong以及Michaelis分别利用扭秤法在1995年测得G为(6.6656± 0.00063)×/(k

6、g·)和 (6.7154±0.00055)×/(kg·)。Schurr 在1998年测得万有引力常数G为(6.6754±0.0015)×/(kg·)。罗俊使用长周期，高Q值扭力天平在一个恒定的温度、振动隔离、以及外部的引力干扰较小的环境中，严格控制诸多影响因素，最后测出的G值的相对精度有105 ppm （1ppm=1×），其值为(6.6699±0.0007)×/(kg·) 。近年来, Gundlach、Merkowitz和Quinn等、Schlamminger 等以及Armstrong

7、和Fitzgerald先后测量出相对测量精度高于50 ppm的G值。2005年，在 HUST-99工作中，结果进行了一次修正，其原因是因为质量密度的不均匀性，修正结果为(6.6723±0.0009)×/(kg·)，这是Hu等人最早发现的。 2 简述测量引力常数的实验室方法由上文可知，地球物理方法、空间以及实验室测量为引力常数G的主要测量方法。地球物理方法是使用大型自然对象(如形状规则的矿山等)以吸引质量,这种方法的优势是引力效应是显著的。因为吸引质量规则物体大，故其吸引质量、密度和分布的规模不能精确测量，从而精度低。地面实验室出现了两个问题：一个是易受到地面振动噪

8、声的影响；第二个是地面实验室易受到背景引力场的影响。为了有效避免这两个问题，空间测量被投入大量期望。但依现状来看，空间测量方法面临许多新的技术挑战，尚在探索。 精密扭秤比地球物理方法优越，表现在它能够使吸引质量与即将检测的检验质量间的相互作用的万有引力放置在水平面垂直的方向地球重力场。这使得实验设计，大大降低了重力和波动影响。进而精密扭秤成为常见的实验室测量工具，主要的测量方法：倾斜法、共振法、补偿法和自由落体，下面的讨论在自由落体测量G上进行。3 用自由落体法测量G自由落体测G是一种测量精度低于扭秤的方法，而扭秤测定引力常数G是容易受到外界干扰的影响，但是二者系统误差有差异，所以可以充分利用

9、扭秤的方法的结果，以测量引力常数G。在施瓦茨实验的基础上，从不同的区域和不同的时间上来使用绝对重力仪，测量万有引力常数G，从而提高其准确性。3.1 自由落体法原理重力加速度g与位移z对时间的二阶导数的关系为 （1）（1）式的解为：Z（t）= （2）为初始位移，为初始速度。假若与重力梯度的影响有关，重力加速度g与位移z对时间的二阶导数的关系 ：+z (3) 其中式中为梯度。绝对重力仪的理论计算公式是Z（t）= (4)(4)式是(3)式的解，测定出位移Z（t），该位移是自由落体质量在时间t上所对应的，再用最小二乘法解得局部重力加速度和扰动重力加速度之和。 若考虑到扰动质量，则 (3)式变为二阶常微

10、分方程： + z+ P(z, G) （5）P(z, G) 为扰动加速度，由上式解得不同时间t对应不同位移z(t)，重力加速度 作用的结果就是此时的位移时间数据对。（6）式可求得扰动加速度: P(z, G)= (6)为落体质量， 为落体密度，为扰动质量密度， 为落体体积，为扰动质量体积，G为万有引力常数。如果扰动质量和落体质量都是圆柱体，且前者为空心的，则在柱坐标下则有：P(z,G)= （7）假定值给定的前提下，落体的上下两个位置放置的扰动质量所得到的差值，就是此时的理论值。绝对重力仪测得实测，又G与g是线性关系，则由（8）式可得实测的精确的G值： （8）为什么不使用一个位置处重力值而要使用上下

11、两个不等处的引力差异值呢？一是因为测量信噪比由此提升，二是因为外界影响可以在短的时间内消除。测量原理图如下图1所示。 图1 测量原理图3.2 测量3.2.1 扰动质量形状及位置的确定空心圆环形用来提高对称性。扰动质量的设计就用这种样式，绝对重力仪可以放置在空心部分。这样设计形状是根据相等的高度和直径的原理，因为，同样质量的前提下，当几乎相等的高度和直径，生成最大扰动加速度。扰动质量的材料选择铅，一是由于铅的密度大，二是由于金属如铅、钨相比更经济。在实验前测量铅块的质量、密度、形状以及大小的量。在同一时间，确定使用非磁性的材料。重力仪扰动加速度计算表明，有两个极端值（如图2所示)，铅块处于这两个

12、值时，扰动重力差最大。 图2高度的变化对扰动重力加速度影响的走势图3.2.2 重力加速度的测量在实验进行时，为了进行校正，就得用重力仪测定相对重力。扰动质量重力值的测量，必须测量其在最佳位置的上部和下部时的值，并利用FG5绝对重力仪。重复测量一定的时间，可以通过以下方式获得一定数量的重力值。此实验共进行了两次测量，第一次测量进行了12h 20min，总计有3800次落体，共测得38个重力数据(如图3(a)。第二次测量进行了26h 50min，共计有3780次落体，共测得54个重力数据(如图3(b)。 图3 实测重力数据3.3 计算过程（i）因为FG5重力仪只能测量绝对重力值，所以要修改仪表的测

13、量软件。要得到微分方程(5)式的解，就要先明确落体质量初始位移、速度以及初始和结束时间。 （ii）根据(5)式，采用四阶Runge-Kutta法解二阶常微分方程，从而得到不同时间所对应的位移。为了获得一组位移时间数据对的理论值，重力仪记录了落体质量自由下落时的150个数据对。因为下落过程中位移的变化，所以每个位移均要利用(2)式进行数值积分。 （iii）理论重力加速度的计算，可以由(3)式所得的位移时间数据对结合(4)式的最小二乘法计算求得。在给定G值条件下，扰动重力差的理论值是扰动质量分别置于上下最佳位置时的重力差值。 （iv）FG5测得的绝对重力值的改正要用重力仪记录的相对重力值来进行，消

14、除极地运动、地球潮汐、气压等影响。采用三段重力差分法，实测重力数据。扰动重力差测量值需要使用正确的数据。 （v）计算实测万有引力常数G可用关系式：3.4 计算结果在第一次测量中，其特征在于，一组的重力差大于两倍，因错误而丢弃，并最终为18套重力差，图4所示的（a）中的引力常数G平均值计算，可以通过以下方式获得6.6771×/(kg·)在第二次测量，丢弃7个重力差误差较大的组，20个组的重力差，通过以下计算方式获得引力常数G的值，如图4（b）所示，其平均值6.6558×/(kg·)。 两个实验中得到的最终值6.6665×/(kg·)图4

15、 实测G的结果3.5 误差分析影响G值的误差主要由重力测量误差和理论计算误差两部分构成。FG5重力仪误差、干涉条纹的选择对结果的影响以及对测量结果等的外部干扰构成了重力测量误差。该仪器的偏差主要是由垂直校正的激光束、干涉仪相位偏差以及时钟频率偏差产生。干涉激光控制反馈电路也由开始的落体声谐振脉冲进一步刺激导致干涉仪系统偏差，除去仪器本身的偏差造成的，外部干扰将产生一定的影响。在FG5重力仪内的电动马达下落时会产生一个磁场信号的干扰，置于下部时，就会屏蔽磁场扰动质量的导通特性，当置于上部时，该屏蔽消失，因此，会产生不同的系统误差。扰动质量的测量和定位误差、不含有扰动质量实验点之前背景场的重力、有

16、关参数的计算误差和重力梯度值测量误差共同导致理论计算误差。重力测量结果之间的不同是由选择开始干涉条纹的差异所导致的。在实际测量中，在第一个实验中重力测量偏差是0.451×m/，从而使得实测G的偏差是0.0531× /(kg·)；g? )；第二个实验重力测量偏差是0.559×m/，G的偏差是0.0570×m/扰动质量的厚度、密度测量偏差、定位偏差、测量的内径和外径偏差、扰动质量和落体质量的轴线偏差所造成的偏差统称扰动质量的测量和定位偏差。其中，扰动质量的定位偏差对结果的干扰占主要地位。 表1所列两次实验的各项误差及其产生的G值的误差，误差平方和的

17、平方根为总误差，可通过以下方式获得。由表一计算得平均总误差是0.0554×/(kg·)，相对误差是8310×，并可以得出，重力测量产生的误差占总误差的比重大。 此外，在观测和实验方面可以通过以下两个方面来提高相对测量精度：一个方面是增加重力测量的数据个数，若将重力差数据增加到2500组左右，那么重力测量误差就会减小一个数量级；另一个方面是增加扰动重力差。但只有在观察和实验方面，来提高准确度是有限的，考虑到现有的重力仪的精度和分辨率，G的测量精度可提高至约5倍。改善的绝对重力仪的精度和观测和实验数据量的G的测量精度可能会增加至100ppm表1 误差统计4 实验结论根

18、据以上两个实验，可测得G为(6.6665±0.0554)×/(kg·)本实验用FG5绝对重力仪，为了提高测量结果的准确性，经过了大量的重复精确测量。重力仪测量精度和分辨率也有望改善，需要严格控制实际测量中的众多偏差。运用自由落体的方法，为G的精确测量奠定了基础。 5 结束语长期以来，精确测量引力常数G以及深入研究引力基本特性是物理学最基础的研究领域之一。就测G而言，G测量的准确性对引力相互作用性质的认识，甚至对地球物理学、天体物理等都具有重要意义。因此，G的测量过程是人们全面、系统地认识和研究各种实验工具的系统误差过程。目前，引力常数G的实验精度仍是所有基本物理常

19、数中最差的，可能存在的原因是不同测G的方法中存在着较大的误差。我们就应该用多种方法来测量。这样实验的动机是在同一实验室采用多种不同方法进行G的精确测量，寻找多种方法可能存在的误差，并期待得到相同的G值。参考文献1 Cavendish H. Experiments to determine the density of the Earth. Philos Trans Roy Soc Lon,1798, 88: 4695262 Boer H,Haars H,Michaelis W. A new experiment for the determination of the Newtonian gr

20、avitational constant. Metrologia,19873罗俊，张学荣，李建国等 有限圆柱体的径向牛顿引力场 中国科学A辑：数学 物理学 天文学 技术科学，19904 Walesch H,Meyer H,Piel H,et al. The gravitational force at mass separations from 0.6 m to 2.1 m and the precise measurement of G . IEEE Trans Instrum Meas, 19955Schumacher A,Kleinevoss U,Schutt H,et al. Dete

21、rmination of the gravitational constant G using a Fabry-Perot pendulum resonator. Precis Electromagn Meas Digest,19986 Fitzgerald M P,Armstrong T R. Newtons gravitational constant with uncertainty less than 100 ppm. IEEE Trans Instrum Meas,19957Michaelis W,Haars H,Augustin R. A new precise determina

22、tion of Newtons gravitational constant. Metrologia,19958 Schurr J,Nolting F,Kundig W. Gravitational constant measured by means of a beam balance. Phys Rev Lett,1998 9罗俊，许厚泽 万有引力常数G的精确测量 中国科学院研究生院学报,200310Schwarz J P, Robertson D S,Niebauer T M,et al. A free-fall determination of the Newtonian consta

23、nt of gravity. Science,199811 Schwarz J P, Robertson D S, Niebauer T M,et al. A new determination of the Newtonian constant of gravity using the free fall method. Meas Sci Tech,199912 Gundlach J H,Merkowitz S M.Measurement of Newtons constant using a torsion balance with angular acceleration feedbac

24、k.PhysRev Lett,200013 Quinn T J,Speake C C,Richman S J,et al. A new determination of G using two methods. Phys Rev Lett,200114 Schlamminger St,Holzschuh E,Kündig W. Determination of the gravitational constant with a beam balance.Phys Rev Lett,2002Free-fall Method Was Used to Measure the Gravitational Constant GAbstract：Gravitational constant G is one of the most fundamental physical const