八年级数学上册第五章二元一次方程组

1、第五章 二元一次方程组一 认识二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。注意：（1）二元一次方程必须具备的特征：整式方程两个未知数的系数都不为0，次数都为1（2）二元一次方程不一定都是由两个二元一次方程组成的，可以出现一元一次方程【例1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是 2.二元一次方程（组）的解二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值二元一次方程组及其解：两个二元一次方程的公共解【例2】 已知是方程组的解，求（m+n）的值变式训练1二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ） A1个 B2个

2、 C3个 D4个2已知是方程组的解，则a+b的值等于（ ） A1 B5 C1或5 D0二、二元一次方程组的解法解方程的基本思路：把二元方程转化为一元方程1. 代入消元法【例3】解下列方程组（1）x-3y=2y=x (2)x+y=52x+y=8变式训练14x+3y=5x-2y=4 (2)m-n2=22m+3n=122.加减消元法【例3】解下列方程组 14x-3y=145x+3y=31 22x-5y=-214x+3y=23 (3)3x-1=y+55y-1=3(x+5) 三、二元一次方程组巩固强化【例4】方程a-1xa+3y=5是关于x,y的二元一次方程，那么a= 【例5】如果单项式2am+2nbn

3、-2m+2与a5b7是同类项，那么nm= 变式训练：1.已知2ay+3b3x与-3a2xb8-2y是同类项，由此可列出方程组 2.若x-2y-9与x-y-3互为相反数，则x+y= 3.写出以x=5y=7为解的一个二元一次方程组 4.某年级共有学生246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，下面所列方程组正确的是（ ）A.x+y=2462y=x-2 B.x+y=2462x=y+2 C.x+y=246y=2x+2 D.x+y=2462y=x+2 5如图42所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ） A20g B25g C15g D30g【

4、例6】用代入法解方程组3x+4y=22x-y=5使得代入后化简比较容易的变形是 A由得x=2-4y3 B由得y=2-3x4 C由得x=y+52 D由得y=2x-5变式训练：1在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（ ） A不能确定 Ba=4，b=5，c=2 Ca，b不能确定，c=2 Da=4，b=7，c=2【例7】已知关于x,y的方程组x+y=1-mx-3y=5+3m中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为 变式训练：1.已知关于x,y的方程组4x+3y=7kx+(k-1)y=3的解中x,y的值相等，求k的值2已知方程组的解x，y，其和x+y=1，则k_【例

5、8】已知方程3x+2y=8,用含x的式子表示y为 ，用含y的式子表示x为 变式训练：1已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是_【例9】已知关于x,y的方程组5x+y=3ax+5y=4与x-2y=55x+by=1有相同的解，求a,b的值变式训练：1. 三个方程x+y=5, x-y=3, 10x-my=7有公共解，则m= 【例10】已知3x+2y=52x+3y=10，则x+y= 变式训练：1.已知x+y=73x-5y=-3，则3x+y-(3x-5y)= 【例11】已知关于x,y的方程组3x+y=124x+ay=2有正整数解，求a的值变式训练：1.方程4x+3y=20的所有非负整数解

6、为2.求方程2x+5y=10的自然数解，写出过程3.已知关于x,y的方程组x=6-2yx-y=9-3k有正整数解，求k的值四、二元一次方程组的应用1.鸡兔同笼【例12】某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告。15s的广告每播一次收费0.6万元，30s的广告每播一次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：（1） 两种广告的播放次数有几种安排方式？（2） 电视台选择哪种方式播放受益较大？变式训练：1.某公园的学生门票价格如下：购票人数/上每人票价/元13119八年级甲、乙两班共104人，若分别购票，共需1240元。两个班合起来

7、购票，能否节省一些？若已知甲班人数稍多一些，两班各有多少人？2.树上地上各有一些鸽子，树上的鸽子对地上的鸽子说：“若你们飞上来一只，你们的数目就是鸽群的三分之一，若我们飞下去一只，我们和你们的数目恰好相等。”问究竟有多少只鸽子在树上，多少只鸽子在地上？3.戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船。一女生说：“我看到船上红、白两种帽子一样多。”一男生说：“我看到的红帽子是白帽子的2倍。”则船上有男女生各多少人？【例13】一排宿舍，若每间住1人，则有10人无处住；若每间住3人，则有10间无人住。问有多少间宿舍多少个人？变式训练：1某中学八年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆

8、车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车。共有几辆车，多少个学生？2.把一摞笔记本分给一些同学，每人5本多6本，每人6本少5本.问学生和笔记本各有多少？2.增收节支（1）利润问题【例14】体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利260元篮球排球进价/（元/个）8050售价/（元/个）9560（1） 购进篮球和排球各多少个？（2） 销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？变式训练：1、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，此商品的定价是多少元？2、某同学在甲、乙两家超市发现他看中的随身听的

9、单价相同，书包的单价也相同。随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1） 求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2） 现在恰好赶上促销活动，甲超市所有商品打八折，乙超市全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返现，购物券全场通用）。请你帮他计算一下在哪家购买更省钱？3、甲乙两件服装的成本共500元，商店老板将甲服装按利润率为50%定价，乙服装按利润率为40%定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装都按9折出售，这样两件服装共获利157元。求甲乙两种服装的成本各是多少元？4、某商场以一定的进价购进一批服装，并以一定的单价售出，平均每天卖出10件，

10、30天共获利15000元，现在为了尽快回笼资金，商场决定将每件衣服降价20%出售，结果平均每天比降价前多卖10件，这样30天可以获利12000元。问这批服装每件的进价和降价前出售的单价各是多少？（2）百分比浓度问题【例15】有两块合金，第一块合金含金270克，含铜30克；第二块合金含金400克，含铜100克。要配制成含金82.5的合金400克，应取第一块和第二块合金各多少克？变式训练：1、已知有含盐20%与含盐5%的盐水，若配制成含盐14%的盐水200kg，需要两种盐水各多少？2.某商店准备用两种价格分别为36元/千克和20元/千克的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是28元/千克，现在

11、要配制这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？（3）行程问题：（一）相遇问题（路程和等于总路程）（二）追及问题：两人同地不同时同向而行，直至追上，两人所走路程相等（时间不等）两人同时不同地同向而行，直至追上，两人所走路程差等于已知两地间的距离（时间相等）两人不同时不同地同向而行，直至追上，两人所走路程差等于已知两地间的距离（时间不相等）（三）水路行船（航空问题类似）：顺水速度=静水船速水流速度逆水速度=静水船速水流速度【例16】一条船在河中顺水航速是逆水航速的倍，这条船在静水中的速度与河水的流速之比为（）:：:变式训练：1、甲乙两地相距320千米，一艘轮船在其间航行，顺流用20小时，逆

12、流用40小时。求船在静水中的速度和水流速度。 2、育才中学新建塑胶跑道一圈长400米，甲乙两名运动员从同一点同时出发，相背而跑，40s相遇一次，同向而跑，200s相遇一次。求甲乙二人的速度。3.已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时1min，整列火车完全在桥上的时间为40s，求火车的速度和长度。4.学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6h。问平路和坡路各有多远？3.里程碑上的数（1）数字问

13、题【例17】小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明12:00看到里程碑上的数是一个两位数，数字之和是6；13:00时小明看到里程碑上的两位数十位数字与个位数字刚好与12:00时颠倒了；14:30看到的数比12:00看到的两位数中间多了个0。求小明12:00看到的里程碑上的两位数。变式训练：1、一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个 两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数 。2、如果一个两位数除以这个两位数交换数字位置后的数，那么所得的商是4，余数是3；如果这个两位数除以个位

14、与十位数字之和，那么所得的商是8，余数是7。求这个两位数。3、有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知百位数字的9倍比由十位和个位组成的两位数小3。求原来的三位数（2）年龄问题（年龄一年增长一岁，人人平等；两人的年龄差不变）【例18】兄弟两人，弟弟5年后的年龄是哥哥五年前的年龄，3年后兄弟两人的年龄之和是他们年龄之差的3倍。则兄弟两人今年的年龄分别是多少？（3）配套问题【例19】某工厂有工人60名，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人平均每天生产螺栓14个或螺母20个。应如何安排这些工人，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？变式训练：现有190张铁皮，每张铁皮

15、可制作8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。那么用多少张铁皮制作盒身，多少张铁皮制作盒底 ，可以正好制成一批完整的盒子？小测验：1、如果一个两位数的十位数字与个位数字之和是6，那么这样的两位数有 个。2、把面值1元的纸币换成面值为5角或1角的硬币，则换法有 种。3、中央电视台“开心辞典”栏目中，有一期的题目如下图所示，两个天平都平衡，则3个球体的质量等于个正方体的质量。4、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成。按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在规定期限内职能完成订货的80%；现在服装厂改进了人员组成结构和生产

16、流程，每天可生产这种服装200套，这样不仅比规定时间少用一天，而且比订货量多生产25套，求定做的工作服是几套？要求的期限是几天？5.如图，一列快车长70米，一列慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20s，若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为4s。求两车的速度。根据题意填空：（1）若同向而行，经过20s快车行驶路程比慢车多 m，可列方程 （2）若相向而行，两车4s共行驶 m，可列方程 （3）由以上可得方程组 五 二元一次方程与一次函数1、二者的关系坐标坐标就是方程的解坐标可以转化为线段的长度二元一次方程与函数的关系：二者可以互相转化【例20】以方程3x+y=

17、5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同。【例21】如图所示，两条直线l和l的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（ ）A.y=2x+1y=x+2 A.y=-x+3y=3x-5 A.y=-2x+1y=x-1 A.y=-2x+1y=x+1变式训练：1.方程组2x+y=22x+y=5的解为 ，则一次函数y=2-2x与y=5-2x的图像的位置关系是2.以方程x+1=4y+x3的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同。3.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得的两条直线（ ） A.有一个交点 B.有无数个交点 C.没有交点 D.以上都有可能 4. 一次函数y=kx+b的图像如图1所示，则方程kx+b=0的解为（ ）A.x=2 B.x=-1 C.y=2 D.y=-15.若一次函数y=x+3和一次函数y=-x+b的交点坐标为（m,8）,则m= ，b= 。6.已知直线y1=2x-1和一次函数y2=-x-1的图像如图2所示，根据图像填空：（1）当x 时，y1y2；当x 时，y1=y2；当x 时，y1y2； 2方程组y=2x-1y=-x-1的解是 7.如图3，函数y=