高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计互动课堂学案苏教版必修310314112正式版

1、2.3总体特征数的估计互动课堂疏导引导1.平均数及其估计(1)平均数定义若给定一组数据X1,X 2，,x n,则称x = l £ Xi(i=1,2,3,n)为这组数据xi,X2，,Xnn y的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时，我们一般用此公式来求这组数据的平均数.这里£ Xi = l (X 1+X2+Xn).平均数反映了一组i 4 n数据的集中趋势，我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平当一组数据中的重复数据过多时，若用上面公式求这组数据的平均数，其过程就会显得比较复杂和冗长，为了简化计算过程，我们引入下面这种计算平均数的

2、方法：一般地，若取值为X1,X 2，,X n的频率分别为pi,p2,pn,则其平均数为Xipi+X2P2+aaca_+Xnpn.这一公式实质上就是公式2n-的一个变形，它主要用于含有重复数据的n数据组求平均数.除此之外，当所给数据在某一常数a的上下波动时，我们也可利用公式：x =x' +a,其中- 1x' = (x i +X2+xn ),x 1=X1-a,x 2=X2-a,x 3=x3-a,Xn=xn-a; 常数 a通常取接n近于这组数据的平均数较“整”的数 .例如：求数据70,71,72,73的平均数时，我们可以先求出0,1,2,3的平均数，然后将此平 均数加上70即得该组数

3、据的平均数.(2)平均数的性质若给定一组数据xi,x 2，,x n的平均数为x ,则axi,ax 2,ax n的平均数为ax；若给定一组数据xi,x2，,xn的平均数为x ,则axi+b,ax 2+b,axn+b的平均数为ax+b；(3)用样本平均数估计总体平均数从一个总体中随机抽取一个容量一定的包含大量数据的样本，利用样本平均数的计算公式求出样本平均数，由此得出的总体平均数就是所求样本平均数.在这里两次从总体中抽取容量相等的样本，分别求出样本平均数，两个样本平均数会不相同，所以用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值.案例1下面是某一个工厂所有工作人员在某个月的工资，总

4、经理6 000元，技术工人甲900元，技术工作人员乙800元，杂工640元，服务员甲700元，服务员乙640元，会计820元.(1)计算所有工作人员的平均工资.(2)去掉总经理后，再计算平均工资.(3)在(1)和(2)中两种平均工资哪一种能代表一般工人的收入水平，为什么？【探究】计算平均工资是用工资总数除以领工资的人数即可【解析】(1)所有工作人员平均工资为 X=1(6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元).71一(2)去掉总经理后平均工资为x' = - (900+800+640+700+640+820)=750(兀).6(3)能代表一般工人的收入

5、水平的是去掉总经理后的平均工资750元.因为除去总经理之外，工作人员的工资均在 900元以下，因此不能以1 500元来代表职工的平均工资水平.规律总结一般地，在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平 均水平，但有时需要去掉极端值(极大值或极小值，这样计算平均数则更能反映平均水平，这 就是有些比赛活动中往往会去掉一个最大值和一个最小值再去计算平均成绩的原因2.方差与标准差设一组样本数据X1,X 2，,x n,其平均数为X ,则称c 1n Cs2=_v(Xi- X)2n i 4 1 nc 为这个样本的方差，其算术平方根s= l-z (X-X)2为样本的标准差，分别简称样本方

6、差、样本标准差.疑难疏引 (1)为了更好地比较两组数据的集中程度，我们可以利用这两组数据的方差对两组数据进行比较.方差较大的数据波动较大；方差较小的数据波动较小.当所给的数据有单位时,所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏写单位.方差的单位为所给数据单位的平方方差的算术平方根称作标准差，它与原数据单位相同，因而能更好地刻画数据的离散程度.(2)方差的性质若给定一组数据X1,X2，,xn,方差为s2,则aX1,aX2,，aX n的方差为a2s2;若给定一组数据X1,x 2,xn,方差为s2,则aX1+b,aX2+b,aX n+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时，则有X1+b,x 2+b,X

7、 n+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一 个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度.对于不同白数据集，当离散程度越大时，方差越大；方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极彳1较为敏感.(3)我们可以通过计算样本方差和标准差对总体方差和标准差进行估计，也可以通过对两个总体的样本方差的大小差异情况，对两个总体的波动情况进行推断和比较，当如=,s2 V s1时，甲为优秀.(4)样本方差.标准差计算的简化.方差的计算公式s2可简化为：(I) s2= X12+X2 + X2 -nx2,或写成 s2= ( x2 + X2 +-

8、 x2)-x 2.即方差等于原数据 nn平方的平均数减去平均数的平方.2 1 L , ，2'2'212(n ) s = ( x1 + x2 + + xn )-n x .n当一组数据中的数据较大时，直接计算它们的方差则比较麻烦，如果数据相互比较接近，,将每个数据同时减去一个与它们为了减少参与计算的数据，可仿照简化平均数的计算方法1的平均数接近的吊数a,得到一组新数据xi=xi-a,x 2 =X2-a,xn =xn-a,那么，s =n'2'2'2-,22 1,'2'2'2-,2(x2 + x2 + xn )-n x 也可写成S = (

9、 Xi + x2 + xn )- X .即方差等于新数据的平 n方的平均数减去新数据平均数的平方.原数据xi,x 2，,x n的方差与新数据x' 1=xi- a,x ' 2=x2-a,x ' n=xn-a的方差相等，即ci c c c x' i,x' 2,x' n 的方差 S' 2=. (x' i-x')2+(x' 2-x')2+(x' n-x')2等于原数据 nxi,x 2，,x n的方差 S2.案例2某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：标准差64组别统计量平均第

10、一组90第二组80求全班平均成绩和标准差.【探究】设第一组 20名学生的成绩为 xi(i=i,2 ,20),第二组20名学生的成绩为yi=(i=i,2,20),依题意有：90= (x i+x2+- - +x20),2080= (y i+y2+- +y20),故全班平均成绩为：20- (xi+x2+- - +x20+yi+y2+- , +y20) = (90 X 20+80X 20)=85;4040i / 222- 2(xi + s2 + + x20 -20 x ),2S1 =又设第一组学生成绩的标准差为Si,第二组学生成绩的标准差为S2,则20S2 = (yi2+y22+ - +y20-20y

11、2)(此处，x =90, x =80)20又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为z(z=85),2 i .222222- 2、故有 S = 一 ( xi + x2 + +x20 +yi +y2 + , , + y20 -40 z ) 40=(20 si2+20 x 2+20 S2+20 y 2-40z 2)40=1(6 2+42+902+802- 2 X 852)=5i.2s= .5i .规律总结 平均数与方差，都是重要的数字特征数，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据.案例

12、3某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了 8次选拔比赛，他们的成绩(单位:m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67;乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测,跳高1.65 mR可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？【探究】参加比赛的选手的成绩得突出，且成绩稳定，这就需要比较这两名选手的平均成绩和 成绩的方差.甲的平均成绩和方差如下：1X甲二(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1

13、.67)=1.69,8S2 =1 (1.70-1.69) 2+(1.65-1.69) 2+-+(1.67-1.69) 2 =0.000 6.8乙的平均成绩和方差如下：1X 乙=(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71 + 1.70+1.75)=1.68,8史二1 (1.60-1.68)2+(1.73-1.68) 2+-+(1.75-1.68) 2 =0.003 15.8显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩 ，而且甲的方差小于乙的方差 ，说明甲的成绩比乙稳定 由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛 在这8次选拔赛中乙有 5次成绩在

14、1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也 不如甲，若跳高1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛.规律总结 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).方差(标准差)大，说明取值分散性大，方差(标准差)小，说明取值分散性小或说取值比较集中、稳定 .活学巧用1 .(2004北京春季高考，理10文10)期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均 分为M.如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N,那么M： N为()A.”41B.1 C.4140D.2解析：考查阅读理解能力，分析问题、解决

15、问题的能力及统计初步知识设40位同学的成绩为 Xi(i=1,2,40),则 M=x1x2x4040XiX2X40 MN41故 M： N=1.答案：B2 .某工人在30天中加工一种零件的日产量有2天是51件,3天是52件,6天是53件,8天是54件,7天是55件,3天是56件,1天是57件.计算该工人30天的平均日产量.解：在上面30个数据中,51出现2次,52出现3次,53出现6次,54出现8次,55出现7次,56 出现3次,57出现1次.由于这组数据都比 50稍大一点，故将数据51,52,53,54,55,56,57 同 时减去 50,得至ij 1,2,3,4,5,6,7.它们出现的次数依次

16、是2,3,6,8,7,3,1.那么，这组新数据的平均数是- 1 2 2 37 1 118 ,X'=4,3030X = x'+a=54 (件)即这个工人30天的平均日产量为 54件.点评：“同时减去50”改为“同时减去 53”更方便.3.某餐厅共有8名员工，某月工资如下图所示，则下列说法中不正确的是（匚资配）A.该餐厅员工工资的一般水平不是1 125元，尽管平均数是1 125B.因为众数为320元，所以该餐厅员工工资的一般水平是320元C.因为中位数为410元，所以该餐厅员工工资的一般水平是410元D.去掉一个最大数 6 000元，去掉一个最小数 320元，剩下6个数的平均数为4

17、47元,该餐厅员工工资的一般水平一一定是477元答案：D4 .某班一次数学测验的成绩如下：得100分的6人，得90分的15人，得80分的18人，得70分的6人,得60分的3人，得50分的2人，试计算这次测验全班的平均成绩.解法一：X = (6 X 100+15X 90+18X 80+6X 70+3X 60+2X 50)=81.8(分 ). 50解法二：取a=80，将原数据都减去80得新数据及出现次数为新数据 20 10 0 -10 -20 -30出现次数6 15 18 6 3 2-; 1_,，一 一，x' = 一 6X20+15X 10+18X 0+6X ( -10)+3 X (-20

18、)+2 X (-30) =1.8.50x = x'+a=1.8+80=81.8(分),即这次测验全班的平均成绩为81.8分.1位）：5 .计算下面数据的方差（结果保留到小数点后第 3,-1,2,1,-3,3.解析:这组数据的平均数不是整数，选用公式s2= (xj+x； + xn2）-n x2比较方便.2 1s =622 2 22 23-121-33 23+(-1) +2 +1 +(-3) +3-6X() =1 9+1+4+1+9+9-6X( 5)2125=_ X33-=5.5 -0.7=4.8.6366 .在去年的足球甲 A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准

19、差为1.1 ;二队每场比赛平均失球数为2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的？(1)平均说来一队比二队技术好；(2)二队比一队技术水平更稳定；(3) 一队有时表现很差，有时表现又非常好；(4)二队很少不失球.解：本题主要考查对平均数和标准差的概念的理解.平均数反映了一组数据的平均水平，而方差则反映了一组数据的波动性的大小.一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数 少，说明一队的技术比二队的技术好； 一队全年的比赛失球个数的标准差较大 ，说明一队的表 现时好时坏，起伏较大；二队的平均失球数多 ，全年比赛失球个数的标准差很小 ，说明二队的 表现较稳定，经常失

20、球.答案：(1) (2) (3) (4)都正确7.(2005山东青岛第二次质量检测)对于一组数据Xi(i=1,2,3，n),如果将它们改变为xi-c(i=1,2,3,n),其中cw0,则下面结论中正确的是()A.平均数与方差均不变B.平均数变了，而方差保持不变C.平均数不变，而方差变了D.平均数与方差数均发生了变化Xi , Xnzi =1(x i-c)=xi nc=nx -c,而2 1 n2s = (x-x i) ,sn i 12= 1 nL , ,2 1nx -(x i -c)=一乙n i 12 -,、 2 1nx -c-(x i -c) = 一 乙n id(x-xi)2=s2,所以其平均数

21、变了,而方差保持不变.故选B.答案：B8 .(2005江苏南通调研考试)一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据，若这组数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来一组数据的平均数和方差分别是()A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析：由平均数与方差公式：x = x1 + x2 +*,nS2= (x1-x)2+(x2-x)2l+(xn+x)2 知，在每个数都减去80后，平均数也减去80,而方差不变，所以选A.答案：A9 .某班有48名学生，在一次考试中统1f出平均分为70分，方差为75,后来发现有2名同学的 成绩有误，甲实得80分却记为50

22、分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25解析：易得x没有改变，x=70,2122222- 2M s =一1048 ( x1 +X2+ +50 +100+ x48) -48 x1 =75,48s 2= ( x12 +x2+ +802+702+ x28 )-48 x2148= (75X48+48x2-12 500+11 300 ) -48 x248以1200=75-48=75-25=50.答案：B10 .甲、乙两台机床同时生产直径为40 mm的零件.为了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行了测量，结

23、果如下：甲/mm40.039.840.140.239.9乙/mm40.040.039.940.039.9甲/mm40.040.239.840.239.8乙/mm40.140.140.140.039.9能用几种方法比较这两台机床的性能？分析：经简单计算可以得出：甲、乙两台机床生产的这10件产品的直径的平均数都为40 mm.所以，不能从平均数这一角度来比较这两台机床的性能，即不能从数据的平均水平上来比较，只能从数据的离散程度上进行比较.要从数据的离散程度上进行比较，常见的方法有以下几 种： 解法一：利用初中所学的折线统计图.由折线统计图我们可以直观地表示出这两组数据的离散程度，甲机床生产的产品波动

24、幅度比乙大.所以，乙机床的性能好于甲.解法二：利用这两组数据的极差进行比较.甲:40.2-39.8=0.04;乙：40.1-39.9=0.02. 显然，乙组数据的极差小于甲组数据的极差.所以，乙机床的性能好于甲.解法三：利用这两组数据的方差或标准差进行比较.由方差和标准差的计算公式不难得出甲的方差为s2 =0.026(mm2),标准差为s甲=0.161(mm);乙的方差为sj =0.006(mm2),标准差为s乙=0.077(mm).由上可知：不论是方差还是标准差甲的均比乙的大，这就说明乙机床生产的产品要更标准些.所以，乙机床的性能好于甲.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦

25、练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图

26、。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。了这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再当下市面上关于教授学习简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不

27、能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持! 方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那 本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优

28、势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉， 除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己， 不论对学习还是生活都有帮助。 除了 “针对性” 强外， 本书第二大特点就是 “全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到

29、“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏

30、的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法 -青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲

31、主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情