区间套定理的推广与应用

1、 聊城大学聊城大学 本科生毕业论文本科生毕业论文 题题 目：目：区间套定理的推广与应用区间套定理的推广与应用 专业代码：专业代码： 0701000307010003 作者姓名：作者姓名： 学学 号：号： 单单 位：位： 指导教师：指导教师： 年年 月月 日日 目目 录录摘摘 要要.1关键词关键词.1Abstract.1Key words.10 0 引言引言.21 1 区间套定理在区间套定理在上的推广上的推广.21R2 2 区间套定理在一般度量空间上的推广区间套定理在一般度量空间上的推广.63 3 区间套定理在区间套定理在上的推广上的推广.8nR4 4 区间套定理的应用举例区间套定理的应用举例.

2、9参考文献参考文献.12致谢致谢.13 第 0 页 共 13 页 区间套定理的推广与应用区间套定理的推广与应用 摘摘 要要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并 分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用. 关键词关键词 1. 区间套; 2. 拓展; 3. 应用 Abstract several theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,anal

3、ysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples. Key words nested interval;expansion;application 第 1 页 共 13 页 区间套定理的推广与应用区间套定理的推广与应用 引言引言 区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑

4、学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间

5、上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，nR比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用. 1 1 区间套定理在区间套定理在上的推广上的推广1R 区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的 第 2 页 共 13 页内容.定义定义 设是中的闭区间列，如果

6、满足:1 . 1), 3 , 2 , 1(,nbannR（）; 3 , 2 , 1,11nbabannnn（）;0limnnnab则称为中的一个闭区间套，或简称区间套.nnba ,R 这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： （1）. 1221bbbaaann 定理定理 （闭区间套定理）若是一个闭区间套，则在实数系中存在惟11 . 1nnba ,一一点，使得,即， ), 3 , 2 , 1(,nbannnanb 且. （2）nnnnbalimlim 证：证：由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且 na na有 ., 2 , 1

7、,nan（3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（）有 nb , nnnnablimlim（4）且 ., 2 , 1,nbn（5）联合（3） 、 （5）即得（2）式。 第 3 页 共 13 页 最后证明满足（2）的是唯一的.设数也满足 , 2 , 1,nbann则由（2）式有 ., 2 , 1,nabnn由区间套的条件（）得 ，0)(limnnnab因有,故原命题成立. 推论推论 若是区间套确定的点,则对任意正数,存1 . 1), 3 , 2 , 1(,nbannnnba ,在自然数,当时,总有NNn .,Ubann注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于

8、开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且n1, 0，但不存在属于所有开区间的公共点.001limnn定理定理 数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对12 . 1 na00N有.Nnm,|nmaa 证：证：必要性 设.由数列极限定义,对任给的,存在Aannlim0,当时有0NNnm, ,2 Aam2 Aan因而 22AaAaaanmnm 充分性 按假设,对任给的,存在,使得对一切有00NNn ,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙NnaaNNaa, na述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”). na na 第 4 页 共 13 页 据此

9、,令,则存在,在区间内含有中几乎所有的211N21,2111NNaa na项.记这个区间为.11,再令，则存在，在区间内含有中几乎所221)(12NN2221,2122NNaa na有的项记，112222,21,21,22NNaa它也含有中几乎所有的项，且满足 na 21,222211及继续依次令照以上方法得一闭区间列，其中每个区间,21213n，nn,都含有中几乎所有的项且满足 na , 2 , 1,11nnnnn)(0211nnnn即是区间套由区间套定理，存在唯一的一个数，nn,nn, 2 , 1n现在证明数 就是数列的极限事实上，由定理 7.1 的推论，对任给的 na，存在，使得当时有0

10、0NNn );(,Unn因此在内除有限外的所有项，这就证得);(Unnalim定义定义 (严格开区间套定理)设是中的开区间列,如果2 . 1), 3 , 2 , 1(,nbannR满足:(1);, 3 , 2 , 1,1121nbbbaaannn(2);0limnnnab则称为中的一个严格开区间套.nnba ,R定理定理 (严格开区间套定理)若是中的一个严格开区间套，则存13 . 1nnba ,R在惟一一点，使得 第 5 页 共 13 页,3 , 2 , 1,nbann且 .nnnnbalimlim 证明 由定义条件(1),是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界2 . 1 na定理, 有极限

11、,不妨设 na ,nnalim且 ., 3 , 2 , 1,nan 同理严格递减有下界数列也有极限.由定义条件(2)应有 nb2 . 1 ,nnnnablimlim且 ., 3 , 2 , 1,nbn从而存在.3 , 2 , 1,nbann 最后证明惟一性.假如另有,使得,那么有3 , 2 , 1,nbann ., 3 , 2 , 1,nabnn在上述不等式两边取极限,有 .0)(limnnnab即.故原命题成立.定义定义 设是中的半闭半开区间列,如果满足:3 . 1), 3 , 2 , 1(),nnbanR(1);, 3 , 2 , 1,1121nbbbaaannn(2);0limnnnab

12、则称为中的一个严格半闭半开区间套.),nnbaR定理定理 1.41.4(严格半闭半开区间套定理)如果是中的半闭半), 3 , 2 , 1(),nnbanR 第 6 页 共 13 页开区间套, 则存在惟一一点，使得 , 3 , 2 , 1),nbann且 .nnnnablimlim仿定理的证明即可.13 . 12 2 区间套定理在一般度量空间上的推广区间套定理在一般度量空间上的推广 完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,指的是该序列除了满足一般度量空间的要求,还应在度量空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广.定义定义 设是一个非空集合,在上定义一个

13、双变量的是指函数,对1 . 2HH),(yx任意的,有:Hzyx,(1)(正定性),并且当且仅当成立;0),(yx0),(yxyx (2)(对称性);),(),(xyyx(3)(三角不等式);),(),(),(xzzxyx则称为一个度量空间.H定义定义 设是度量空间中的一个子集,对于中的任意点列,若当2 . 2FHF nx ,)(0)(0nxxn有,则称为闭集.Fx 0F定义定义 设是一度量空间,中的一个序列,若对任意的实数,存3 . 2,XX ziix0在整数,使得时,有,则称为一个柯西序列.0NNji,jixx , ziix定义定义 如果对度量空间中的的每一个柯西序列都收敛,则称是4 .

14、2,XX,X一个完备度量空间. 第 7 页 共 13 页定理定理 设是完备度量空间上的闭集列，如果满足：21 . 2 nFH(1);), 3 , 2 , 1(1nFFnn(2);),(sup)(0)(lim,nFnnnFdFd则在中存在惟一一点,使得H ., 3 , 2 , 1,nFn证明 任意中的点列,当时,有,所以nF nxnm nmFF .)(0)(),(,nFdxxFxxnmnnmn即对任意给定的实数,存在整数,使得时,有,所00NNji,jixx ,以是柯西序列.又因为是闭集列,故收敛于一点,且有 nxnF nx , 3 , 2 , 1,nFn现证惟一性.如果另有一点,使得, .则由

15、定义条件(3)有, 3 , 2 , 1,nFn1 . 3 , )0(02,nFdxxnnn从而.故在中存在惟一一点,使得.H, 3 , 2 , 1,nFn3 3 区间套定理在区间套定理在上的推广上的推广nR进一步还可以将区间套定理在常用度量空间-实数空间上推广.为此,先给出nR一个有用的概念.定义定义 对于任意的,令1 . 3nnnRyyyyxxxx,2121 ,21,niiiyxyx则称为上的距离.nR 第 8 页 共 13 页 下面验证对于如上定义的能做成完备的度量空间.nR, 求证 对于任意的,且nnnRyyyyxxxx,2121 ,则能做成完备的度量空间.21,niiiyxyxnR,

16、证明 对于任意.nnnnRzzzzyyyyxxxx,212121 (1) ,并且当且仅当,即.021niiixz0,yx), 2 , 1(iyxiiyx (2) .xyxyyxyxniiiniii,2121 (3)另和由施瓦兹不等式得到iiixyuiiiyzv .niiniiniiniiniiivvuuvu12121212122则,niiniiniiivuvu121212 即.212121niiiniiiniiiyzxyxz 所以满足度量的定义,又是完备的,故是完备的度量空间.nRnR于是根据前面的论述,可以得到实数空间的闭集套定理:nR定理定理 设是上的闭集列,如果:1 . 3 nFnR (

17、1) :), 3 , 2 , 1(1nFFnn (2) ;),(sup)(0)(lim,nFnnnFdFd则在中存在惟一一点,使得.nR, 3 , 2 , 1,nFn4 4 区间套定理的应用举例区间套定理的应用举例 第 9 页 共 13 页区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找到属于每个区间的公共点.证明中区间套的构造方法主要有以下两点:(1)已知特殊点的存在区间时,利用两分法构造区间套,进而套出所求的特殊点.(2)首先依据不等式确定特殊点的存在区间,再利用区间的收缩,套出所求的特殊点.下面举几个例子说明这一思路.例例 1 1 证明:闭区间上连续函数必有界.证明 假设在上无

18、界,则等分,即,至 xfba,ba,bbabaaba,22,少有一个子区间上无界,不妨设为,将等分,则存在子区间,使 xf11,ba11,ba22,ba得在上无界.依次类推,不断等分区间,则得到无穷闭区间列: xf22,ba. .,tsbann(1); nnbabababa,2211(2);nababnnn, 0211(3) 在上无界, xfnnba ,Zn由(1)、(2),根据区间套定理,惟一,使得.ba,nnnnablimlim而由(3),使,从而得到一点列及函数列nnnbaxZn, nxfn nx,且,由数列极限与连续函数极限的关系应有 nxf nxfxtsnn,. . fxfxn,这与

19、矛盾.故假设不成立,从而命题得证. xf例例 2 2 证明一致连续性定理:在闭区间上连续的函数,在上一致连ba, xfba,续.证明 我们只须证明:对,可将分成有限个小段,使在每一小段0ba, xf上任意两点函数值之差都小于. 第 10 页 共 13 页用反证法.假设上述不成立,即对某个,不能按上述要求分成有限个00ba,小段.将等分为二:,则二者之中必有一个不能按上述要求分成有限个ba,bcca,小段,记为.11,ba再将等分为二:,根据同样办法,取其一,记为.如此继11,ba1111,bcca22,ba续下去,得到闭区间套,由区间套定理,存在.nnba ,), 3 , 2 , 1( ,nb

20、ann在连续,于是,与时, xfba,x0),( ,baxx. 2 fxf注意到,我们可取充分大的,使得,从nnnnbalimlimKKKba,而对都有,因此,成立:KKbax,xKKbaxx,21 . 00022122xfffxfxfxf这表明在上任两点函数值之差小于了,与区间的定义相违,故KKba ,0KKba ,命题成立.例例 3 3 证明实数集是不可列集.R证明 用反证法.假如可列,即.先取区间,使R,21nxxxR 11,ba,然后将三等分,则三等分的小区间中至少有一个不含,将其记为111,bax 11,ba2x,又将三等分,同样必有一个小区间不含,将其记为;如此继续下22,ba22

21、,ba33,ba去,我们得到一个闭区间套,满足.nnba ,), 3 , 2 , 1(,nbaxnnn由闭区间套定理,存在惟一实数,而,这与), 3 , 2 , 1(,nbann)(Nnxn集合表示实数集的全体实数产生矛盾,命题得证,21nxxxR例例 4 4 证明:设为数列,若对任意的,存在,使得时,有 na00NNnm, 第 11 页 共 13 页,则数列收敛.(数列柯西收敛准则的充分条件)nmaa na分析 由已知条件可得存在,当时,有,即在区间NN 00Nn 0Nnaa内含有中几乎所有项,由极限定义可知数列收敛点必在其内,00NNaa na na部.此时只需利用区间套定理证明该点的存在性.证明 由假设,当时,有,即在区间内NN 00Nn 0Nnaa,00NNaa含有中几乎所有项. na令,则存在,在区间内含有中几乎所有项；211N21,21,1111NNaabana令,则存在,在区间在区间内含有中几2212N222221