机械工程测试信息信号分析(第三版)3ppt

1、22:471MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系李锡文李锡文 轩建平轩建平 22:472课件资料下载：邮箱地址： “机械工程测试机械工程测试”每个字拼音的第一个字母每个字拼音的第一个字母 密码：111111注意下载时不要删除原始文件 22:473上次课内容回顾q时域分析主要内容时域分析主要内容 一、信号波形图一、信号波形图 二、时域分解二、时域分解 三、时域统计分析三、时域统计分

2、析 四、直方图分析四、直方图分析 五、时域相关分析五、时域相关分析信源信源被测对象被测对象应用应用被控对象被控对象传感器传感器一次仪表一次仪表传输调理传输调理二次仪表二次仪表信号分析信号分析 信号分析信号分析信号信号信号信号信号信号数字数字信号信号22:4742.2 频域分析按能否用明确的数学关系式描述分类时域分析时域分析信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号准周期信号准周期信号瞬态信号瞬态信号平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号各态历经信号非各态历经信号非各态历经信号

3、一般非平稳信号一般非平稳信号瞬态随机信号瞬态随机信号FS?FT?功率谱功率谱非高斯信号非高斯信号高阶谱分析高阶谱分析专题专题时频分析时频分析小波分析小波分析独立变量独立变量Hilbert-Huang变换变换22:475典型实际信号122:476典型实际信号222:477典型实际信号322:478典型实际信号422:479 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.

4、5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f2.2 信号的频域分析22:4710信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号在不同频代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。域信号波形更直观，丰富的信息。 时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域频域分析分析时域分析与频域分析的关系22:4711 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成

5、和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 时域分析与频域分析的关系22:4712大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断传感器传感器例：大型空压机传动装置故障诊断22:4713信号的频域分析信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号准周期信号准周期信号瞬态信号瞬态信号平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号各态历经信号非各态历经信号非各态历经信号一般非平稳信号一般非平稳信号瞬态随机信号瞬态随机信号时域分析时域分析F

6、S 连续离散连续离散FT连续离散连续离散功率谱功率谱非高斯信号非高斯信号高阶谱分析高阶谱分析专题专题时频分析时频分析小波分析小波分析独立变量独立变量Hilbert-Huang变换变换22:4714信号的频域分析周期信号周期信号非周期信号非周期信号时间时间 连续离散连续离散连续时间周期信号连续时间周期信号离散时间周期信号离散时间周期信号时间时间 连续离散连续离散连续时间非周期信号连续时间非周期信号离散时间非周期信号离散时间非周期信号时域分析时域分析频域分析频域分析22:4715周期信号q表达式：存在一个周期表达式：存在一个周期T0，q周期，频率，角频率，基本周期，基波，谐波周期，频率，角频率，基

7、本周期，基波，谐波22:4716周期信号判别q多个周期信号相加后信号周期判断多个周期信号相加后信号周期判断 两个周期信号相加两个周期信号相加(T1,T2) T1,T2之间是否有公倍数，即存在一个最小数之间是否有公倍数，即存在一个最小数T0，能同时，能同时被被T1,T2所整除所整除 n1T1=n2T2， n1/n2=T2/T1=有理数有理数 n1、n2均为整数均为整数 例：例： 判断判断x3(t)=x1(t) +x2(t)的周期的周期22:4717狄义赫利条件(1) 在一个周期内，间断点的个数有限(2) 极大值和极小值的数目有限(3) 信号绝对可积满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数

8、(集)线性组合”的无穷级数。周期信号-时域分析22:4718:sin,cos, 100Nntntn:0Znetjn三角函数集（正弦型函数）三角函数集（正弦型函数）复指数函数集复指数函数集正交函数集正交函数集周期信号时域分析：傅里叶级数展开q 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数傅里叶级数”。q 相应的级数通常被称为相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数”和和“指数形式的傅里叶级指数形式的傅里叶级数数”。傅里叶级数的两种不同表示形式。傅里叶级数的两种不同表示形式。q 傅里叶

9、级数傅里叶级数工程上物理上的工程上物理上的应用相当广泛应用相当广泛。任一周期函数可以利用傅里叶级任一周期函数可以利用傅里叶级数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信号函数则可以利用傅里叶积分来分析。号函数则可以利用傅里叶积分来分析。22:4719三角函数三角函数1000)sincos(2)(nnntnbtnaatx设周期函数设周期函数x(t)的周期为的周期为T周期信号三角形式的FSa0是常数，表示直流分量；是常数，表示直流分量；n为正整数，为正整数，用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析

10、用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析系数系数an和和bn统统称为三角形式的称为三角形式的傅里叶级数系数傅里叶级数系数，简称为，简称为傅里叶系数傅里叶系数(FS)。系数系数an和和bn的的计算可由三角函数的正交特性求得计算可由三角函数的正交特性求得22:47201000)sincos(2)(nnntnbtnaatx三角函数的正交特性22:47211000)sincos(2)(nnntnbtnaatx设周期为设周期为T函数函数x(t)，展开成，展开成三角函数三角函数的无穷级数形式的无穷级数形式周期信号三角形式的FSTdttxTa)(120NntdtntxTaTn,cos)(20N

11、ntdtntxTbTn,sin)(20信号的基波、基频信号的基波、基频100)cos(2)(nnntnAatx22nnnbaAnnnabarctanT20n相位谱nA幅值谱2nA功率谱22:4722方波信号的三角形式FS表示式q求下图所示的方波信号的三角形式求下图所示的方波信号的三角形式FS表示式表示式22:4723方波信号的三角形式FS表示式22:4724系数计算方法，系数计算方法，n0是离散变量，离散频率是离散变量，离散频率ZndtetxTCTTtjnn22,)(10设周期为设周期为T T的的函数函数x(tx(t) )，周期信号复指数形式的FS)0( ,212122nAbaCCnnnnn,

12、2, 1 ,0)()(000nenXeCtxntjnntjnn22:4725周期矩形脉冲信号的FS表示式q求周期矩形脉冲信号复指数形式的求周期矩形脉冲信号复指数形式的FS表示式表示式22:4726周期矩形脉冲信号的FS表示式q设脉冲信号设脉冲信号E=10伏，伏，T0=1秒，秒， 0=0.2秒秒三角形式表示式三角形式表示式22:4727周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q分别求出分别求出a0, an, bn的值的值22:4728周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q把

13、把a0, an, bn的值代入公式得的值代入公式得22:4729周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q设设E= 时时22:4730周期信号的频域分析q 时域分析表明，时域分析表明，一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号进行精确描述进行精确描述，不同形状的周期信号其区别仅仅在于，不同形状的周期信号其区别仅仅在于基频或基频或基本周期不同基本周期不同，组成成分中的，组成成分中的各谐波分量的幅度和相位各谐波分量的幅度和相位不同不同q 任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数任意波形的周期信号

14、完全可用反映信号频率特性的复系数X(n 0)来描述来描述q 反映周期信号全貌特征的三个参数，反映周期信号全貌特征的三个参数，基频，各谐波分量的幅基频，各谐波分量的幅度和相位度和相位, 2 , 1 , 0)()(000nenXeCtxntjnntjnn)(0n相位谱)(0nX幅值谱2nC功率谱22:4731周期矩形脉冲信号的频谱22:4732周期锯齿波信号的频谱22:4733周期锯齿波信号的频谱22:4734复指数信号的频谱q按定义按定义q频谱图如下频谱图如下22:4735正弦型信号的频谱q频谱图如下频谱图如下余弦信号频谱图余弦信号频谱图正弦信号频谱图正弦信号频谱图22:4736复杂周期信号频谱

15、时域波形时域波形频谱图频谱图22:4737实例：周期信号FS22:4738周期信号傅里叶频谱特点q周期信号的傅里叶频谱特点：周期信号的傅里叶频谱特点： 谐波性：谐波性：仅在一些离散频率点，基频及其谐波仅在一些离散频率点，基频及其谐波(nf1)上有值，各次谐上有值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。 离散性：离散性：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为： 收敛性：收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。各次谐波分量随频率增加而衰减。 Cn是双边谱是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。，正负频率

16、的频谱幅度相加才是实际幅度。 信号的功率为信号的功率为 帕斯瓦尔方程帕斯瓦尔方程T/20nnC2221( )nTnxt dtCT22:4739连续周期信号FS2/2/00)(1)(TTtjkdtetxTjkXktjkejkXtx0)()(00tT)(tx-0)(0jkXT20时域信号时域信号 频域信号频域信号连续的连续的周期的周期的非周期的非周期的离散的离散的正：正：反：反：22:4740FS的基本性质q 1、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质22:4741求梯形信号的频谱q1、首先梯形信号时域分解、首先梯形信号时域分解22:47

17、42求梯形信号的频谱q2、三角形周期信号的频谱函数、三角形周期信号的频谱函数q3、三角形周期信号的频谱函数、三角形周期信号的频谱函数 q4、根据线性性质求梯形信号频谱函数、根据线性性质求梯形信号频谱函数 22:4743FS的基本性质q 2、时移性质、时移性质 若若 则则 可证明：周期信号在时域右移可证明：周期信号在时域右移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化相位频谱变化 -n 0t0 同理，同理，周期信号在时域左移周期信号在时域左移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化相位频谱变化 +n 0t022:4744矩形脉冲信号右移的离

18、散频谱q求矩形脉冲信号右移求矩形脉冲信号右移 /2的离散频谱的离散频谱 移位前的离散频谱移位前的离散频谱 右移右移 /2的频谱函数的频谱函数 幅度频谱幅度频谱22:4745矩形脉冲信号右移的离散频谱q求矩形脉冲信号右移求矩形脉冲信号右移 /2的离散频谱的离散频谱 相位频谱相位频谱幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱22:4746FS的基本性质q3、对称性质、对称性质 包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响q(1)信号为实函数信号为实函数 已知已知 当周期信号为实函数，起相应的幅度频谱对当周期信号为实函数，起相应的幅度频谱对n 0是偶对称，是偶对称，

19、相位频谱对相位频谱对n 0是奇对称，只需计算单边频谱是奇对称，只需计算单边频谱22:4747FS的基本性质q(2)信号为实偶函数信号为实偶函数(偶对称偶对称)，信号绕纵轴翻转后与原，信号绕纵轴翻转后与原波形一样波形一样 当周期信号为实偶函数，其当周期信号为实偶函数，其FS展开式只含有直流分量展开式只含有直流分量与余弦项，不存在正弦项与余弦项，不存在正弦项22:4748FS的基本性质q(3)信号为实奇函数信号为实奇函数(奇对称奇对称)，信号绕纵轴翻转后再绕，信号绕纵轴翻转后再绕横轴翻转与原始波形一样横轴翻转与原始波形一样q 当周期信号为实奇函数，其当周期信号为实奇函数，其FS展开式只含有正弦项，

20、不存在展开式只含有正弦项，不存在直流分量与余弦项。直流分量与余弦项。22:4749FS的基本性质q(4)半周期对称半周期对称 1)半周期偶对称半周期偶对称(半周期重叠半周期重叠)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号半周期等于原信号 其其FS展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。 2)半周期奇对称半周期奇对称(半周期镜像半周期镜像)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号的镜像半周期等于原信号的镜像 其其FS展开式只含有奇次谐波。展开式只含有奇次谐波。22:4750FS的基本性质

21、 3)双重对称双重对称 若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则数或奇函数，则FS展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只有正弦奇次谐波有正弦奇次谐波22:4751FS的基本性质22:4752FS的基本性质22:4753第一次作业q已知信号已知信号x1(t)(图图(a)的频谱为的频谱为X1(n 0)，试写出图，试写出图(b)、(c)、(d)中信号的频谱中信号的频谱22:4754第一次作业答案22:4755周期信号的频域分析q 时域分析表明，时域分析表明，一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号一

22、个周期信号可用正弦型信号或复指数信号进行精确描述进行精确描述，不同形状的周期信号其区别仅仅在于，不同形状的周期信号其区别仅仅在于基频或基频或基本周期不同基本周期不同，组成成分中的，组成成分中的各谐波分量的幅度和相位各谐波分量的幅度和相位不同不同q 任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数X(n 0)来描述来描述q 反映周期信号全貌特征的三个参数，反映周期信号全貌特征的三个参数，基频，各谐波分量的幅基频，各谐波分量的幅度和相位度和相位, 2 , 1 , 0)()(000nenXeCtxntjnntjnn)(0n相位谱)(0nX幅值谱2n

23、C功率谱22:4756周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的间隔为为T2022)(1)(0TTdtetxTnCCtjnn周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的长度为为非周期信号-FT周期周期T T0 0增加对离散频谱的影响增加对离散频谱的影响22:4757非周期信号的时域表示q利用冲激信号表示非周期信号利用冲激信号表示非周期信号非周期信号表示为冲激信号的叠加非周期信号表示为冲激信号的叠加当当 0，则则k ， d ，求和变成积分，求和变成积分上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度x( )d ，作，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。

24、用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。22:4758非周期信号的时域分析q利用阶跃信号表示利用阶跃信号表示非周期信号非周期信号非周期信号表示为非周期信号表示为阶跃信号阶跃信号的叠加的叠加当当 0，则则k ， d ，求和变成积分求和变成积分上 式 表 明 ， 任 何 一 个 非 周 期 信 号 可 由 一 系 列 不 同 幅 度上 式 表 明 ， 任 何 一 个 非 周 期 信 号 可 由 一 系 列 不 同 幅 度x( )d =dx( )，作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合来表示。，作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合来表示。22:4759非周期信号可以看成是周期T 趋于无限大的周期信号非周期

25、信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。度趋于零。22)(lim)(lim)(0TTdtetxTnCCtjnTTdtetxCtjn)()(解决方法FT变换非周期信号-FT22)()(0TTdtetxTnCtjn上式为连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)。C()频谱密度函数22:4760频谱离散函数与频谱密度函数dtetxXnTXnXtjTT)()()(lim)(2lim00频谱离散函数与频谱密度函数的关系频谱离散函数与频谱密度函数的关系周期信号的周期信号的FS展开式为展开式为, 2 , 1 , 0,)(21lim)()

26、(000neXenXtxntjnTntjn当当T，则则n 0 ， d ，求和变成积分：，求和变成积分：deXtxtj)(21)(22:4761非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(变换核变换核时域 频域频域 时域ICTFT：一个非周期信号是由频率为无限密集，幅度X()(d/2)等于无限小，无限多的复指数信号ejt的线性组合而成。CTFT：周期信号是离散频谱，表示的是每个谐波分量的复振幅。非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅。X()是概率密度函数，是个复量。)

27、(相位谱)(X幅值谱22:4762非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一对一的关系对一的关系唯一性：唯一性：如果两个函数的如果两个函数的FTFT或或IFTIFT相等，则这两个函数必然相等。相等，则这两个函数必然相等。可逆性：可逆性：如果如果 ，则必有，则必有 ， 反之亦然。反之亦然。)()(XtxX)()(1txXFFT存在的条件：满足下列狄里赫利条件1、充分充分条件：时域信号绝对可积，2、在任意有限区间内，信号x(t)只有有限个最大值和最小值3、在任意有限区间内，信号x(t)仅有有限个不连续点，而且在这些点都必须是有限值非周期

28、信号FTdttx )(22:47632)(SaEX2)(SaEX例：典型非周期信号FT-矩形脉冲,/2( )0,/2Etx tt -/2 0 /2 tf (t)=)(tEGE(a)X()E=矩形脉冲面积 0 2 4 6 (b)()2 / 4 / 0(c)相位谱相位谱( (实函数实函数) )42(21)0,( )0( )2(21)4(1),( )0kkXkkX 22:4764矩形脉冲信号矩形脉冲信号FTFT的特点：的特点：FTFT为为SaSa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积FTFT的过零点位置为的过零点位置为)0(/2kk频域的能量集中在第一个过零点区间频

29、域的能量集中在第一个过零点区间/2 ,/2带宽只与脉宽有关，与脉高带宽只与脉宽有关，与脉高E E 无关。带宽为无关。带宽为/2B信号等效脉宽信号等效带宽)0(/ )0(fF)0(/ )0(FfBf例：典型非周期信号FT-矩形脉冲 -/2 0 /2 tf (t)=)(tEGE(a)X()E 0 2 4 6 (b)脉宽越窄，信号变化越大，信号传输速度快、信息量大，讯道所占用脉宽越窄，信号变化越大，信号传输速度快、信息量大，讯道所占用的频带也越宽的频带也越宽22:4765例：典型非周期信号FT-矩形脉冲q如果将周期矩形信号的离散频谱按如果将周期矩形信号的离散频谱按T0X(n 0)作图，则作图，则q

30、当当T0，T0X(n 0)的图形与周期性的图形与周期性离散频谱的包络线完全一致，就为离散频谱的包络线完全一致，就为X( )q 若将有限长非周期信号看作周期信号若将有限长非周期信号看作周期信号的一个周期进行延拓，则周期信号的的一个周期进行延拓，则周期信号的离散频谱离散频谱T0X(n 0)可以通过非周期信可以通过非周期信号的频谱密度号的频谱密度X( )，每隔，每隔 0进行取样进行取样而得。即而得。即T0X(n 0) = X( ) =n 0，T0越越大，大， 0越小，取样间隔也越小，谱线越小，取样间隔也越小，谱线越密集越密集22:4766单边指数信号：单边指数信号：)0( )()(atuetfatj

31、aF1)(221)(aF() aarctgajaArgFArg22)()( |F()| 1/a () /2 -/2 0 0 t 0 1 f (t) (a) (b) (c) a -a 21a例：典型非周期信号FT-单边指数22:4767双边实指数衰减信号：双边实指数衰减信号：)0()(aetfta222)(aaF222)(aaF0)( (实偶函数实偶函数) ) F() 2/a 0 t 0 1 f (t) (a) (b) a -a a1a -a 例：典型非周期信号FT-双边实指数22:4768直流信号：直流信号：0,0, 02limlim. 1 lim)(22000aadteeeFFatjtaat

32、aa功率信号的FT-直流信号),(, 1)(ttx功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数上式说明在上式说明在 =0处存在处存在 ( )，其冲激强度为其冲激强度为：222122atgdaa单位直流信号及其频谱单位直流信号及其频谱22:4769符号函数：双边直流信号，不满足绝对可积条件，但存在双边直流信号，不满足绝对可积条件，但存在FTFT。jdtetSgnFtj2)()(2)(F0, 2/0, 2/)( |F()|-a a (b)Sgn(t)1 0 t-1 (a)功率信号的FT-符号函数功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广

33、义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数; 0, 1; 0, 0; 0, 1)sgn(tttt22:4770冲激信号：冲激信号：EEedtetEtEFjtj0)()(强度为强度为E E 的冲激函数的频谱是的冲激函数的频谱是均匀谱均匀谱，白色频谱白色频谱。密度就是冲激的强度。密度就是冲激的强度。频谱在任何频频谱在任何频率处的密度都率处的密度都是均匀的是均匀的2)(1EEF单位冲激信号与直流信号的频谱单位冲激信号与直流信号的频谱例：功率信号的FT-冲激信号22:4771阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT。jF1)()(原点处的冲激原点处的冲激来自来自u(tu(t) )中的中的直流分量直流

34、分量 |F()| () 0 u(t) 1 0 t例：功率信号的FT-阶跃信号22:4772一般周期信号x(t)的FT，其基频为0ntjnenXtx0)()(0)(200tjneF则则周期信号的FT-推导1周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为X(n 0)的无限复指数信号的线性组合，的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为它的频谱密度等于强度为2 X(n 0) ，周期为，周期为 0的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 0)的线性组合的线性组合.已知已知故故nnnXX)()(2)(0022:4773周期信号的FT-推导1周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数Cn等于

35、该周期信号单个脉等于该周期信号单个脉冲的傅里叶变换冲的傅里叶变换X( )在在n 0频率点的值频率点的值X(n 0)乘以乘以1/T0。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。信号的傅里叶级数的系数。)(1)(20000nXTnXCnnnnXX)()(2)(0022:4774一般周期信号的FT设周期为设周期为T T1 1的周期信号在第一个周期内的函数为的周期信号在第一个周期内的函数为f f0 0(t)(t)nnTtftf)()(10nnTttf)(*)(10nnTttf)()(10)()(10ttfT则则于是于是nTo

36、nFtFtfFF)()()()()(1101nnnF)()(1101FTf0(t)利用脉冲函数的筛利用脉冲函数的筛选特性选特性周期信号的FT-推导2利用冲激函数的利用冲激函数的卷积特性卷积特性周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为F0(n 1)的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为度等于强度为 1F0(n 1) ，周期为，周期为 1的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 1)的线性组合的线性组合.22:4775周期信号的FT-推导2周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于该周期信号单个脉冲的等于该周期信号单个脉冲的傅里

37、叶变换傅里叶变换F0( )在在n 1频率点的值频率点的值F0(n 1)乘以乘以1/T1。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。的傅里叶级数的系数。)(1)(2101101nFTnFFnnnFF)()()(11022:4776单位冲激信号积分特性00( ) ( )(0)( ) ()()f ttff tttf t；2）单位冲激信号积分特性单位冲激信号积分特性（筛选）（筛选）)()()()()(000ttfdttftttf3）卷积特性卷积特性f ttftdf t( ) *( )( ) ()( ) 22:4777例：

38、周期单位冲激序列例：周期单位冲激序列求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：画波形解：画波形, ,冲激信号的频谱为冲激信号的频谱为: : nTnTtt)()(1单位冲激函数的间隔为单位冲激函数的间隔为T1，用符号，用符号 T(t)表示周期单表示周期单位冲激序列：位冲激序列：0)(F10t)(t1FT22:4778例：周期单位冲激序列可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 =0，1， 2 1， n 1， 的频率分量，且分量大小相等，均的频率分量，且分量大小相等，均等于等于1/T1。ntj

39、nnTeFt1)( T(t)是周期函数，周期为是周期函数，周期为T1 ，求其傅里叶级数：，求其傅里叶级数：12211)(111TdtetfTFTTtjnntjnTeTt111)(0t)(tT11T1T 0nF11T111212FS22:4779周期单位冲激序列FT求求 T(t)的傅里叶变换的傅里叶变换nnFTTnFt)(2)(111TFn 又nFTTnt)()(11可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于相等，均等于 1 。0t)(tT1

40、1T1T 0)(F1111212FT22:4780nsssnFTF)(1)(信号理想抽样前后频谱的变化信号理想抽样前后频谱的变化f (t)F ()0t(a) -c 0 c)(tTs)(ss(1)(s) -Ts Tst(b)s0s fs (t)Fs()F(0)/Ts -Ts Tst(c) -s -c 0 -c s -Ts Tst(d) -s -c 0 c s 抽样间隔发生变化抽样信号的FT22:4781按间隔按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期分之一按周期2 /Ts所进行的周

41、期延拓。所进行的周期延拓。f (t)F ()0t -c 0 c fs (t)Fs()F(0)/Ts -Ts Tst -s -c 0 c s 结论结论1： 时域时域时域离散时域离散频域频域周期周期结论结论2：抽样信号的FT22:4782周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT0)(tfE22TTt解：先求矩形解：先求矩形单脉冲信号单脉冲信号f f0 0(t(t) )的的傅里叶变换傅里叶变换F F0 0( ( ) )0t)(0tf122)2()(0SaEF022)(0FE22:4783再求再求周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的傅里叶级数的傅里叶级数Fn0) (tfE22TTt12T022nF1TE)

42、2()(111011nSaTEFTFnnntjnenSaTEtf1)2()(11求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FS22:4784最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F( )。nnnSaEF)()2()(111看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是连续。看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是连续。nnFTTnFtf)(2)(1周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT0) (tfE22TTt12T022nF1TE22:4785关系图 f0 (t) F0() E E -/2 0 /2

43、 t 0 2/ FnE/ T1f (t) 0 2/ F()E /1 -T1 -/2 0 /2 T1 t 0 2/ FTFSFT周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT频谱谱线的间隔为频谱谱线的间隔为112T在频域，能量集中在在频域，能量集中在第一个过零点之内。第一个过零点之内。带宽只与脉冲脉宽有带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期关，而与脉高和周期均无关均无关谱线包络线过零点谱线包络线过零点确定方法确定方法: :12,0knkZ k定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽/2022:4786复指数信号的FT：已知周期信号的FT-复指数信号0( )jtx

44、 te( )1,( )2( )x tX 000()0 ( )( )( )()jtjtj tjtF x t ex t eedtx t edtX( )1x t 当当002()jtF e 22:4787正弦信号的FT余弦信号的FT)()(sin000jtF)()(2cos000tjtjooeeFtF正弦和余弦信号FT的频谱图 tF0cos tjF0sin () () () -0 -0 0 0 0 0 (-)周期信号的FT-正余弦信号22:4788FT的性质（1）线性性：）线性性：齐次性和叠加性齐次性和叠加性（2）尺度变换特性：）尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对时域压缩对应频域扩展，时域

45、扩展对应频域压缩应频域压缩（3）时移特性：）时移特性：与尺度变换结合与尺度变换结合（4）频移特性：）频移特性：与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。（5）对称性）对称性(对偶性对偶性)：FT与与IFT的变换核函数是共轭对称。的变换核函数是共轭对称。（6）微分特性；）微分特性；（7）积分特性；）积分特性； （8）反褶和共扼性：）反褶和共扼性：（9）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。22:4789线性性线性性齐次性叠加性)()(tfa

46、FtafF)()()()(2121tfFtfFtftfFnnnnnntfFatfaF)()(FT的性质-线性性线性性22:4790FT的性质-线性性线性性-例例求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度11( )( )4(2 )XF x tSa22( )( )2( )XF x tSa线性性线性性22:4791时间尺度变换特性时间尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩对应频域压缩FT的性质-尺度变换特性1( )( )()(),FTFTx tXx atXaaa若，则为常数在时域若将信号压缩在时域若将信号压缩a倍，则在频域其频谱扩展倍，则在频域其

47、频谱扩展a倍，同时幅度相应倍，同时幅度相应地也减为地也减为a倍；反之亦然倍；反之亦然2121( )(2 ),1( )()2( )22x txtFTXXSa22:4792FT的性质-尺度变换特性-例求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度22:4793时移特性时移特性00()( )( )oj tj tF x ttXeF f te不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位0/01(),(0)j taF x attXeaaaFT的性质-时移特性求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度22:4794FT的性质-时移特性-例已知已知22:4795FT的性质-尺度变换特性-例信号的频谱信号

48、的频谱22:4796频移特性频移特性00( )()jtF x t eX ()0/01,(0)jt atFxeX aaaa时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。信号调制FT的性质-频移特性频移特性FT频移特性频移特性22:4797FT的性质-频移特性频移特性-例已知已知其中其中 R(t)表示一个矩形窗函数，是一个宽度为表示一个矩形窗函数，是一个宽度为 的矩形脉冲的矩形脉冲频移特性频移特性无限长的正弦信号无限长的正弦信号截断，在截断，在 0附近出附近出现功率泄露现功率泄露22:4798对称性（对偶性）对称性（对偶

49、性）FTFT与与IFTIFT的变换核函数是共轭对称的的变换核函数是共轭对称的()tjtjee*()tjtjee*FT的性质-对称性（对偶性）对称性（对偶性）若若则有则有变量置换变量置换22:4799FT的性质-对偶性对偶性-例例变量置换变量置换22:47100FT的性质-对偶性对偶性-例例变量置换变量置换FTFT22:47101FT的性质-对偶性对偶性-结论结论FT时域与频域的对偶关系时域与频域的对偶关系22:47102FT的性质-微分性质微分性质FT的微分性质，说明在时域对信号进行微分，的微分性质，说明在时域对信号进行微分，相应地在频域增强了高频成分相应地在频域增强了高频成分若若则有则有22

50、:47103FT的性质-微分性质微分性质-例例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式时间函数表示式解：解：从左图从左图(a)中求出中求出x (t)的的波形，而后利用微分性质求三波形，而后利用微分性质求三角形信号的频谱，角形信号的频谱， x (t)是两个是两个矩形脉冲的叠加，得矩形脉冲的叠加，得微分性质微分性质22:47104FT的性质-微分性质微分性质-例例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频例：三角形脉冲信号的时域波形如下图

51、所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式时间函数表示式22:47105FT的性质-积分性质积分性质若若则有则有FT的积分性质，说明在时域对信号进行积分，相应地在频的积分性质，说明在时域对信号进行积分，相应地在频谱的低频成分增加，高频成分减少，对信号起着平滑作用谱的低频成分增加，高频成分减少，对信号起着平滑作用域增强了高频成分域增强了高频成分例：已知矩形脉冲信号例：已知矩形脉冲信号x1(t)的积分波形如下右图，求该积的积分波形如下右图，求该积分信号分信号x2(t)的频谱密度的频谱密度已知已知22:47106反褶和共扼性

52、反褶和共扼性时域频域原信号f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f *(t)F *(-)反褶+共扼f *(-t)F *()FT的性质-反褶和共扼性反褶和共扼性22:47107FT的性质-卷积定理-补充知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识1、时差域相关分析概念、时差域相关分析概念2、相关系数及其性质、相关系数及其性质4、相关分析的工程应用、相关分析的工程应用5、卷积定义、卷积定义6、卷积的性质、卷积的性质7、卷积与相关、卷积与相关8、卷积定理、卷积定理22:47108(1) (1) 变量相关的概念变量相关的概念时差域相关分析 相关指变量之间的相依关系，统计学

53、中用相关系数相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。之间的关联程度。 2/ 122)()()(yxyxyxxyyExEyxEcxyxyxy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy例如，玻璃管温度计液面高度例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度与环境温度(x)的关系就是的关系就是近似理想的线形相关，在两个近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来中一个可以测量

54、的量的变化来表示另一个量的变化。表示另一个量的变化。 协方差或相关矩均方差22:47109 如果所研究的变量如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数，即是与时间有关的函数，即x(t)与与y(t)，这时可以引入一个与时间，这时可以引入一个与时间有关的量，称为函数有关的量，称为函数的相关系数的相关系数 ，并有：，并有：)(xyxyx t y tdtxt dtyt dt( )( ) ()( )( )/221 2假定假定x(t)、y(t)是不含直流分量是不含直流分量(信号均值为零信号均值为零)的能量的能量信号。分母常量，分子是信号。分母常量，分子是时移时移的函数，反映了二个信号的函数，反映了二个信号

55、在时移中的相关性，称为相关函数。在时移中的相关性，称为相关函数。dttytxRxy)()()(dttxtyRyx)()()(无纲量无纲量 有纲量：有纲量：能量信号能量信号能量能量功率信号功率信号功率功率相关函数22:47110波形的相关程度分析波形的相关程度分析时域波形相关程度分析-例22:47111算法：算法：令令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生时差，再相乘和积分，再相乘和积分，就可以得到就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。 x(t)y(t)时时延延器器 乘乘法法器器 y(t - )X(t)y(t -)积积分分 器器 Rxy()*图例图例自相关函数：自

56、相关函数：x(t)=y(t)x(t)=y(t)相关计算22:47112自相关计算-例22:47113互相关计算-例22:47114互相关计算-例22:47115相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻不同时刻的相似的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 （1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，RX( )=Rx(- )； （2）当）当 =0 时，时，自相关函数具有最大值。自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，）周期信号的自相关函数

57、仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。但不保留原信号的相位信息。（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信 号，且保留原了信号的相位信息。号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。）两个非同频率的周期信号互不相关。 （6）随机信号的自相关函数将随）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。的增大快速衰减。22:47116典型信号相关分析实验22:4711722:47118案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表面粗糙度自相关分析 被测被测工件工件相关分析相关分析性质性质3,3,性质性质4:4:提

58、取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。相关分析工程应用-粗糙度分析22:47119相关分析工程应用-粗糙度分析性质性质3,4:3,4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。原因不明原因不明粗糙度分析粗糙度分析22:47120相关分析工程应用-轴心轨迹测量轴心轨迹测量相关信号相关信号T/4（4 4）随机噪声信号的自相关函数将随）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快的增大快速衰减。速衰减。（5 5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息。期信号，且保留了原信号的相位信息。22

59、:47121理想信号理想信号干扰信号干扰信号实测信号实测信号自相关系数自相关系数性质性质3 3，性质，性质4 4：提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。案例：自相关测转速22:471220240480720960120014409409901040(a)Speed (r/min)0240480720960120014409409901040(b)Speed (r/min)0240480720960120014409409901040(c)Crank Angle (degCA)Speed (r/min)每周采样每周采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示个点。显示2个循环的数据。

60、个循环的数据。循环周期发火周期案例：案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断22:47123020406080100120140160180-1-0.500.51020406080100120140160180-0.500.51020406080100120140160180-0.500.51每周采样每周采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示个点。显示2个循环的数据。个循环的数据。自相关函数自相关函数案例：案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断22:47124012024036