(word完整版)双曲线知识点总结及练习题,推荐文档

1、、双曲线的定义 1、第一定义：到两个定点 Fi与 F2的距离之差的绝对值等于定长（V|FIF2|）的点的轨迹 （PFJ PF2| 2a F1F2 （ a为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之 差的绝对值。（2） 2av|FiF2|。 当|MFi|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2所对应的一支； 当|MFi| |MF2|= 2a 时，曲线仅表示焦点 Fi所对应的一支； 当 2a=|FiF21 时，轨迹是一直线上以 Fi、F2为端点向外的两条射线； 用第二定义证明比较简单 或两 边之差小于第三边 当 2a |FiF2|时，动点轨迹不存在。 a2 2、第二定义：动点到一

2、定点 F 的距离与它到一条定直线 I （准线 ）的距离之比是常数 e（ei）时，这个动 c 点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线 I 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的标准方程 b2 c2 a 2 X 焦点在 x轴上：务 a 2 y b2 (a 0, 2 焦点在 y 轴上：% a (a 0, b 0) （i）如果 x2项的系数是正数，则焦点在 X 轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在 y 轴上。 a 不一定大于 b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2 的分母的大小，而是X2、y2 的系数的 符号，焦点在系数正的那条轴上 2 1共焦点的双曲线系方程是 二 - a2 k

3、2 2 (2)与双曲线冷爲 a b 2 bk 1 (3 )双曲线方程也可设为: 2 仝 1(mn 0) n 顶点坐标 （a ,0） (a,0) (0, a,) (0, a) 离心率 e C(e a 1)， c2 a2 b2, e 越大则双曲线开口的开阔度越大 准线方程 X 2 a c 2 a y c 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2 c 顶点A （A2）到准线 I1 （ I2 ）的距离为 2 a a 顶点到准线的距离 顶点A （A2 ）到准线 12 （ I1 ）的距离为 c 2 a a c 焦点到准线的距离 焦点F-i 焦点F-i （F2）到准线 （F2）到准线 h （

4、 I2 ）的距离为 I2 （ h）的距离为 2 . 2 a b c c c 2 a c c 渐近线方程 b y a x ( .2 1 2 虚、 b b )， c,工 c, 头 a 和 a b x - y a ( (头 将右边的常数设为 0， 即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解 共渐近线的双曲线系 方程 x2 y a2 b 2 2 k ( k 0) 2 2 y x 2 , 2 a b k ( k 0) 双曲线 2 x 2 a 2 爲 1与直线y kx b的位置关系： b2 2 X 利用07 2 V- 1 .2 1十七 2 斗_.二 、治七壬口 中助口 b2 转化为兀二次力程用判力别式确疋。 直

5、线和双曲线的位置 y kx b 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 |AB| Ji k%/(x1 x2)2 4x1x2 通径： AB y2 y1 2b2 与椭圆一样 a 过双曲线上一点的切 线 XoX yy a2 b2 1或利用导数 YoY xx a2 b2 1或利用导数 四、双曲线的参数方程: x a sec x a cos 椭圆为 y b tan y b sin 五、弦长公式 提醒解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的 思想方法。 3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、

6、焦半径公式 2 2 双曲线 笃 每 1 (a0, b0)上有一动点 M (x0, y0) a b 左焦半径：r= | ex+a | 右焦半径：r= | ex-a | 当M（xo,y。）在左支上时|MFi | 当M （x0,y0）在右支上时IMF! | 左支上绝对值加-号，右支上不用变化 双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则： （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算, 而双曲线不带符号）MF1 exo a 构成满足抽尸|MF 2 2a MF 2 ex0 a 注：焦半径公式是关于 Xo的一次函数，具有单调性，当 M（xo,y。）在左支端点时|MFi| c a , IMF2I c a，当 M

7、(X0,y)在左支端点时 | MR | c a , | MF2 | c a 七、等轴双曲线 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 A （xi,yi）B （X2,y2）两点，则 AB = 1+k2 为 2 X2 4X-| 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点，则弦长| AB | 2b2 a exo a ,| MF21 exo eX) a ,| MF21 eX) a 2 X2 k 为直线斜率 2 X 2 a b2 1 （a0, b0）当a b时称双曲线为等轴双曲线 2。 离心率e 2； 3。 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ； 4。 等轴双曲线的方程

8、 x2 y2 , 0 ； 八、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线, 通常称它们 互为共轭双曲线。 2 2 2 z 仝 与 0 2 . 2 J 2 a b a 2 y_ 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 y_ o b2 九、点与双曲线的位置关系, 直线与双曲线的位置关系 1点与双曲线 占 八、 、 P( Xo, yo)在双曲线 占 八、 、 P( Xo, yo)在双曲线 占 八、 、 2 .2 a b 2 2 x y 2 a b2 2 2 x y 2 a b2 P(x, y)在双曲线 2 x 2 1(a 1(a 1(a 直线与双曲线 代

9、数法: 设直线l : y kx m，双曲线 2 x 2 a 0,b 0,b 0,b 0)的内部 0)的外部 0)上 2 XQ 2 a (b2 a2 k2)x2 2a2mkx a2m2 (1) 0时, (2) m B, k a 0时, k a 或 a k存在时，若 -2 若 b2 a2k2 2 殳 1(a Q,- a2b2 0 -，直线与双曲线交于两点 a 2 xo a 2 xo 2 a y0 b2 2 yc b2 2 -計 0)联立解得 k 不存在时，直线与双曲线没有交点; a2k2 代值验证，如x2 y2 1 ， 直线与双曲线渐近线平行， 直线与双曲线相交于一点; a 2 2 2a mk)

10、4(b2 2 2 a k )( 0 时，m2 b2 a2k2 0 时，m2 b2 a2k2 0,直线与双曲线相交于两点; 0,直线与双曲线相离，没有交点; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a m a b ) 4a b (m b a k ) k不存在， a m a时，直线与双曲线没有交点; a直线与双曲线相交于两点; 十、双曲线与渐近线的关系 0，焦点在 y 轴上) 卜一、双曲线与切线方程 2 每 1(a 0,b 0)与直线 b 椭圆与双曲线共同点归纳 十二、顶点连线斜率 双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为 K时得到不同的曲线。 椭圆参照选修 2-1P41,双曲线参照选修 2-1P55

11、1、A、B 两点在 X 轴上时0时 m2 b2 a2k2 0 , k2 2 ,2 m b 2 a 直线与双曲线有一个交点；相切 2 2 1、双曲线 a b2 1(a 0,b 0)上一点P(x0, y0)处的切线方程是-02 卑 a b 1。 2 x 2、过双曲线 a 2 y 2 1(a 0,b 0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是 b xx -2 a Ycy 1、 若双曲线方程为 1(a 0,b 0) 渐近线方程: 2、 b 0) 渐近线方程: 2 y 2 a 3、 若渐近线方程为 x _y a b 2 x 双曲线可设为二 a 2 y b2 4、 2 x 若双曲线与飞 a 2 y

12、b2 1有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 2 y b2 0 ,焦点在 x轴上, 2 x 3、双曲线一 a 2 2 2 2 Ax By C 0相切的条件是A a B b (a 0, 若双曲线方程为 PF. 2 PF2 2 F1F2 2 2|PF.| PF (1)当斤0时轨迹是双曲线，除去A, B两点，与双曲线 的标准方程4-4=1*比较知八小 所以広卑； a ba b a a (2 )当k k- - - -1 1时轨迹是圆*除去呂两点； (3) 当时，轨迹是焦点落在調轴上的椭圆，除去A, B两点，其中； (4) 当0)的渐近线方程为 3xi2y= 0,贝V a 的值为( ) a 9 A 4 B

13、 3 C 2 D 1 7 从勒 = 1(其中 m, n 1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个， 则此方程是焦点在 x轴上的双曲线方程的概率为 ( ) 14 2 3 A.2 B.7 D.4 y2 x2 8 双曲线 6 3= 1 的渐近线与圆(x 3)2 + y2= r2(r0)相切，贝U r =( ) A. .6 B 3 C 4 D 6 . n 9 如图 K51 1,在等腰梯形 ABCD 中，AB / CD 且 AB= 2AD，设/ DAB = 0,张 0, ?，以 A、 B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为

14、 e2,贝 U e1 e = 10 已知双曲线 二2 = 1(a0 , b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的 a b 右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 _ 11 已知双曲线x x2 y y2 = 1(a0 , b0)的一条渐近线方程为 y= 3x,它的一个焦点为 F(6,0)，则双 a b 曲线的方程为 _ 12 (13 分)双曲线 C 与椭圆 2 + 3|= 1 有相同焦点，且经过点(.15 , 4) (1) 求双曲线 C 的方程； (2) 若 F1, F2是双曲线 C 的两个焦点，点 P 在双曲线 C 上，且/ F1PF2= 120 ,求厶

15、F1PF2的面积. 难点突破 x2 v2 和椭圆2+ y y2= 1(a0 , mb0)的离心率互为倒数，那么以 a, m b b, m 为边长的三角形是( ) A .锐角三角形 B 直角三角形 13 (1)(6 分)已知双曲线 x2y2=1 C 钝角三角形 D 锐角三角形或钝角三角形 (2)(6 分)已知 Fi、F2为双曲线 C： x2 y2= 1 的左、 右焦点， 点 P 在双曲线 C 上， 且/ FIPF2= 60 则 |PFi| |PF2|=( ) A . 2 B . 4 C. 6 D. 81 1 8 .双曲线的渐近线方程为 x 2y 0,焦距为10，这双曲线的方程为 O 双曲线综合训

16、练 、选择题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（ A.双曲线 设双曲线的半焦距为 B .双曲线的一支 C .两条射线 D. 一条射线 c，两条准线间的距离为 d，且c d，那么双曲线的离心率 e等于（ 过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的弦 PQ， F1是另一焦点，若/ PFQ -，则双曲线的离心 率e等于（ A. 、2 1 B. 2 C. 2 1 D. 、2 4.双曲线mx2 1 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m 5.双曲线 面积为 1, 1(a,b 且 tan PF1 F2 12x A . 5 3

17、y2 C . 3x2 12y2 5 6.若F1、F2为双曲线 曲线的右准线上，且满足 A. .2 2 7 .如果方程 P 2 x A . 2q p 2 y_ q 2 C . y- 2p q q ) 1 D .- 4 0）的左、右焦点分别为 Fi, F2,点 P 为该双曲线在第一象限的点, !, tan 2 PF2F1 2 1的左、 b2 FQ PM,OP PF1F2 2,则该双曲线的方程为（ 右焦点, 5x2 12 x2 3y2 1 O 为坐标原点，点 P在双曲线的左支上，点 (OF1 OM ) OF1 OM （ 0），则该双曲线的离心率为（ 1 表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 2

18、 x B . 2q p 二、填空题：（本大题共 M在双 2 D . x 2p q 2 y_ q 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分） 2 11. (本小题满分 10 分)双曲线与椭圆有共同的焦 点Fi(0, 5)冋0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线 与椭圆的一个交点，求渐近线与 椭圆的方程。 12. (本小题满分 20 分)已知三点 P (5, 2)、F1 (- 6, 0)、F? (6, 0)。 (1) 求以 F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； (2) 设点 P、F1、F2关于直线 y = x 的对称点分别为P、F；、F?，求以 F；、F?为焦点且过点 P 的双曲线的标

19、准方程x 9 .若曲线 - 4 1表示双曲线，则k的取值范围是 10 若双曲线 1的渐近线方程为y 丄3x,则双曲线的焦点坐标是 2 三、解答题: (本大题共 2 小题，满分 30 分) 【基础热身】 1. C 解析双曲线方程可化为4 8 X2 1 2. B 解析由于直线 x 2y+ 1 = 0 与双曲线 7 y2= 1 的渐近线 y = -X 平行，所以直线与双曲线只 有一个交点，所以集合 A 中只有一个元素.故选 B. x2 V2 3. B 解析双曲线-9 = 1 的一个焦点是 式可得 d= |3X 5 0| = 3.故选 B. 5 4.4 解析双曲线 79 = 1 的共轭双曲线是 3 /

20、 9 率 e= 3. 【能力提升】 1(a0, b0),所以其渐近线方程为 y=牛乂，因为点(4, 二 = 1,解得 e2=彳，所以 e=h a 4 4 2 6. C 解析根据双曲线x x2 = 1 的渐近线方程得：y=x，即 ayi3x= 0.又已知双曲线的渐近线 a 9 a 方程为 3x2y = 0 且 a0,所以有 a= 2,故选 C. 7. B 解析若方程表示圆锥曲线，贝 U 数组(m, n)只有 7 种：(2, 1), (3, 1), ( 1, 1), (2,2), 4 (3,3), (2,3), (3,2)，其中后 4 种对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，所以概率为 P =

21、7.故选 B. y = 2x,圆心为(3,0)，所以半径 r = L L2 243 | |=/6.故选 A. 连接 BD，设 AB= 2，贝 U U DM = sin 0,在 Rt BMD 中，由勾股定理 e*|AC|+ |AD|=5 4cosB+ 1， K 10 . 2 , +8 )解析依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是60 90 ,所以 tan60 = . 3, a 即 b23a2, c24a2，所以 e2. = 1 解析b b= 3，即 b= ,3a,而 c= 6,所以 b2 = 3a2= 3(36 b2),得 b2= 27, a2= 9, 2 7 a 所以双曲线的方程为27= 1

22、. 12 解答(1)椭圆的焦点为 F1(0, 3), F2(0,3). 设双曲线的方程为y y2 X X2 = 1,贝U a2 + b2= 32= 9 a b 又双曲线经过点 C.15, 4)，所以 a6 6 15 5 = 1， 解得 a2= 4, b2= 5 或 a2= 36, b2= 27(舍去), 所以所求双曲线 C 的方程为y X = 1. 4 5 (2)由双曲线 C 的方程，知 a= 2, b = , 5, c= 3. X X 1，所以 a2 = 4，得 a= 2，所以 2a = 4.故实轴长为 4. 2 (5,0), 一条渐近线是 3x 4y= 0,由点到直线的距离公 9 y7 =

23、 1，所以 a= 3, b = 7，所以 c= 4，所以离心 一 x2 y2 5. D 解析设双曲线的标准方程为 孑一2= & A 解析双曲线的渐近线为 9. 1 解析作 DM 丄 AB 于 M , 得 BD = 5 4cos 0,所以 c _ |AB| = 2 e e1 = |BD|AD|厂5 4cos 0 1 |CD | 2 2cos 所以 ei e2= 1. 11. 设 |PF1|= m, |PF2|= n,贝V |m n|= 2a = 4, 平方得 m2 2mn+ n2= 16. 在厶 中，由余弦定理得(2c)2 = m2+ n2 2mncos120 = m2+ n2+ mn=

24、36 由得 mn = 2020, 所以 F1PF2 的面积为 S= 2mnsin120 = 53. 【难点突破】 13. (1)B (2)B 解析(1)依题意有 a J b 寫 b =，化简整理得 a2+ b2= m2 在 F1PF2中，由余弦定理得， o |PF1|2+ |PF2|2 IF1F2I2 cos60 = 2|PF1| |PF2| ， |PF1| |PF2| 2 |F1F2|2+ 2|PF1| |PF2| 2|PFi| |PF2| 4a2 4 c2 4b2 = - + 1 = - + 1. 2|PFi| |PF2| 2|PFI| |PF2| 因为 b = 1,所以 |PFi| |P

25、F2|= 4故选 B.故选 B. 2a c 2 又PF2 |PF1 2a PF2 2a c，由双曲线的第二定义知： e 丄丄 -1 .且 e 1, c e e 2，故选C. 【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性 由题意知,pq 0若p 0,q 0 ,则双曲线的焦点在 y轴上,而在选择7 .D A,C 中，椭圆的焦点都在x 支轴上，而选择支 B,D 不表示椭圆 选择支 D 的方程符合题意. 2 X 4y2 2 ,( 0)，焦距 2c 10,c 25 二、填空题 2 2 x y 8. 1 设双曲线的方程为 2 2 , , X 当 0时，一 y_ 1, 25, 20; 4 4 0 ,选择支 A,C 不表示椭圆 ，双曲线的半焦距平方 2 c 1 . D PM PN 2,而 MN 2, 2 2 2a 2 c -.C c,c 2a2,e2 2 c a P在线段MN的延长线上 PF1 PF2 2a, 2 2c 2c 2a,e A. 【思路分析】：设p(x,y), yo yo X