4-2-3任意四边形(1)

1、任意四边形、 梯形与相似模型例题精讲板块一任意四边形模型任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”) ：das1ss42os3bc31 / 30 s1 : s2s4 : s3 或者 s1s3s2s4 ao : ocs1s2: s4s3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系【例 1】 ( 小数报竞赛活动试题) 如图，某公园的外轮廓是四边形abcd，被对角线ac、bd 分成四个部分，aob面积为 1 平方千米， boc面积为 2 平方千米 ， cod的面积为3 平

2、方千米，公园由陆地面积是6 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？cboad【分析】 根据蝴蝶定理求得s aod3121.5平方千米，公园四边形abcd 的面积是 1231.57.5 平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形bgc 的面积；a2ag : gc？d13gb【解析】 根据蝴蝶定理，csv bgc123 ，那么sv bgc6 ；根据蝴蝶定理，ag : gc12 : 361: 3 【例 2】 四边形 abcd 的对角线ac 与 bd 交于点 o ( 如图所示 )

3、如果三角形abd 的面积等于三角形bcd 的面积的 1 ，且 ao32 ， do3 ，那么 co 的长度是 do 的长度的 倍adadgohobcbc【解析】 在本题中，四边形abcd 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件 sv abd : sv bcd1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ，于是可以作ah 垂直 bd 于 h ， cg 垂直

4、 bd 于 g ，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一：ao : ocs abd: s bdc1:3 ， oc236 ， oc : od6:32:1 解法二：作ahbd 于 h ， cgbd 于 g s，1 s abdbcd3 ah s1 cg ，31 s，aoddoc3 ao oc1 co ，3236 ， oc : od6:32:1 【例 3】 如图，平行四边形abcd 的对角线交于o 点， cef、oef、odf、boe 的面积依次是2、4、4 和 6求

5、：求aocf 的面积；求dgce 的面积 ofgbec【解析】 根据题意可知，bcd 的面积为 244616 ，那么bco 和cdo 的面积都是 1628 ，所以 ocf 的面积为 844；由于bco的面积为8， boe 的面积为6，所以oce 的面积为 862 ，根据蝴蝶定理，eg : fgs coe : s cof2 : 41: 2 ，所以s gce: s gcfeg : fg1: 2 ，那么 s1s122 gcecef1233【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的面积分别是6 公顷和 7 公顷那么最大的一个三角形的面

6、积是多少公顷？d6c6e77a【解析】 在 vabe ， vcde 中有aebced ，所以bvabe ， vcde的面积比为( aeeb): (cede ) 同理有 vade ， vbce 的面积比为( aede ) : (beec ) 所以有svabe× svcde=svade × svbce ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2 条对角线，有图形分成上、下、左、右4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积即 svabe6 = svade7 ，所以有vabe与 vade 的面积abe比为 7 : 6 ， sv=73921公顷，67显然，最大的三角形

7、的面积为21 公顷sv=63918 公顷ade67【例 5】 ( 2008年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1 ，则图中阴影三角形的面积为aaddbbocc【解析】 连接 ad 、 cd 、 bc 则可根据格点面积公式，可以得到abc 的面积为： 14212 ，acd 的面积为：3313.5 ，2abd 的面积为：2413 2所以 bo : ods: s2 :3.54 : 7 ，所以 s4s4312 abcacdaboabd471111【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形abc 的面积eda【解析】 因为bbd : ce2:5c，且 bd ce ，所以da : ac2

8、:5， s abc5， sdbc51022577【例 6】 ( 2007 年人大附中考题) 如图，边长为1 的正方形abcd 中， be的面积2ec ， cffd ，求三角形aega dadggffb ecbec【解析】 连接 ef 因为 be2ec ， cffd ，所以s def111() swabcd1swabcd 23212因为 saed1swabcd，根据蝴蝶定理，ag : gf1 : 16 :1 ，2所以 s6 s6 s61 s2123 sagdgdfadfwabcdwabcd77414所以 s ages aeds agd1swabcd3swabcd22swabcd，即三角形aeg

9、的面积是 2721477【例 7】 如图，长方形abcd 中， 方形 abcd 的面积be : ec2:3， df : fc1: 2 ，三角形 dfg 的面积为2 平方厘米，求长a gdfb eca gdfb ec【解析】 连接 ae ， fe 因为 be: ec2:3， df: fc1: 2 ，所以svdef311()s长方形abcd1s长方形 abcd 53210因为 s1 s，ag : gf1 : 15:1 ，所以s agd5s gdf10 平方厘米， 所以s afd12 平vaed长方形abcd2vvv2 10方厘米因为s1 s，所以长方形abcd 的面积是 72平方厘米vafd长方形

10、 abcd6【例 8】 如图，已知正方形abcd 的边长为10 厘米， e 为 ad 中点， f 为 ce 中点， g 为 bf 中点，求三角形 bdg 的面积a edaedoffggb cbc【解析】 设 bd 与 ce 的交点为 o ，连接 be 、 df 由 蝴 蝶 定 理 可 知eo : ocsvbed: sv bcd， 而svbed1swabcd，4svbcd1swabcd2， 所 以eo : ocsvbed: sv bcd1: 2 ，故 eo1 ec 3由于 f 为 ce 中点，所以ef1 ec ，故2eo: ef2:3， fo : eo1: 2 由蝴蝶定理可知sv bfd: sv

11、bedfo: eo1: 2 ，所以sv bfd1svbed1s，wabcd那么 sv bgd1svbfd1swabcd28110106.25 （平方厘米）21616【例 9】 如图，在abc 中，已知 m 、 n 分别在边 ac 、 bc上， bm 与 an 相交于 o , 若aom 、abo 和bon 的面积分别是3、2、1，则mnc 的面积是amocbn【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得s mons aoms bon313s aob22设 s monx ，根据共边定理我们可以得s anm3，s abm3232，解得 x22.5s mncs mbc

12、x13x2【例 10】( 2009 年迎春杯初赛六年级) 正六边形a1a2 a3 a4 a5 a6 的面积是2009 平方厘米， b1b2b3b4b5b6 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米a1b1a2b6b2a1b1a2b6ob2a6a3a6a3b5b3a 5b4a4b5b3a5b4a4【解析】 如图， 设 b6 a2 与b1 a3 的交点为 o ，则图中空白部分由6 个与a2oa3 一样大小的三角形组成，只要求出了a2oa3 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接 a6 a3 、 b6 b1 、 b6 a3 设a1b1b6 的面积为” 1“，则

13、b1a2b6 面积为” 1“，a1 a2 b6 面积为” 2“，那么a6 a3b6 面积为a1 a2 b6的 2 倍，为”4 “，梯形面积为 2 a1a2a3 a6 的面积为224212 ，a2b6a3 的面积为”6 “，b1a2 a3 的根据蝴蝶定理，b1oa3osb1a2b6: s a3 a2 b61: 6 ，故s a2 oa36， s16b1 a2 a312 ，7所 以 sa oa: s梯形 a a a a12:12:1: 7 ， 即a2oa3 的面积 为梯 形a a a a 面 积的1， 故为六边形231 2 3 61 2361 2345 6a a a a a a 面 积的17，那么空

14、白部分的面积为正六边形面积的1763 ，所以阴影部分面积为1414720091371148 ( 平方厘米 ) 板块二梯形模型的应用梯形中比例关系( “梯形蝴蝶定理”) ：aad s1s2s4os3bcb22 s : sa : b13 s : s : s : sa 2 : b2 : ab : ab ；1324 s 的对应份数为2a b梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】如图，s22 ， s34 ，求梯形的面积s1s2s422s3【解

15、析】 设s1 为 a 份，s3 为 b 份，根据梯形蝴蝶定理，s34b ，所以 b2 ；又因为 s22 ab ，所以2a1；那么sa21， s4ab2 ，所以梯形面积ss1s2s3s412429 ，或者根1据梯形蝴蝶定理，2sab2129 【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营) 如下图，梯形abcd 的 ab 平行于 cd ，对角线ac ， bd 交于 o ，已知 aob 与 boc 的面积分别为25平方厘米与35 平方厘米，那么梯形abcd 的面积是 平方厘米ab25o35d【解析】 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ，sv aobcvboc: sa 2 : ab25: 35 ， 可

16、得a : b5:7， 再 根 据 梯 形 蝴蝶 定 理 ，sv aob: sa2 : b 252 : 7225: 49， 所 以sv doc49 ( 平方 厘 米 ) 那么 梯 形 abcd 的面 积 为v doc25353549144( 平方厘米 ) 【例 12】梯形 abcd 的对角线ac 与 bd 交于点 o ，已知梯形上底为2，且三角形abo 的面积等于三角形 boc 面积的 2 ，求三角形aod 与三角形 boc 的面积之比3adobc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，sv aob2: svbocab : b2 : 3 ，可以求出a : b2:3 ，再根据梯形蝴蝶定理，sv aod: sa

17、2 : b222 : 324 : 9 vboc通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【例 13】( 第十届华杯赛) 如下图，四边形abcd 中，对角线ac 和 bd 交于 o 点，已知ao1 ，并且三角形 abd的面积三角形 cbd的面积b3 ，那么 oc 的长是多少？5aocd【解析】 根据蝴蝶定理，三角形 abd的面积ao ，所以ao3 ，又 ao1 ，所以 co5 三角形cbd的面积coco53【例 14】梯形的下底是上底的1.5 倍，三角形obc 的面积是29cm ，问三角形aod

18、 的面积是多少？ado2222bc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，a : b1:1.52:3 ， saod : s boca : b2 : 34 : 9 ，所以 saod4 cm2【巩固】如图，梯形abcd 中，aob 、cod 的面积分别为1.2 和 2.7 ，求梯形 abcd 的面积abo22dc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，sv aob: svacoda: b4 : 9 ，所以a : b2:3 ，2s: sab : ab : a3: 2 ， ss1.231.8 ，vaods梯形abcdvaob1.21.81.82.77.5vaodvcob2【例 15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小

19、块，已知三角形adg 的面积是 11，三角形 bch的面积是 23，求四边形egfh 的面积afbafbghghdecdec【解析】 如图，连结 ef，显然四边形 adef 和四边形 bcef 都是梯形，于是我们可以得到三角形 efg 的面积等于三角形 adg 的面积； 三角形 bch 的面积等于三角形 efh 的面积， 所以四边形 egfh 的面积是 11 23 34【巩固】 ( 人大附中入学测试题) 如图，长方形中，若三角形1 的面积与三角形3 的面积比为4 比 5，四边形 2的面积为36，则三角形1 的面积为 123123【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2 分成左右两

20、边，其面积正好等于三角形1 和三角形 3，所以 1 的面积就是3644516 ， 3 的面积就是3654520 【例 16】如图，正方形abcd 面积为 3 平方厘米，m 是 ad 边上的中点求图中阴影部分的面积bcgamd【解析】 因为 m 是 ad 边上的中点，所以am : bc1: 2 ，根据梯形蝴蝶定理可以知道s amg: s abg: s mcg: s bcg12 （: 12）（: 12）: 221: 2 : 2 : 4 ，设s agm1份，则s mcd123份，所以正方形的面积为1224312份， s阴影平方厘米224 份， 所以s阴影: s正方形1: 3 ，所以s阴影1【巩固】在

21、下图的正方形abcd 中， e 是 bc边的中点，ae 与 bd 相交于 f 点，三角形bef 的面积为1 平方厘米，那么正方形abcd 面积是平方厘米a df2b ec【解析】 连接 de ，根据题意可知be: ad1: 2 ，根据蝴蝶定理得s梯形（12）9 ( 平方厘米 ) ，s ecd3 ( 平方厘米 ) ，那么swabcd12 ( 平方厘米 ) 【例 17】如图面积为 12 平方厘米的正方形abcd 中， e, f 是 dc 边上的三等分点，求阴影部分的面积abodcef【解析】 因为e , f 是 dc 边上的三等分点，所以ef : ab1:3，设 soef1 份，根据梯形蝴蝶定理可

22、以知道2ss3 份，s9 份，ss(13) 份，因此正方形的面积为44(13)24 aoeofb aob ade bcf份， s阴影6 ，所以s阴影: s正方形6 : 241: 4 ，所以s阴影3 平方厘米【例 18】如图，在长方形abcd 中， ab6 厘米， ad2 厘米， aeeffb ，求阴影部分的面积aef odb aefb oc dc【解析】 方 法一：如图，连接de ， de 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形aed 的面积为26322 平方厘米由于 ef : dc1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，s: s3:1，所以 s3 s，而 ss2vdeovefovdeov def4v

23、defvade平方厘米，所以svdeo321.5 平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5 平方厘米42方法二：如图，连接de ， fc ，由于ef : dc1:3 ，设 soef1 份，根据梯形蝴蝶定理，s oed3份， s梯形 efcd(13)16 份，s ades bcf134 份，因此s长方形 abcd416424 份，s阴影437 份，而s长方形 abcd6212 平方厘米，所以s阴影3.5 平方厘米【例 19】( 2008 年”奥数网杯”六年级试题) 已知 abcd 是平行四边形， 面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米bc : ce3: 2 ，三角形 ode 的adad

24、oobc【解析】 连接 ac ebce22由于 abcd 是平行四边形，bc : ce3: 2 ，所以ce : ad2:3 ，根据梯形蝴蝶定理，sv coe: sv aoc: svdoe: svaod2 : 23: 23: 34 : 6 : 6 : 9 ，所以svaoc6 ( 平方厘米) ， svaod方厘米 ) 9 ( 平方厘米 ) ，又svabcsv acd6915 ( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为61521( 平【巩固】右图中abcd 是梯形，abed 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米) ，阴影部分的面积是平方厘米adad 99214bec21o4bec【分析】

25、连接 ae 由于 ad 与 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocd2s oae 根据蝴蝶定理，s ocds oaes oces oad4936 ，故s ocd36 ，所以 s ocd6 ( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 2008 年三帆中学考题) 右图中 abcd 是梯形，abed 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米) ，阴影部分的面积是平方厘米adad8162becb816o2ec【解析】 连接 ae 由于 ad 与 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocdocds oae 根据蝴蝶定理，s ocds oaes oces oad2816 ，故s

26、216 ，所以s ocd4 ( 平方厘米 ) 另解：在平行四边形abed 中，s ade1syabed116812 ( 平方厘米 ) ，所以 s aoes ades aod221284 ( 平方厘米 ) ，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244 ( 平方厘米 ) 【例 20】如图所示， bd 、 cf 将长方形abcd 分成 4 块，def 的面积是5 平方厘米，ced 的面积是10 平方厘米问：四边形abef 的面积是多少平方厘米？afd 5e10a fd 5e10b cbc【分析】 连接 bf ，根据梯形模型，可知三角形bef 的面积和三角形dec 的面积相等，即其面积也是10 平方厘米，

27、再根据蝴蝶定理，三角形bce 的面积为 1010520 ( 平方厘米 ) ，所以长方形的面积为2010260 ( 平方厘米 ) 四边形abef 的面积为 605102025 ( 平方厘米 ) 【巩固】如图所示，bd 、 cf 将长方形abcd 分成 4 块，def 的面积是4 平方厘米，ced 的面积是6 平方厘米问：四边形abef 的面积是多少平方厘米？afd4e6afd4e6bcbc【解析】 ( 法 1) 连接 bf ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形bef 的面积和三角形dec 的面积相等，即其面积也是6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形bce 的面积为 6649 ( 平方厘米

28、 ) ，所以长方形的面积为96230 ( 平方厘米 ) 四边形abef 的面积为3046911 ( 平方厘米) ( 法 2) 由题意可知，efec42 ，根据相似三角形性质， 63edefebec2 ，所以三角形bce 的面积为：3629 ( 平方厘米 ) 则三角形 cbd 面积为 15 平方厘米，长方形面积为15230 ( 平方厘米 ) 四3边形 abef 的面积为 3046911( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 98 迎春杯初赛 ) 如图， abcd 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 ， od 的长是 16 ， ob的长是 9 . 那么四边形oecd的面积是多少？a dob ec【

29、解析】 因为连接 ed 知道abo 和 edo 的面积相等即为54 ，又因为odob = 169 , 所以 aod 的面积为 5491696 ，根据四边形的对角线性质知道：beo 的面积为： 54549630.375，所以四边形 oecd 的面积为：549630.375119.625( 平方厘米 ).【例 21】( 2007 年”迎春杯”高年级初赛) 如图，长方形abcd 被 ce 、 df 分成四块，已知其中3 块的面积分别为2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形ofbc 的面积为 平方厘米aef2baefb 25o?8dc5o?8dc【解析】 连接 de 、 cf 四边形 edcf 为梯形

30、，所以s eodsv foc ，又根据蝴蝶定理，s eods focs eofs cod，所以s eods focs eofs cod2816 ，所以s eod4 ( 平方厘米 ) ，s ecd4812 ( 平方厘米 ) 那么长方形abcd 的面积为 12224 平方厘米，四边形ofbc 的面积为 245289 ( 平方厘米 ) 【例 22】 ( 98 迎春杯初赛 ) 如图，长方形abcd 中， aob是直角三角形且面积为54， od 的长是 16， ob 的长是 9那么四边形oecd 的面积是a dadoob ecbec【解析】 解法一：连接de ，依题意sv aob1boao19ao54

31、，所以 ao12 ，则 sv aod221doao1161296 22又因为 ss54116oe ，所以 oe6 3 ，得 svboev aob1v doeboeo2196 3430 3 ，2248所以 sssss549630 3119 5 oecdvbdcvboevabdvboe88解法二：由于s: sod: ob16 :9 ，所以 s541696 ，而 ss54 ，根据vaodv aobv aod9v doevaob蝴蝶定理，ssss，所以 s54549630 3 ，vboevaodvaobv doevboe8所以 sssss549630 3119 5 oecdvbdcvboevabdvb

32、oe88【例 23】如图，abc 是等腰直角三角形，defg 是正方形，线段ab 与 cd 相交于 k 点已知正方形defg 的面积 48，ak : kb1:3，则bkd 的面积是多少？dagdagkkbefcbemfc【解析】 由于 defg 是正方形， 所以 da 与 bc 平行， 那么四边形adbc 是梯形 在梯形 adbc 中，bdk 和ack 的面积是相等的 而 ak的面积也是abc 面积的 1 4: kb1:3 ，所以ack 的面积是abc 面积的11134，那么bdk由于 abc 是等腰直角三角形，如果过 a 作 bc 的垂线， m 为垂足，那么 m 是 bc 的中点，而且am

33、de ，可见 abm 和 acm 的面积都等于正方形 defg 面积的一半，所以 abc 的面积与正方形 defg 的面积相等，为 48那么bdk 的面积为 481412 【例 24】如图所示，abcd 是梯形，ade 面积是 1.8 ，abf 的面积是9，bcf 的面积是27那么阴影aec 面积是多少？adefbc【解析】 根 据梯形蝴蝶定理，可以得到s afbs dfcs afds bfc ， 而s afbs dfc( 等积变换 ) ，所以可得s afds afbs cdf993 ，并且 s aefs bfcs adf27s aed31.81.2 ，而s afb: s bfcaf : fc

34、9 : 271:3 ，所以阴影aec 的面积是：s aecs aef41.244.8 【例 25】如图，正六边形面积为6 ，那么阴影部分面积为多少？21422412【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积868 183【例 26】如图，已知d 是 bc 中点， e 是 cd 的中点， f 是 ac 的中点三角形abc 由这6 部分组成，其中比多6 平方厘米那么三角形abc 的面积是多少平方厘米？afbdec【解析】 因 为 e 是 dc 中点， f 为 ac 中点，有ad2fe 且

35、平行于ad ，则四边形adef 为梯形在梯形22adef 中有 =，× =×， ：= ad： fe=4又已知 - =6，所以 = 6(41)2 ， =48 ，所以×=× =16，而 =，所以 = =4，梯形 adef 的面积为、四块图形的面积和，为844218 有 vcef 与 vadc 的面积比为ce 平方与 cd 平方的比，即为1: 4所以vadc 面积为梯形adef 面积的4= 44-13，即为 184324 因为 d 是 bc 中点，所以 vabd 与vadc 的面积相等，而vabc 的面积为vabd 、 vadc 的面积和，即为242448 平

36、方厘米三角形abc 的面积为48 平方厘米【例 27】如图，在一个边长为6 的正方形中，放入一个边长为2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况解法一： 取特殊值， 使得两个正方形的中心相重合，如右图所示， 图中四个空白三角形的高均为1.5 ， 因此空白处的总面积为61.5242222 ，阴影部分的面积为662214 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下

37、底都为6，上底、下底之比为2: 61:3 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为221 :13:13:31:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9 ，阴影部分的面16积占该梯形面积的7216，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的716，那么阴影部分的面积为7(62162 )14 【例 28】如图，在正方形abcd 中， e 、 f 分别在 bc 与 cd 上，且 ce2be ， cf2df ，连接 bf 、de ，相交于点 g ，过 g 作 mn 、 pq 得到两个正方形mgqa 和 pcng ，设正方形 mgqa 的面积为s1 ，正方形 pcn

38、g 的面积为s2 ，则s1 : s2 aqdaqdffmgnmgnbep222cbepc【解析】 连接 bd 、ef 设正方形 abcd 边长为 3，则 cecf2 ， bedf1 ，所以， ef228 ，22222222bd3318 因为 efbd81814412，所以efbd12 由梯形蝴蝶定理，得s: s: s: sef: bd: efbd: efbd8:18:12 :124 : 9 : 6 : 6 ，gef所以， gbds bge dgfnbge6s梯形 bdfe6s梯形bdfe因为s bcd3329， s cef2222 ，4966252所以 sss5 ，所以， s653 梯形bdf

39、ebcd cef2bge2525由于 bge 底边 be 上的高即为正方形pcng 的边长，所以cn321669， nd3，所以 am: cndn : cn3: 2 ，则12s : sam 2 : cn 255559 : 4 【例 29】如下图，在梯形abcd 中， ab 与 cd 平行，且 cd2ab，点 e 、 f 分别是 ad 和 bc 的中点，已知阴影四边形emfn 的面积是54 平方厘米，则梯形abcd 的面积是平方厘米abab mmefefnndcdc【解析】 连接 ef ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即

40、可求出梯形abcd 面积设梯形 abcd 的上底为 a ，总面积为s则下底为2a ， ef1 a2a3 a 所以 ab : efa: 3 a22:3， ef: dc3 a : 2a 2223: 4 由于梯形abfe 和梯形 efcd 的高相等，所以s: sabef:efdca3 a:3 a2a5: 7 ，梯形abfe梯形efcd22故 s梯形 abfe5s ， s梯形 efcd127 s 12根据梯形蝴蝶定理，梯形abfe 内各三角形的面积之比为222 : 23: 23:34: 6: 6:9，所以svemf9s梯形abfe95 s3 s ；4669251220同理可得svenf9s梯形 efc

41、d97 s3 s ，9121216491228所以 sss3 s3 s9 s ，由于 s54 平方厘米，emfnvemfvenf202835emfn所以 s54935210 ( 平方厘米 ) 【例 30】( 2006 年“迎春杯” 高年级组决赛) 下图中， 四边形 abcd 都是边长为1 的正方形， e 、f 、g 、h 分别是 ab ， bc ， cd ， da 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m ，那么， (mn) 的值等于nahdahdegegbfcbfc【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接eg 设 ag与 de 的交点为 m 左图中 aegd 为长方形，可知amd 的面积为长方形aegd 面积的 14，所以三角形amd 的面积为21111 又 左图 中 四 个 空 白 三 角 形 的面 积 是 相 等 的 ， 所 以 左 图 中 阴 影 部 分 的面 积 为2481141 8