初等函数的导数一实用教案

1、第二节 初等函数(hnsh)的导数（一）( Derivative of elementary function )第1页/共37页第一页，共38页。一、按定义(dngy)(dngy)求导数 . )()(为常数为常数设函数设函数CCxf xxfxxfxfx )()(lim)(0. 0)( C即即xCCx 0lim0 1常数常数(chngsh)的导的导数数第2页/共37页第二页，共38页。二、函数(hnsh)(hnsh)四则运算的求导法则定理定理(dngl)1两可导函数代数和的导数等于这两个函数导数的代数和。)()( )()(xvxuxvxu 此法则(fz)可推广到任意有限项情形，nnuuuuuu

2、 2121)(前提：函数前提：函数u(x)，v(x) 在点在点 x 处可导。处可导。第3页/共37页第三页，共38页。例例1 1.lnsin3的的导导数数求求xxxxy 解解23x x21 xcos )lnsin(3 xxxxy)(ln)(sin)()(3 xxxxx1 第4页/共37页第四页，共38页。)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 定理定理(dngl)2两可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。证证)()()(xvxuxf 设设)()()()(xxvxuxxvxu 第5页/共37页第五页，共38页。)()()()

3、(xvxuxvxu 第6页/共37页第六页，共38页。例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxlncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx xxxylncos)(sin2 xxxln)(cossin2 )(lncossin2 xxx第7页/共37页第七页，共38页。)0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理(dngl)3两可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方。第8页/共37页第八页，共38页。证证

4、),0)(,)()()( xvxvxuxf设设)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()(xvxxvxxvxuxvxxu )()()()()()(xvxxvxvxuxvxu )()()()()()()()(xvxxvxvxxvxuxvxuxxu 第9页/共37页第九页，共38页。)()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux 2)()()()()(xvxvxuxvxu 第10页/共37页第十页，共38页。例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin

5、xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第11页/共37页第十一页，共38页。例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得第12页/共37页第十二页，共38页。注意注意(zh y):.)()()()(xvxuxvxu 分段分段(fn dun)函数求导时函数求导时, 分界点导数用左右分界点导数用左右导数求。导数求。)()( )()(xvxuxvxu 第13页/共37页第十三页，共38页

6、。三、反函数(Inverse function)的求导法则(fz)定理定理(dngl)即 反函数的导数等于直接(zhji)函数导数的倒数. 若单调函数 在某一区间内可导，而且 ，那么它的反函数y = f (x) 在对应的区间内也可导，且第14页/共37页第十四页，共38页。证证)(yx )()(yfxfy 得得求导数求导数式子两边关于式子两边关于,ydyyddxxdf)()(1 .)(1)(yxf 即即)()(yxf 第15页/共37页第十五页，共38页。例例1 1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin y

7、y且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得)(arcsin x第16页/共37页第十六页，共38页。例例2 2.arctan的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(tan内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且内有内有在在),( xI)(arctan xy2sec1 y2tan11 同理可得211x .11)cot(2xx arc)(tan1 y第17页/共37页第十七页，共38页。例例3 3.)1,0(的导数的导数求函数求函数 aaayx, 0ln

8、1)(log ayya且且,),(内内有有在在 xI)(log1)( yaaxayln11 ayln 解解,),0(log内内单单调调、可可导导在在 yaIyx特别(tbi)地.)(xxee aaxln 第18页/共37页第十八页，共38页。问题问题(wnt)12(2 x)12(2 x解决解决(jiju)方法方法复合(fh)函数求导.过程过程12 xudxdududydxdy 21)2(2 x1)2(4 x四、复合函数的求导法则,2uy 令1问题的提出问题的提出第19页/共37页第十九页，共38页。定理定理(dngl)且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而

9、可导可导在点在点如果函数如果函数,)(,)()(,)(xxfyxuufyxxu 即 因变量对自变量求导,等于(dngy)因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。(链式法则)xuxuyy 或或dxdududydxdy 2复合复合(fh)函数的求导函数的求导法则法则第20页/共37页第二十页，共38页。证证,)(可可导导在在点点由由uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(则则xyx 0lim)(lim0 xuxuufx xuxuufxxx 000limlimlim)( ).()(xuf ,0(时时当当 x)0 u第21页/共37页第二十一页，共3

10、8页。推广推广(tugung),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 因此(ync)，复合函数求导的关键是如何把复合函数一层一层地分解成可用前面的公式求导的比较简单的函数，然后由外层向内层逐步求导。第22页/共37页第二十二页，共38页。例例1 1.)ln(sin的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxcossin1 xcot 第23页/共37页第二十三页，共38页。例例2 2.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1(1029 xudxdyx

11、x2)1(1092 .)1(2092 xx. 1,210 xuuy第24页/共37页第二十四页，共38页。例例3 3.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx为求导方便起见，对于函数积或商的对数的求导，一般(ybn)先化成对数函数的和或差以后再求导。第25页/共37页第二十五页，共38页。例例4 4.的导数的导数求函数求函数xxy 解解xxxexyln xxeln )ln(ln xxeyxx)1(lnln xexx)1(ln xxx第26页/共37页第二十六页，共38页。小结(xioj

12、i)1 1明确(mngqu)(mngqu)复合层次（中间变量）2 2使用(shyng)(shyng)链式法则3 3结果中的中间变量必须用自变量表示复合函数求导数要领第27页/共37页第二十七页，共38页。121)2ln(lim)15(31 xxx解解121)2ln(lim31 xxx12111)1(1lnlim31 xxxxx)1(1ln11lim1)1(1lnlim11xxxxxx 111)1(1lnlim xxx1 9. 9. 求下列函数(hnsh)(hnsh)的极限：第28页/共37页第二十八页，共38页。23 23121)2ln(lim31 xxx21121)1(2lim1211lim

13、3131 xxxxxx又又1211)12(lim2131 xxx) 112) 12(lim213321 xxx第29页/共37页第二十九页，共38页。思考题一、 求下列(xili)函数的导数 二、 证明曲线 x y = 1(x0)上任意一点处的切线(qixin)与两坐标轴所围成的三角形面积等于2。三、 设 f (x) = x(x-1)(x-2) (x-100)，求 f (0)tgln(sec)3(xxy xxy2sinsin1)2(2 第30页/共37页第三十页，共38页。第二节 初等(chdng)函数的导数（二）( Derivative of Elementary Function )第31

14、页/共37页第三十一页，共38页。五、隐函数(hnsh)(Inexplicit function)的导数定义定义(dngy(dngy)：.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数(hnsh)的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则：隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导.0),( yxF0 yxeexy如如第32页/共37页第三十二页，共38页。例例1 10,0 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程)

15、()3(未知函数未知函数用解方程法求出用解方程法求出xdyd即用代入法求导数值即用代入法求导数值第33页/共37页第三十三页，共38页。解解,求求导导方方程程两两边边对对 xdxdyxy 解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyedxdydydedxdeyyy 注意注意：现在：现在 y 是是 x 的函数，的函数，因此，由复合函数的求导因此，由复合函数的求导法则可知：法则可知：0 yxeexyxe 0 dxdyey第34页/共37页第三十四页，共38页。例例2 2., 1sin42yyxyy 求求设设解解求导得求导得方程两边对方程两边对 xyyy cossin2342sinyxyyy 解得yxy 043 yy第35页/共37页第三十五页，共38页。例例3 3.,2yyexexy 求求设设解解求导得求导得方程两边对方程两边对 xyxeeyy xyxyexeyeey 解得xxyeey 0 第36页/共37页第三十六页，共38页。感谢您的观看(gunkn)！第37页/共37页第三十七页，共3