高考数学一轮复习课时作业(五十四)　直线与椭圆的位置关系

1、1 / 5 课时作业(五十四) 直线与椭圆的位置关系 基础过关组 一、单项选择题 1已知 f1，f2分别为椭圆x225y291 的左、右焦点，过点 f1的直线交椭圆于 a，b 两点。若|f2a|f2b|12，则|ab|( ) a6 b7 c5 d8 解析 由椭圆方程可知 a5，由题意可得|af1|af2|bf1|bf2|2a，abf2的周长为 4a20。若|f2a|f2b|12，则|ab|20128。故选 d。 答案 d 2设直线 ykx 与椭圆x24y231 相交于 a，b 两点，分别过 a，b 两点向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数 k等于( ) a32 b23 c12 d

2、 2 解析 由题意可知，点 a 与点 b 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0 时，不妨设 a，b两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得 y132，y232，解得 k32；同理可得当 k0 且 m3 及 m0，得 m1且 m3。故选 b。 答案 b 4经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l，交椭圆于 a，b 两点，设 o 为坐标原点，则oa ob等于( ) a3 b13 c13或3 d13 解析 依题意，当直线 l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45 (x1)，即 yx1，代入椭圆方程x22y21，消去 y 并整理得 3x2

3、4x0，解得 x0 或 x43，所以两个交点的坐标分别为(0，1)，43，13，所以oa ob13，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得oa ob13。故选 b。 答案 b 5直线 x 3y 30 与椭圆x29y261 相交于 m，n 两点，设 o 是坐标原点，则omn 的面积为( ) a. 3 b.2 33 c.3 32 d.4 33 解析 设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，椭圆的左焦点为 f，因为 f( 3，0)，直线 x 3y 30 经过椭圆的左焦点 f，所以 somn12|of| |y1y2|。将 x 3y 3代入椭圆方程x29y261 得 3y24y40，所以 y1y243

4、，y1y243，所以|y1y2| (y1y2)24y1y283，所以 somn12|of| |y1y2|12 3834 33。 答案 d 6(2021 南宁联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是2 / 5 m(4,1)，则椭圆的离心率是( ) a.12 b.22 c.32 d.55 解析 解法一：因为 m为直线 xy50 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交的弦的中点，所以由中点弦公式可知 ymb2a2xm，即b2a214，则 e 1ba232。故选 c。 解法二：设直线 xy50 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于 a(x1，y1

5、)，b(x2，y2)两点，因为弦 ab 的中点 m(4,1)，所以 x1x28，y1y22。易知直线 ab 的斜率 ky2y1x2x11。由 x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得，(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，所以y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2，所以b2a214，则椭圆的离心率 eca 1b2a232。故选 c。 答案 c 二、多项选择题 7设椭圆x29y231 的右焦点为 f，直线 ym(0mb0)的左、右焦点，m，n 是左、右顶点，e 为椭圆 c 的离心率，过右焦点 f2的直线 l 与椭圆交于 a，b 两点，已知af1 bf10

6、,3af22f2b，|af1|2|af2|，设直线 ab 的斜率为 k，直线 am和直线 an 的斜率分别为 k1，k2，直线 bm和直线 bn 的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是( ) ae55 bk12 ck1 k245 dk3 k445 解析 因为af1 bf10，所以 af1bf1，过点 f2作 f1b 的平行线，交 af1于点 e，所以 af1ef2。设|f2a|2t，|f1a|4t，又 3af22f2b，所以|ab|5t，因为 af1bf1，所以|f1b|3t，所以 12t4a，所以 a3t。所以|bf1|bf2|3ta，所以 b(0，b)(如图)，在ef1f2中，ef

7、135af112t5，ef225bf16t5，f1f22c，因为 ef21ef22f1f22，所以 c3t5，b a2c26t5，所以椭圆离心率 eca55，故 a 正确；kbc2，故 b 错误；设 a(x，y)，易得 m(a，0)，n(a,0)，则 k1 k2yxayxay2x2a2b21x2a2x2a2b2a245，故 c 正确；同理 k3 k4b2a245，故 d 错误。故选 ac。 3 / 5 答案 ac 三、填空题 9已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的右顶点为 a(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆的方程为_。 解析 因为椭圆y2a2x2b21 的右顶点为 a(1

8、,0)，所以 b1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以2b2a1，a2，所以椭圆的方程为y24x21。 答案 y24x21 10过点 m(2,0)的直线 m 与椭圆x22y21 交于 p1，p2两点，线段 p1p2的中点为 p，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 op 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_。 解析 过点 m(2,0)的直线 m 的方程为 y0k1(x2)，代入椭圆方程化简得(2k211)x28k21x8k2120，所以 x1x28k212k211，所以点 p4k212k211，2k12k211，所以直线 op 的斜率 k212k1，所以 k1

9、k212。 答案 12 11已知椭圆 c：x22y241，过椭圆 c 上一点 p(1， 2)作倾斜角互补的两条直线 pa，pb，分别交椭圆c 于 a，b 两点，则直线 ab 的斜率为_。 解析 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，同时设 pa的方程为 y 2k(x1)，代入椭圆方程化简，得(k22)x22k(k2)xk222k20，显然 1 和 x1是这个方程的两解，因此 x1k22 2k2k22，y1 2k24k2 2k22，由k 代替 x1，y1中的 k，得 x2k22 2k2k22，y2 2k24k2 2k22，所以y2y1x2x12。故直线 ab 的斜率为 2。 答案 2 四、解答

10、题 12已知椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点 p(0,1)在短轴 cd 上，且pc pd1。 (1)求椭圆 e 的方程； (2)过点 p 的直线 l与椭圆 e 交于 a，b 两点，若pb12ap，求直线 l 的方程。 解 (1)由题意知，eca22， 得 a 2c 2b， 不妨取 c(0，b)，d(0，b)， 所以pc pd(b1)(b1)1， 所以 b22， 所以 a2，椭圆 e 的方程为x24y221。 (2)当直线 l的斜率不存在时，pb(0， 21)， ap(0， 21)，pb12ap， 不符合题意，不存在这样的直线 l。 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l的

11、方程为 ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)。 联立方程得 x24y221，ykx1， 整理得(12k2)x24kx20， 由根与系数的关系，得 x1x24k12k2， x1x2212k2， 由pb12ap得，(x2，y21)12(x1,1y1)， 4 / 5 所以 x212x1， 所以 x18k12k2，x24k12k2， 解得 k2114，所以 k1414， 所以直线 l的方程为 y1414x1。 13(2020 全国卷)已知椭圆 c：x225y2m21(0m0，yp0。 由已知可得 b(5,0)，直线 bp 的方程为 y1yq(x5)， 所以|bp|yp1y2q，|bq| 1y2

12、q。 因为|bp|bq|， 所以 yp1，将 yp1 代入 c 的方程， 解得 xp3 或 xp3。 由直线 bp 的方程得 yq2 或 yq8。 所以点 p，q 的坐标分别为 p1(3,1)，q1(6,2)； p2(3,1)，q2(6,8)。 |p1q1| 10，直线 p1q1的方程为 y13x， 点 a(5,0)到直线 p1q1的距离为102， 故ap1q1的面积为12102 1052。 |p2q2| 130，直线 p2q2的方程为 y79x103，点 a 到直线 p2q2的距离为13026， 故ap2q2的面积为1213026 13052。 综上，apq 的面积为52。 素养提升组 14

13、(多选)设椭圆的方程为x22y241，斜率为 k的直线不经过原点 o，而且与椭圆相交于 a，b两点，m为线段 ab 的中点，则下列结论正确的是( ) a直线 ab 与 om垂直 b若点 m 坐标为(1,1)，则直线方程为 2xy30 c若直线方程为 yx1，则点 m坐标为13，43 d若直线方程为 yx2，则|ab|4 23 解析 对于 a，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质 kab kom4221，所以 a 错误；对于b，根据 kab kom2，得 kab2，所以直线方程为 y12(x1)，即 2xy30，所以 b 正确；对于 c，若直线方程为 yx1，点 m13，43，则 kab kom

14、1442，所以 c 错误；对于 d，若直线方程为 yx2，与椭圆方程x22y241 联立，得到 2x2(x2)240，整理得 3x24x0，解得 x10，x243，所以|ab| 112430 4 23，所以 d 正确。故选 bd。 5 / 5 答案 bd 15(2021 武昌区调研考试)已知椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 1。 (1)求椭圆 e 的方程； (2)若不过原点 o 的直线 l与椭圆交于 a，b 两点，求oab 面积的最大值。 解 (1)由题意知 bc 3，ac1， 又 a2b2c2，所以 a2，b 3。 所以椭圆 e 的方程为x24y231。 (2)当直线 l的斜率存在时，设其方程为 ykxm(m0)， 代入椭圆方程，整理，得 (4k23)x28kmx4m2120。 由 0，得 4k2m230。 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 x1x28km4k23，x1 x24m2124k23。 于是|ab| 1k2 (x1x