高考数学一轮复习单元质检三　导数及其应用

1、1 / 10 单元质检三单元质检三 导数及其应用导数及其应用 (时间:100分钟 满分:150 分) 单元质检卷第单元质检卷第 5 页页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60分) 1.如果一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在 3 s末的瞬时速度是( ) a.7 m/s b.6 m/s c.5 m/s d.8 m/s 答案:c 解析:根据瞬时速度的意义,可得 3 s 末的瞬时速度是 v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5. 2.设曲线 y=+1-1在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a等于( )

2、a.2 b.-2 c.12 d.-12 答案:b 解析:因为 y=+1-1的导数为 y=-2(-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率 k=-12. 又因为直线 ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a (-12)=-1,解得 a=-2. 3.若函数 y=ex+mx有极值,则实数 m的取值范围是( ) a.m0 b.m1 d.m0,若 y=ex+mx有极值,则必须使 y的值有正有负,故 m0. 4.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在 r 上是减函数,则实数 a的取值范围是( ) a.(-,-33,+) b.-3,3 c.(-,-3)(3,+) d.(-3,3) 答案:b 解析:由

3、题意,知 f(x)=-3x2+2ax-10在 r 上恒成立,故 =(2a)2-4(-3)(-1)0, 解得-3a3. 5.函数 f(x)=x2+x-ln x 的零点的个数是( ) a.0 b.1 c.2 d.3 答案:a 解析:由 f(x)=2x+1-1=22+-1=0,得 x=12或 x=-1(舍去).当 0 x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增.则 f(x)的最小值为 f(12) =34+ln 20,所以无零点. 2 / 10 6.设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) a.y=-2x b

4、.y=-x c.y=2x d.y=x 答案:d 解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则f(x)=x3+x. 由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x. 7.已知当 x12,2时,a1-+ln x 恒成立,则 a的最大值为( ) a.0 b.1 c.2 d.3 答案:a 解析:令 f(x)=1-+ln x,则 f(x)=-12. 当 x12,1)时,f(x)0. f(x)在区间12,1)内单调递减,在(1,2上单调递增, 在 x12,2上,f(x

5、)min=f(1)=0, a0,即 a 的最大值为 0. 8.已知函数 f(x)=ln x+tan (0 2)的导函数为 f(x),若方程 f(x)=f(x)的根 x0小于 1,则 的取值范围为( ) a.(4,2) b.(0,3) c.(6,4) d.(0,4) 答案:a 解析:f(x)=ln x+tan ,f(x)=1. 令 f(x)=f(x),得 ln x+tan =1, 即 tan =1-ln x. 设 g(x)=1-ln x,显然 g(x)在区间(0,+)内单调递减,而当 x0时,g(x)+, 故要使满足 f(x)=f(x)的根 x0g(1)=1. 又 02,(4,2). 9.已知

6、a= 10(x2-1)dx,b=1-log23,c=cos56,则 a,b,c 的大小关系是( ) 3 / 10 a.abc b.cab c.acb d.bca 答案:b 解析:a= 10(x2-1)dx=(133-)| 01=13-1=-23-0.667, b=1-log23=1-lg3lg2-0.58, c=cos56=-32-0.866, ca0,解得 x434,令 f(x)434, 故 f(x)在区间(0,434)内递增,在区间(434, + )内递减, 故 f(x)的最大值是 f(434),a=434. 11.若函数 f(x)=332x2+x+1 在区间(12,3)内有极值点,则实数

7、 a的取值范围是( ) a.(2,52) b.2,52) c.(2,103) d.2,103) 答案:c 解析:若 f(x)=332x2+x+1 在区间(12,3)内有极值点, 则 f(x)=x2-ax+1在区间(12,3)内有零点,且零点不是 f(x)的图象顶点的横坐标. 4 / 10 由 x2-ax+1=0,得 a=x+1. 因为 x(12,3),y=x+1的值域是2,103), 当 a=2 时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意. 所以实数 a 的取值范围是(2,103),故选 c. 12.若存在两个不相等正实数 x,y,使得等式 x+a(y-2ex)(ln y-ln x)

8、=0成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a的取值范围是( ) a.(-,0) 1e, + ) b.(0,1e c.1e, + ) d.(-,0) 答案:a 解析:由题意知,a=(2e-)ln . 设=t(t0,且 t1), 则 a=1(2e-)ln,1=(2e-t)ln t. 令 f(t)=(2e-t)ln t,f(t)0, 则 f(t)=2e-(1+ln t). 令2e=1+ln t,得 t=e.由数形结合可知,当 te 时,f(t)0;当 0t0.所以 f(t)e,且f(t)0,所以 01e 或10,解得 a0 或 a1e. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5分,共 20分)

9、 13.函数 y=x-x2的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 . 答案:16 解析:由 x-x2=0,得 x=0或 x=1. 因此,所围成的封闭图形的面积为 10(x-x2)dx=(22-33)|01=1213=16. 14.已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)内是减函数,则实数 a 的取值范围是 . 答案:(-,-3 解析:由题意可知 f(x)=3ax2+6x-10在 r 上恒成立, 5 / 10 则 0, = 62+ 4 3 0,解得 a-3. 15.函数 f(x)=e|x-1|,函数 g(x)=ln x-x+a,若x1,x2使得 f(x1)g(x2)成立,则

10、 a的取值范围是 . 答案:(2,+) 解析:由题意,若x1,x2使得 f(x1)g(x2)成立,可转化为 f(x)min0), 当 x(0,1)时,g(x)0,则函数 g(x)单调递增; 当 x(1,+)时,g(x)1,解得 a2,即实数 a的取值范围是(2,+). 16.已知函数 f(x)=xln x+12x2,x0是函数 f(x)的极值点,给出以下几个命题: 0 x01e;f(x0)+x00. 其中正确的命题是 .(填出所有正确命题的序号) 答案: 解析:由已知得 f(x)=ln x+x+1(x0),不妨令 g(x)=ln x+x+1(x0),由 g(x)=1+1,当 x(0,+)时,有

11、 g(x)0总成立,所以 g(x)在区间(0,+)内单调递增,且 g(1e) =1e0,又 x0是函数 f(x)的极值点,所以 f(x0)=g(x0)=0,即 g(1e)g(x0),所以 0 x01e,即命题成立,则命题错; 因为 ln x0+x0+1=0,所以 f(x0)+x0=x0ln x0+1202+x0=x0(ln x0+x0+1)-1202=-120212). (2)由 f(x)=(1-)(2-1-2)e-2-1=0, 解得 x=1 或 x=52. 因为 x 12 (12,1) 1 (1,52) 52 (52, + ) f(x) - 0 + 0 - f(x) 12-12 0 12-5

12、2 又 f(x)=12(2-1-1)2e-x0, 所以 f(x)在区间12, + )内的取值范围是0,12e-12. 18.(12 分)设函数 f(x)=ex-1-x-ax2. (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时,f(x)0,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0时,f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1. 当 x(-,0)时,f(x)0. 故 f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+)内单调递增. (2)f(x)=ex-1-2ax. 由(1)知 f(x)f(0),即 ex1+x,当且仅当 x=0时等号成立,故 f(x)x-2ax=(1-2a)x

13、. 当 a12时,1-2a0,f(x)0(x0),f(x)在区间0,+)内是增函数,因为 f(0)=0,于是当 x0时,f(x)0.符合题意. 当 a12时,由 ex1+x(x0)可得 e-x1-x(x0). 所以 f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a), 故当 x(0,ln 2a)时,f(x)0,而 f(0)=0,于是当 x(0,ln 2a)时,f(x)0时,x2ex. 答案:(1)解由 f(x)=ex-ax,得 f(x)=ex-a. 因为 f(0)=1-a=-1,所以 a=2. 7 / 10 所以 f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2. 令 f(x)=0

14、,得 x=ln 2. 当 xln 2 时,f(x)ln 2 时,f(x)0,f(x)单调递增, 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明令 g(x)=ex-x2,则 g(x)=ex-2x.由(1),得 g(x)=f(x)f(ln 2)=2-ln 40, 故 g(x)在 r 上单调递增. 因为 g(0)=10,所以当 x0,g(x)g(0)0,即 x20,若 x(-,0),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增; 当-e2a0,函数 f(x)单调递增, 若 x(ln(-2a)-1,0

15、),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增; 当 a=-e2时,f(x)=x(ex+1+2a)0恒成立,函数 f(x)单调递增; 当 a0,函数 f(x)单调递增, 若 x(0,ln(-2a)-1),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增. (2)当 a=0时,f(x)=(ex-e)ex=0有唯一零点 x=1,不符合题意; 由(1)知,当 a0时,若 x(-,0),则函数 f(x)单调递减,若 x(0,+),则函数 f(x)单调递增,当 x-时,f(x)+;当 x+时,f(x)+,f(0)=-e0必有两个零点; 当-e2a0 时,若 x(-,ln(-

16、2a)-1),则函数 f(x)单调递增,若 x(ln(-2a)-1,0),则函数 f(x)单调递减,若 x(0,+),则函数 f(x)单调递增,f(ln(-2a)-1)=-2a(ln(-2a)-1)+a(ln(-2a)-1)20,f(0)=-e0,函数 f(x)至多有一个零点; 当 a=-e2时,函数 f(x)单调递增,函数 f(x)至多有一个零点; 当 a-e2时,若 x(-,0),则函数 f(x)单调递增,若 x(0,ln(-2a)-1),则函数 f(x)单调递减,若 x(ln(-2a)-1,+),则函数 f(x)单调递增,f(0)=-e0 时,函数 f(x)有两个零点. 8 / 10 2

17、1.(12 分)已知函数 f(x)=ex-x2+a,xr 的图象在 x=0处的切线方程为 y=bx.(e2.718 28) (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 xr 时,求证:f(x)-x2+x; (3)若 f(x)kx 对任意的 x(0,+)恒成立,求实数 k 的取值范围. 答案:(1)解f(x)=ex-x2+a, f(x)=ex-2x. 由已知,得(0) = 1 + = 0,(0) = 1 = , 解得 = -1, = 1. 函数 f(x)的解析式为 f(x)=ex-x2-1. (2)证明令 (x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则 (x)=ex-1. 由 (x)=0,得 x=

18、0. 当 x(-,0)时,(x)0,(x)单调递增. 故 (x)min=(0)=0,从而 f(x)-x2+x. (3)解 f(x)kx 对任意的 x(0,+)恒成立()k 对任意的 x(0,+)恒成立. 令 g(x)=(),x0, 则 g(x)=()-()2=(e-2)-(e-2-1)2 =(-1)(e-1)2. 由(2)可知当 x(0,+)时,ex-x-10恒成立, 由 g(x)0,得 x1;由 g(x)0,得 0 x1. 故 g(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1), 即 g(x)min=g(1)=e-2. 故 k0,br)有极值,且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点.

19、(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b23a; (3)若 f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求 a的取值范围. 答案:(1)解由 f(x)=x3+ax2+bx+1,得 f(x)=3x2+2ax+b=3( +3)2+b-23. 9 / 10 当 x=-3时, f(x)有极小值 b-23. 因为 f(x)的极值点是 f(x)的零点, 所以 f(-3)=-327+393+1=0, 又 a0,故 b=229+3. 因为 f(x)有极值,故 f(x)=0有实根,从而 b-23=19(27-a3)0,即 a3. 当 a=3 时,f(x)0(x-1),故 f(x)