高考大题专项练三　高考中的数列

1、1 / 5 高考大题专项练三高考大题专项练三 高考中的数列高考中的数列 高考大题专项练第高考大题专项练第 6 页页 一一、非选择题、非选择题 1.(2020 全国,理 17)设an是公比不为 1的等比数列,a1为 a2,a3的等差中项. (1)求an的公比; (2)若 a1=1,求数列nan的前 n项和. 解:(1)设an的公比为 q,由题设得 2a1=a2+a3,即 2a1=a1q+a1q2. 所以 q2+q-2=0,解得 q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2. (2)记 sn为nan的前 n 项和. 由(1)及题设可得,an=(-2)n-1. 所以 sn=1+2(-2)+n(-2)

2、n-1, -2sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n. 可得 3sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)3-n(-2)n. 所以 sn=19(3+1)(-2)9. 2.已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. 答案:(1)证明由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即 an+1+bn+1=12(an+bn). 又因为 a1+b1=1,所以an+bn是首项为 1,公比为1

3、2的等比数列. 由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即 an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为 a1-b1=1,所以an-bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解由(1)知,an+bn=12-1,an-bn=2n-1. 所以 an=12(an+bn)+(an-bn)=12+n-12, bn=12(an+bn)-(an-bn) =12-n+12. 3.已知等差数列an的前 n 项和为 sn,公差 d0,且 s3+s5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列bn的前 n项和 t

4、n. 2 / 5 解:(1)依题意得,31+322 + 51+452 = 50,(1+ 3)2= 1(1+ 12), 解得1= 3, = 2. 故 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即 an=2n+1. (2)由题意可知,=3n-1, 则 bn=an 3n-1=(2n+1) 3n-1. 故 tn=3+53+732+(2n+1) 3n-1, 3tn=33+532+733+(2n-1) 3n-1+(2n+1) 3n, -得 -2tn=3+23+232+2 3n-1-(2n+1)3n =3+23(1-3-1)1-3-(2n+1)3n =-2n 3n, 因此,tn=n 3n. 4

5、.设an是等差数列,其前 n 项和为 sn(nn*);bn是等比数列,公比大于 0,其前 n项和为tn(nn*).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求 sn和 tn; (2)若 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn,求正整数 n的值. 解:(1)设等比数列bn的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2, 故 bn=2n-1. 所以,tn=1-21-2=2n-1. 设等差数列an的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=

6、1,d=1,故 an=n. 所以,sn=(+1)2. (2)由(1),有 t1+t2+tn=(21+22+2n)-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2. 由 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn可得,(+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得 n2-3n-4=0, 解得 n=-1(舍)或 n=4. 所以,n 的值为 4. 3 / 5 5.已知等比数列an的公比 q1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前 n项和为 2n2+n. (1)求 q 的值; (2)求数列bn的通项公式. 解:(1)由

7、a4+2 是 a3,a5的等差中项,得 a3+a5=2a4+4, 所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8. 由 a3+a5=20,得 8( +1)=20, 解得 q=2 或 q=12, 因为 q1,所以 q=2. (2)设 cn=(bn+1-bn)an,数列cn前 n 项和为 sn,由 cn=1, = 1,-1, 2,解得 cn=4n-1. 由(1)可知 an=2n-1, 所以 bn+1-bn=(4n-1) (12)-1. 故 bn-bn-1=(4n-5) (12)-2,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-

8、5) (12)-2+(4n-9) (12)-3+712+3. 设 tn=3+712+11 (12)2+(4n-5) (12)-2,n2, 12tn=312+7 (12)2+(4n-9) (12)-2+(4n-5) (12)-1, 所以12tn=3+412+4 (12)2+4 (12)-2-(4n-5) (12)-1, 因此 tn=14-(4n+3) (12)-2,n2,又 b1=1, 所以 bn=15-(4n+3) (12)-2. 6.设 sn为等差数列an的前 n项和,已知 s3=a7,a8-2a3=3. (1)求 an; (2)设 bn=1,数列bn的前 n 项和为 tn,求证:tn341

9、+1(nn*). 答案:(1)解设等差数列an的公差为 d, 由题意,得31+ 3 = 1+ 6,(1+ 7)-2(1+ 2) = 3, 4 / 5 解得1= 3, = 2. 故 an=a1+(n-1)d=2n+1. (2)证明a1=3,d=2, sn=na1+(-1)2d=n(n+2). bn=1(+2)=12(1-1+2). tn=b1+b2+bn-1+bn =12(1-13) + (12-14)+(1-1-1+1) + (1-1+2) =12(1 +12-1+1-1+2) 12(1 +12-1+1-1+1) =341+1, 故 tn341+1. 7.已知正项数列an的首项 a1=1,前

10、n项和 sn满足 an=+ -1(n2). (1)求证:为等差数列,并求数列an的通项公式; (2)记数列1+1的前 n项和为 tn,若对任意的 nn*,不等式 4tna2-a恒成立,求实数 a的取值范围. 解:(1)因为 an=+ -1, 所以 sn-sn-1=+ -1, 即 -1=1, 所以数列是首项为1=1=1,公差为 1的等差数列,得=n, 所以 an=+ -1=n+(n-1)=2n-1(n2),当 n=1时,a1=1 也适合,所以 an=2n-1. (2)因为1+1=1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1), 所以 tn=12(1-13+1315+12-112+1) =12

11、(1-12+1). 所以 tn12.要使不等式 4tna2-a 恒成立,只需 2a2-a恒成立,解得 a-1 或 a2,故实数a 的取值范围是(-,-12,+). 8.已知数列an是公比为12的等比数列,其前 n项和为 sn,且 1-a2是 a1与 1+a3的等比中项,数列bn是等差数列,其前 n 项和 tn满足 tn=n bn+1(为常数,且 1),其中 b1=8. (1)求数列an的通项公式及 的值; 5 / 5 (2)比较11+12+13+1与12sn的大小. 解:(1)由题意,得(1-a2)2=a1(a3+1), 即(1-121)2=a1(141+ 1),解得 a1=12. 故 an=(12). 设等差数列bn的公差为 d, 又1= 2,2= 23,即8 = (8 + ),16 + = 2(8 + 2), 解得 =12, = 8或 = 1, = 0(舍去),故 =12. (2)由(1)知 sn=1-(12), 则12sn=12 (12)+114. 由(1)知 tn=12n