高中数学选修一1.4.2 空间向量的应用（二）（精讲）（原卷版）

1、1 / 10 1.4.2 空间向量应用（二）空间向量应用（二） 思维导图思维导图 2 / 10 考点一考点一 空间向量求线线角空间向量求线线角 【例 1】（2020 全国高三一模（文）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，paab，paad，1ad=，2ab =，pab是等腰三角形，点e是棱pb的中点，则异面直线ec与pd所成角的余弦值是（ ） a33 b63 c64 d22 常见考法常见考法 3 / 10 【一隅三反】【一隅三反】 1（2020 河南高二）已知在正方体1111abcdabc d中，p为线段11c d上的动点，则直线1bc与直线ap所成角余弦值的范围是（ ） a6,13

2、 b2,12 c23,22 d63,32 2.三棱柱 abca1b1c1中，abc 为等边三角形，aa1平面 abc，aa1ab，n，m 分别是 a1b1，a1c1的中点，则 am与 bn所成角的余弦值为( ) a.110 b.35 c.710 d.45 3已知四棱锥 s- abcd 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，e 是 sb 的中点，则 ae，sd 所成的角的余弦值为( ) a13 b23 c33 d23 向量法求异面直线所成角的一般步骤向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)(2)确

3、定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4 / 10 考点二考点二 空间向量求线面角空间向量求线面角 【例 2】（2020 全国高二）如图所示，sa是四棱锥sabcd的高，四边形abcd为正方形，点m是线段sb的中点，45sda=. （1）求证：amsc； （2）若点n是线段bc上靠近c的四等分点，求直线ab与平面amn所成角的正弦值. 【一隅三反】【一隅三反】 1（2020 浙江高三开学考试）如图，四棱锥sabcd中，/ad b

4、c，adas，2ad =，若直线直线l l与平面与平面的夹角为的夹角为，直线，直线l l的方向向量的方向向量l l与平面与平面的法向量的法向量n n的夹角为的夹角为，则，则2 2或或2 2，故有，故有 sin sin |cos |cos | | |l ln n| | |l l|n n| |. . 5 / 10 2cd =，1abbcas=，23sab= （1）求证：adbs； （2）求直线cd与平面sac所成角的正弦值 2（2020 天津河西.高三二模）在正四棱柱1111abcdabc d中，122aaab=，e为1cc的中点. （1）求证：1/ /ac平面bde； （2）求证：1ae 平面b

5、de； （3）若f为1bb上的动点，使直线1af与平面bde所成角的正弦值是63，求df的长. 3（2020 江苏）如图，在三棱锥 p- abc 中，acbc，且，ac=bc=2，d，e 分别为 ab，pb 中点，pd平面 abc，pd=3. 6 / 10 (1)求直线 ce与直线 pa 夹角的余弦值； (2)求直线 pc与平面 dec夹角的正弦值. 考点三考点三 空间向量求二面角空间向量求二面角 【例 3】（2020 河南高三其他（理）如图，在三棱锥dbce中，,2,2,1debe dece becebcde= （1）证明：be 平面cde； （2）求二面角dbce的余弦值 【一隅三反】【一

6、隅三反】 利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种： 求平面的垂线的方向向量；求平面的垂线的方向向量； 利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解 7 / 10 1（2020 全国）如图，圆的直径2ac =，b为圆周上不与点a、c重合的点，pa垂直于圆所在平面，30acb=，6sin4bpc=. （1）求证：bc平面pab； （2）求二面角bpca的余弦值. 2（2020 全国）如图，已知四棱锥pabcd中，ab

7、cd是平行四边形，abac，平面pab 平面abcd，papb，m，n分别是ab，pc的中点. 8 / 10 （1）求证：/mn平面pad； （2）若papb=，abac=，求二面角dpac的余弦值. 3（2020 全国）如图，在四棱锥pabcd中，pc 底面abcd，abcd是直角梯形，abad，/ab cd，22abadcd=，e是pb的中点. （1）求证：平面eac 平面pbc； （2）若二面角pace的余弦值为63，求直线pa与平面eac所成角的正弦值. 考点四考点四 空间向量求距离空间向量求距离 【例 4】（2020 全国高二课时练习）如图，棱长为 1 的正方体1111abcdabc

8、 d，o是底面1111dcba的9 / 10 中心，则o到平面11abc d的距离是（ ） a12 b24 c22 d32 【一隅三反】【一隅三反】 1（2019 湖南高二期末）已知平面的一个法向量为(2,2,1)n=，点( 1,3,0)a 在平面内，则点(2,1,3)p到平面的距离为（ ） a53 b43 c1 d23 2（2020 黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理）已知四面体abcd中，ab，bc，bd两两垂直，2bcbd=，ab与平面acd所成角的正切值为12，则点b到平面acd的距离为（ ） a32 b2 33 c55 d2 55 3（2020 全国高二课时练习）若三棱锥 p- abc的三条侧棱两两垂直，且满足 pa=pb=pc=1，则点 p到平面 abc 的距离是（ ） 求点到平面的距离的步骤可简化为：求点到平面的距离的步骤可简化为： 求平面的法向量；求平面的法向量； 求斜线段对应