苏教版高三三角函数与解三角形专题复习

1、三角函数与解三角形专题复习一、知识要点1角的概念、象限角的概念、终边相同的角的表示（1）终边与终边相同(的终边在终边所在的射线上)2k（kZ），注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。如与角1 825°的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_，合_弧度。（2）终边与终边共线(终边在终边所在的直线上)k(kZ)。（3）终边与终边关于x轴对称2k（kZ）。（4）终边与终边关于y轴对称2k（kZ）。（5）终边与终边关于原点对称2k（kZ）。（6）终边在x轴上的角可表示为k，kZ；终边在y轴上的角可表示为k，kZ；终边在坐标轴上的角可表示为，kZ。2弧长公式：l|R，扇形面积公式

2、：SlR|R2，1弧度(1 rad)57.3°。如已知扇形AOB的周长是6 cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。3任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x，y)是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r>0，那么sin ，cos ，tan ，(x0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则sin cos 的值为_。（2）设是第三、四象限角，sin ，则m的取值范围是_。4三角函数线的特征：单位圆中，正弦线MP“站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线OM“躺在x轴上（起点是原点）”、正切线AT“站

3、在点A(1，0)处（起点是A）”。三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若<<0，则sin ，cos ，tan 的大小关系为。（2）函数ylg(2sin x)的定义域是。5同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin2cos21。（2）商数关系：tan 。6诱导公式公式一sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(k)tan (kZ)公式二sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式三sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式四sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式五sin()c

4、os ，cos()sin 公式六sin()cos ，cos()sin 三角函数诱导公式()(kZ)的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数）符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k，0<2；（2）转化为锐角三角函数。如costan()sin 21的值为_。7两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）sin(±)sin cos ±cos sin .（2）cos(±)cos cos sin sin .（3）。8二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 22sin cos .（2

5、）cos 2cos2sin22cos2112sin2.（3）tan 2.（4）cos2，sin2。9三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.基本的技巧有：（1）已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如()()，2()()，2()()，2·，()()等。如已知tan()，tan()，那么tan()的值是。（2）三角函数名互化(切化弦)。如已知1，tan()，则tan(2

6、)。（3）公式变形使用tan ±tan tan(±)(1tan tan )。如已知A、B为锐角，且满足tan Atan Btan Atan B1，则cos(AB)。设ABC中，tan Atan Btan Atan B，sin A·cos A，则此三角形是三角形。（4）三角函数次数的降升（降幂公式：cos2，sin2。升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2）。10辅助角公式中辅助角的确定：asin xbcos x·sin(x)（其中角所在的角限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定）在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程sin x

7、cos xc有实数解，则c的取值范围是。（2）当函数y2cos x3sin x取得最大值时，tan x的值是。11正弦函数和余弦函数的图象正弦函数ysin x和余弦函数ycos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。12正弦函数ysin x(xR)、余弦函数ycos x(xR)的性质（1）定义域：都是R.（2）值域：都是1,1，对ysin x，当x2k(kZ)时，y取最大值1；当x2k(kZ)时，y取最小值1；对ycos x，当x2k(kZ)时，y取最大值1，当x2k(kZ)时，y取最小值1。如若函数

8、yabsin(3x)的最大值为，最小值为，则a，b。函数f(x)sin xcos x(x，)的值域是。（3）周期性：ysin x、ycos x的最小正周期都是2；f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T。如若f(x)sin，则f(1)f(2)f(3)f(2 010)_。（4）奇偶性与对称性：正弦函数ysin x（xR)是奇函数，对称中心是(k，0)(kZ)，对称轴是直线xk(kZ)；余弦函数ycos x(xR)是偶函数，对称中心是(k，0)(kZ)，对称轴是直线xk(kZ)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴交点)。如函数

9、ysin(2x)的奇偶性是。已知函数f(x)axbsin3x1(a，b为常数)，且f(5)7，则f(5)=_。（5）单调性：ysin x在2k，2k(kZ)上单调递增，在2k，2k(kZ)上单调递减；ycos x在2k，2k(kZ)上单调递减，在2k，2k2(kZ)上单调递增。特别提醒，别忘了kZ。13形如yAsin(x)的函数（1）函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的图象如图所示，则f(x)。（2）函数yAsin(x)图象的画法：五点法设Xx，令X0，2求出相应的x值，计算得出五点

10、的坐标，描点后得出图象；图象变换法，它是作函数简图常用方法。（3）函数yAsin(x)k的图象与ysin x图象间的关系：函数ysin x的图象纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移|个单位得ysin(x)的图象；函数ysin(x)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数ysin(x)的图象；图象ysin(x)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；函数yAsin(x)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到yAsin(x)k的图象。要特别注意，若由ysin x得到ysin(x)的图象，则应

11、向左或向右平移|个单位。14正切函数ytan x的图象和性质（1）定义域：x|xk，kZ。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变。既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如ysin2x，y|sin x|的周期都是。（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(，0)(kZ)。（5）单调性：正切函数在开区间(k，k)(kZ)内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。

12、15三角形中的有关公式（1）内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题不可忘记任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余。（2）正弦定理：2R（R为三角形外接圆的半径）。注意：正弦定理的一些变式：()abcsin Asin Bsin C；()sin A，sin B，sin C；()a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍。（3）余弦定理：a2b2c22bccos A，cos A等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。（4）面积公式：Sahaabs

13、in Cr(abc)（其中r为三角形内切圆半径）。二、典型例题例1函数ysin xcos x在区间0，上的最小值为_。例2已知ABC中，a，b，B60°，那么角A等于_。例3已知为锐角，则_。例4已知，则_。例5函数的最小正周期为_。例6函数的最大值为_。例7已知，则= 。例8计算：= 。例9已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_。例10设>0，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是_。例11函数，又，且的最小值等于，则正数的值为_。例12已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0)的

14、图象与直线yb(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是_。例13设为锐角，若，则的值为_。例14定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。例15设,求.例16已知,且，求的值.例17在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.例18已知函数的最小正周期为，且.（1）求的值；（2）若，求的值。例19已知向量a=（4，5cos），b=（3，-4tan）（1）若ab，试求sin的值；（2）若ab，

15、且（0，），求cos（2-）的值。例20已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|ab|=2。（1）求a·b的值；（2）求|a+b|的值。例21已知a，b，c分别为ABC的三内角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围。例22已知函数.（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值例23设函数f(x)(sin xcos x)cos x(其中0<<2)。（1）若f(x)的最小正周期为，求当x时，f(x)的值域；（2）若函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x，求的值。例24在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求A.（2）若,

16、求的单调递增区间。例25如图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、。（1）求tan()的值；（2）求2的值。例26函数yAsin(x)(A>0，>0，|<)的一段图象如图所示)，求其解析式。例27在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)·sin C。（1） 求A的大小；（2）求sin Bsin C的最大值。例28f(x)=2在处取最小值.（1）求的值；（2）在ABC中，分别是角A,B,C的对边，已知，求角C。例29在斜三角形中，角，

17、的对边分别为，（1） 若，求的值；（2） 若，求的值.例30如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A>0，>0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120°.（1）求A，的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？三、课堂练习练1已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的

18、集合。练2已知函数在时取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若( +)=，求sin。四、小结（这次课我学到了什么？）三角函数与解三角形专题复习课后作业一、填空题1函数的最小正周期是_。2已知函数的图象如图所示，则 。3函数的最小值是 。4对于函数f(x)cos xsin x，给出下列命题：其中正确命题的序号是_。存在(0，)，使f()；存在(0，)，使f(x)f(x3)恒成立；存在R，使函数f(x)的图象关于y轴对称；函数f(x)的图象关于点(，0)对称。二、解答题5已知且为锐角，试求的值。 6已知求的值。7在中，已知，（）求的值；（）求的值 8已知函数。（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。9已知函数；（1）求函数的最小正周期。（2）求函数的最大值及取最大值时x的集合。10已知函数f(x)sin x·sin(x)cos2(3x)(xR)。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标。11函数f(x)Asin(x)B(A>0，>