高中数学讲义微专题56数列中的整数问题

1、- 1 - / 18 第 56 炼 数列中的整数问题 一、基础知识： 1、整数的基本性质： （1）整数的和，差，积仍为整数 （2）整数的奇偶性：若()21nkkz=+，则称n为奇数；若()2nk kz=，则称n为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律： 奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数 奇数偶数=偶数 偶数偶数=偶数 奇数奇数=奇数 （3）若, a bz，且ab，则1ab （4）已知,a br ab，若nz，且(),na b，则n只能取到有限多个整数（也有可能无解） （5）若azb，称a能被b整除，则有： ba b为a的一个因数 （6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均

2、有一个最小的自然数 2、整数性质的应用： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4），例如：若(),2,5nn n，则n的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。 （2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方

3、程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 - 2 - / 18 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值 （4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： 所解得变量非整数，或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶 3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数。 二、典型例题： 例 1：已知数列 na的通项公式为27nan=，若12mmma aa

4、+为数列 na中的项，则m=_ 思路：()()12272523mmmmma aam+=， na中的项为大于等于5（15a = ）的奇数，所以考虑将12mmma aa+向奇数形式变形：()()()()23423227252323mmmmmm = ()88236292323mmmm=+=+，可得823m 应该为大于等于 4 的偶数，所以8423m=或8823m=，解得52m =（舍）或2m = 答案：2m = 小炼有话说：（1）本题的亮点在于对()()272523mmm的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“

5、分离常数”可迅速将目标锁定在823m 上。 （2）本题对823m 的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到23m 应为奇数，而823zm，而8的奇因数只有1和1，同样可确定m的值。 例 2：已知等差数列 na 的公差0d ，设 na的前n项和为123,1,36ns ass= （1）求na的通项公式 （2）求(),m k m kn的值，使得165mmm kaaa+= - 3 - / 18 例 3：已知数列 na的前n项和为ns，且()211122nsnn nn=+ （1）求数列 na的通项公式 （2 2）设）设( )(21,)313(2 ,)nna nkknf nank kn=，是否存在，是否

6、存在mn，使得，使得()( )155f mf m+=成立？若存在，求出成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 解：（1）()()()221111111,1122222nnsnn snnn=+=+ ()152nnnassnn=+ 11111622as=+=符合 5nan=+ （2）思路：( )f n按照奇偶分段，所以要确定15,mm+的奇偶。观察可发现无论m为何值，15,mm+均为一奇一偶，所以只需要对m的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的m即可 解：( )5,2131332,2nnannkf nannk=+=+= 当m为奇数时，15m+为偶数 ()( )()()

7、155315255f mf mmm+=+=+ 解得：11m = 当m为偶数时，15m+为奇数 ()( )()()1551555 32f mf mmm+=+=+ 解得：57m =（舍） 综上所述：11m = 例 4：已知各项均为整数的数列 na满足371,4aa= =，前 6 项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列 （1）求数列 na的通项公式 （2 2）求出所有的正整数）求出所有的正整数m，使得使得1212mmmmmmaaaa aa+= 解：（1）设前 6 项的公差为d，则5363212 ,414aadd aadd=+= +=+= + - 4 - / 18 567,a a a成等比数列，(

8、)()22657414 21aaadd= 解得：1d = 6n时，()334naandn=+= 561,2aa=，则2q = 7n时，6562nnnaaq= 54,62,7nnnnan= （2）思路：由于数列 na分为两部分，当5n 时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，5n 后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的m。 解：由（1）可得： : 3, 2, 1,0,1,2,4,8,na 则当1m =时，1231236aaaa a a+= = 当2m =时，2342342342342,0,aaaa a aaaaa a a+= =+ 当3m =时，34

9、53450aaaa a a+= 当4m =时，4564564564563,0,aaaa a aaaaa a a+=+ 当5m 时，假设存在m，使得1212mmmmmmaaaa aa+= 则有()531221242mm+=即：5312277 227=2mmm= 5m 273m 2732287m=，从而277=2m无解 5m时，不存在这样的m，使得1212mmmmmmaaaa aa+= 综上所述：1m =或3m = 例 5：已知数列 na的前n项和为ns，且满足12a = ，1320nnas+=（*nn）. （1）求2a，3a的值； （2）求数列 na的通项公式； （3 3）是否存在整数对）是否存

10、在整数对( , )m n，使得等式，使得等式248nnam am=+成立？若存在，请求出所有满成立？若存在，请求出所有满足条件的足条件的( , )m n；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由. . - 5 - / 18 解：（1）在1320nnas+=中，令1n =，得：21320as+= 21123234asa= = = 再令2n =，得：3233208asa+= （2）由1320nnas+= ，可得：()13202nnasn+= 可得：()113022nnnnnaaaaan+= na从第二项开始成等比关系，公比为2 ()() ()22222nnnaan= = 而12a = 符合上式

11、()2nna= （3）思路：所成立的等式为()()22248nnmm=+，考虑将,m n进行分离得到：()()()()2288242424nnnnm= +，再利用,m n为整数可得()824n+为整数，从而求出符合条件的n，再求出m。 解：由（2）得：()()22248nnmm=+ ()()()()()()22282168824242424nnnnnnm+= + mz 且()24nz 只需()824nz+，即()241, 2, 4, 8n+= 经计算可得：1,2,3n =时，()824nz+ 解得：123,2114nnnmmm= = 共有三组符合题意：() () ()2,1 , 1,2 ,14

12、,3 小炼有话说： （1）在第（2）问中，要注意n的取值范围变化，并且要把n所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。 - 6 - / 18 （2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解 例 6：已知数列 na是各项均不为 0 的等差数列，ns是其前n项和，且满足221nnas=，令11nnnba a+=，数列 nb的前n项和为nt （1）求数列 na的通项公式及nt （2 2）是否存在正整数）是否存在正整数(),1m nmn，使得使得1,mnt t t成等比数列成等比数

13、列？若存在若存在，求出所有的求出所有的,m n的值的值；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。 解：（1）()12121212nnaasn+= 1212nnaaa+= ()2121nnsna= 221nnas= 且0na 21nan= ()()111121 212 2121nbnnnn=+ 11111111112335212122121nntnnnn=+=+ （2）思路：先假定存在满足条件的,m n，则由则由21mntt t=可得()2213 2121mnnm=+，无法直接得到不等关系，考虑变形等式：()222163mnmn+=，分离参数可得：24132mmn+=，以30n为突破口可解

14、出m的范围661,122+，从而确定m的值后即可求出n 解：假设存在(),1m nmn，则21mntt t= 即()()22222221163441633 2121mmnnmmnnmnmnm+=+ 241346mmn +=+即241320mmn+= - 7 - / 18 222410mmm+解得：661122m + 2m=，代入可得：234112224n=+=，解得：12n = 存在2,12mn=，使得1,mnt t t成等比数列 例7：已知各项均为正数的数列 na满足：13a =，且()2211210,nnnnna aaaann+= （1）设1nnnbaa=，求数列 nb的通项公式 （2 2

15、）设）设2221222212111,nnnnsaaa taaa=+=+，求，求nnst+，并确定最小正整数，并确定最小正整数n，使得使得nnst+为整数为整数 解：（1）()()()22221111210121nnnnnnnnna aaaaaaaa+= 22111111111222nnnnnnnnnnaabaabaaaa+= nb是公比为 2 的等比数列 （2）思路：由（1）可得2111223nnnnnabba+=，na的通项公式可求但是比较复杂，不利于求出,nns t，但观察发现可将nnst+中的项重新组合，进而能够和nb找到联系。22221122nnnnnaabaa+=+=+，求和可得()

16、6441227nnnstn+=+，若nnst+为整数，则41n能被27整除，而3273=，考虑可将4n写成()3 1n+，通过二项式定理展开并找到最小的正整数n 解：2221222212111nnnnstaaaaaa+=+ 22212121112nnaaanaaa=+ - 8 - / 18 222221888844423333nn=+ + ()()644164924124 127nnnn=+=+ 若nnst+为整数，因为2nz ()644127nz 即()14127nz ()01133221413 1333331nnnnnnnnnnnnnncccccc =+=+ 0113322133333nn

17、nnnnnnnnccccc=+ 22133nnnncc+能被27整除 ()2221193339322nnnnn nnnccn+= += 所以可得9n =时，22133nnnncc+能被27整除 n的最小值是9 例 8：已知 na为等差数列，前n项和为ns，若4224,21nnss aa=+ （1）求na （2）对mn，将 na中落入区间()22 ,2mm内项的个数记为 mb 求mb 记记2122mmmcb=， mc的 前的 前m项 和 记 为项 和 记 为mt， 是 否 存 在， 是 否 存 在,m tn， 使 得， 使 得111mmtttttc+=+成立？若存在，求出成立？若存在，求出,m

18、t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设 na的公差为d ()42114464 2ssadad=+=+ ()()2112121211nnaaandand=+ +=+ - 9 - / 18 解得：11,2ad= 21nan= （2） 222121221222mmmmnn+ 121112222mmn+ nn 121212mmn+ 21122mmmb= 思路：由可得：212122mmmc=，14 12mmt=，则所解方程变形为：1114 122mmtt+ = +，得到关于,m t的不定方程，可考虑对,m t进行变量分离1142142mtt=+，以等式左右边的符号作为突破口

19、（左边为正数），得到40t ，即1,2,3t，然后代入t解出符合条件的m即可 解：由可得：212122mmmc= 12 1214 11212mmmt= 由111mmtttttc+=+可得： 11mtmttctt+=+ 111111mmmmtttmmmttcccccctttttt+ +=+ +=+ = 1112mtmmtcttc+ + = 111144222mmtt = - 10 - / 18 1142142mtt=+ 1110,4022mt+ 401,2,3tt 1t =时，解得：12133log255mmz=（舍） 2t =时，解得：12111log233mmz=（舍） 3t =时，解得：1

20、1328mmz= 存在这样的33mt=，满足所给方程 小炼有话说： 1、本题中的方程，并没有在一开始就将mt代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算 2、本题在解,m t的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如12m），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。 例 9：已知数列 na是等差数列，数列 nb是等比数列，且对任意的nn，都有：31 1222nnna ba ba bn+= ，若18a =，则： （1）求数列 ,nnab的通

21、项公式 （2 2）试探究：数列）试探究：数列 nb中是否存在某一项中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它它可以表示为该数列中其它(),2r rn r项项的和的和？若存在若存在，请求出该项请求出该项，若不存在若不存在，请说明理由请说明理由 解：（1）31 1222nnna ba ba bn+= ()21 1221112nnna ba babn+= 可得： - 11 - / 18 ()()()32221 21 22nnnnna bnnnn+=+ 令1n =，则41 111 22a bb= = 令2n =，则()42 2113 248a bad bq=+= 令3n =，则()523 3114 2

22、2128a bad bq=+= 所以有：()()2 8482 82128d qd q+=+=，解得：42dq= 44,2nnnanb=+= （2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为12,rtttb bb，设存在某项mb，则12122222rrtttmmtttbbbb=+=+，设12rttt，则同除以12t，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立 解：假设存在某项mb及数列中的其他r项()1212,rtttrb bbttt 12122222rrtttmmtttbbbb=+=+，所以22rtmrmt 两边同时除以12t可得： 12112122rm ttttt= +，左边为偶数，右边为

23、奇数。所以等式不成立 所以不存在这样的项 小炼有话说：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：12,mmmaaa+，如果不一定相邻，则可用12,rt tt作角标，其中1,2,r体现出这一串项所成数列中项的序数，而12,rt tt表示该项在原数列中的序数 （2）本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全 ， 变 为 从12 一 直 加 到2rt ， 即1212222222rrtttt+。 则21222221mtrtr+= ， 由 整 数 性 质 可 得1rrmtmt， 所 以112221rrttm+，与矛盾，所以不存在。 例例 10

24、10：已知等差数列：已知等差数列 na的首项为的首项为a，公差为公差为b，等比数列等比数列 nb的首项为的首项为b，公比为公比为a，其其中中, a b均为大于均为大于 1 1 的正整数，且的正整数，且1123,ab ba，对于任意的对于任意的nn，均存在均存在mn，使使- 12 - / 18 得得3mnab+=成立成立，则则na =_ 思路：本题的关键是求出, a b，已知, a b均为大于 1 的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求, a b的值或范围：1123,2abab babaab+，所以2abbaab+，从 而 根 据 不 等 号 方 向 可 得 ：223baabbbb+= 解

25、得 ：3a ， 所 以132aa=， 从 而()1313nmnabambba+=+=， 代 入2a =可 得 ：()()11152521nnmbbbm+=+， 因 为1,21nbzmz+ ， 所 以11215nbm=+ =（舍）或12115nmb+ =。所以11211255nnmmbb+ =成立，所以2,5ab=，()25153nann=+= 答案：53nan= 三、历年好题精选 1、（2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用()ijaij表示第i行第j个数（, i jn+），使得1 iijaai=，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()n nn+行中的各

26、数之和为nb （1）写出1234,b b b b，并写出1nb+与nb的递推关系（不要求证明） （2）令2nncb=+，证明： nc是等比数列，并求出 nb的通项公式 （3）数列 nb中是否存在不同的三项(), ,pqrb b bp q rn+恰好成等差数列？若存在，求出, ,p q r的关系，若不存在，说明理由 2、（2016，泰州一模）已知数列, nnab满足2(2)nnnsab=+，其中ns是数列na的前n项和 （1）若数列na是首项为23，公比为13的等比数列，求数列 nb的通项公式； （2）若nbn=，23a =，求数列na的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nnnacb=，求证

27、：数列 nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 - 13 - / 18 3、已知数列 na的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列，数列 na前n项和为ns，且满足5459342,saa aaa=+=+ （1）求数列 na的通项公式 （2）若12mmma aa+=，求正整数m的值 （3）是否存在正整数m，使得221mmss恰好为数列 na中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由 4、（2016，无锡辅仁高中 12 月月测） 已知数列 ,nnab满足1123,2,1n nnnnnaa bbabnna+=+ （1）求证：数列1nb是等差数列，并求

28、数列 nb的通项公式 （2）设数列 nc满足25nnca=，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数(), q r pqr，使得111,pqrccc成等差数列？若存在，试用p表示, q r；若不存在，请说明理由 - 14 - / 18 习题答案：习题答案： 1、解析：（1）12341,4,10,22bbbb= 猜想122nnbb+=+ （2）()1222nnbb+=+ 12nncc+= nc是等比数列，1123c = += 11123 2nnncc= 13 22nnb= （3）由（2）可得：1113 22,3 22,3 22pqrpqrbbb= 若(), ,pqrb b bp q rn+为等差数

29、列 则12222qprqprbbb+=+=+ 不妨设p为最小的数，则2 212qprp= +，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立 不存在符合要求的, ,p q r 2 2、解析：（1）因为12112333nnna= 2113311112313nnns = 11213221223nnnnnsba =+ + （2）若nbn=，则22nnsnan=+ ()11212nnsna+=+ ()()11121212nnnnnanananana+=+=+ ()()1122nnnana=+ - 15 - / 18 两式相减可得：2n 时，()()()()()()11111122111nnnnnnnnananan

30、ananana+=+ 112nnnaaa+=+ na为等差数列 1122sa=+可得：12a =，因为23a = 1d= 1nan=+ （3）由（2）得1nncn+= ， 对于给定的*nn，若存在*, ,k tn k tn，使得nktccc=， 只需111nktnkt+=， 即1111(1) (1)nkt+=+，即1111nktkt=+，则(1)n ktkn+=， 12 分 取1kn=+，则(2)tn n=+， 对数列 nc中的任意一项1nncn+=，都存在121nncn+=+和2222212nnnncnn+=+使得212nnnnccc+= 3、解析：（1）设13521,ka a aa的公差为

31、d，设2462,ka a aa的公比为q 423192 ,1,14aa qq aadd ad=+= += + 由54541239341122342saaaaaadaaaqadadq=+=+=+=+=+ ()11222112 3,121kkkkaa qaandk=+= 12,212 3,2nnn nkank= = （2）若()2mk kn=，则22122kkka aa+=，即()12 3212 3kkk+= 解得：2131kk+ =，即2m = 若()21mkkn=，即21221kkkaaa+= - 16 - / 18 ()112212 3212 3121kkkkk =+ = + 因为12 3k为正整数 221k为正整数 211