高中数学必修二第六章 6.4.3 第1课时

1、1 / 13 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 第第 1 课时课时 余弦定理余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 知识点一 余弦定理 在abc中，角 a，b，c的对边分别是 a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2b2c22bccos a， b2a2c22accos b， c2a2b22abcos c 推论 cos ab2c2a22bc， cos ba2c2b22ac， cos ca2b2c22ab 思考 在 a2

2、b2c22bccos a中，若 a90 ，公式会变成什么？ 答案 a2b2c2，即勾股定理. 知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 2 / 13 知识点三 解三角形 一般地，把三角形的三个角 a，b，c和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 1.在abc中，已知两边及夹角时，abc不一定唯一.( ) 2.在abc中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( ) 3.在abc中，若 a2b2c20，则角 c 为直角.( ) 4.在a

3、bc中，若 a2b2c20，则角 c为钝角.( ) 一、已知两边及一角解三角形 例 1 (1)在abc中，已知 b3，c2 3，a30 ，求 a； (2)在abc中，已知 b3，c3 3，b30 ，求角 a、角 c和边 a. 解 (1)由余弦定理，得 a2b2c22bccos a 32(2 3)2232 3cos 30 3，所以 a 3. (2)由余弦定理 b2a2c22accos b， 得 32a2(3 3)22a3 3cos 30 ， 即 a29a180，解得 a3或 a6. 当 a3时，a30 ，c120 ； 当 a6时，由余弦定理 cos ab2c2a22bc0， a90 ，c60 .

4、 反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出3 / 13 两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 跟踪训练 1 已知在abc中，a1，b2，cos c14，则 c ；sin a . 答案 2 158 解析 根据余弦定理，得 c2a2b22abcos c1222212144，解得 c2.由 a1，b2，c2，得 cos ab2c2a22bc78，所以 sin a1782158. 二、已知三边解三角形 例 2 在abc中

5、，已知 a7，b3，c5，求最大角. 解 acb，a为最大角. 由余弦定理的推论，得 cos ab2c2a22bc32527223512. 又0 a180 ，a120 ， 最大角 a为 120 . 反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 跟踪训练 2 在abc 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，求最小角. 解 易知 acc2，且 b2c2a2，且 c2a2b2. abc为钝角三角形a2b2c2或 b2c2a2或 c2a2bc，c 为最小角且 c 为锐角， 由余弦定理，得 cos ca2b2c22ab 72(4 3)2( 13)2274

6、332. 又c为锐角，c6. 3.在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2 3ac，则角 b 为( ) a.6 b.3 c.3或23 d.6或56 答案 a 解析 a2b2c2 3ac， 6 / 13 cos ba2c2b22ac3ac2ac32， 又 b 为abc 的内角，b6. 4.边长为 5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) a.90 b.120 c.135 d.150 答案 b 解析 设abc 三边分别为 ab5，ac7，bc8， 则由余弦定理得 cos bab2bc2ac22 ab bc52827225812，b 为abc的内角， b60

7、， bcacab，abc， 最大角与最小角的和为 ac180 b120 . 5.在abc中，已知 a2，b2 2，c15 ，则 a . 答案 6 解析 由余弦定理，得 c2a2b22abcos c84 3， 所以 c 6 2. 由余弦定理，得 cos ab2c2a22bc32， 又 a 为abc 的内角，所以 a6. 1.知识清单： (1)余弦定理. 7 / 13 (2)余弦定理解决的两类问题. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件. 1.已知在abc中，a1，b2，c60 ，则 c等于( ) a. 3 b. 2 c. 5 d.5 答案 a 解析 由余弦

8、定理，得 c21222212cos 60 3， 所以 c 3. 2.(2019 安徽合肥八中质检)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，且abc357，则此三角形中的最大角的大小为( ) a.150 b.120 c.92 d.135 答案 b 解析 设 a3k，b5k，c7k(k0)， 由余弦定理，得 cos ca2b2c22ab9k225k249k230k212. 因为 c为abc的内角， 所以此三角形中的最大角 c120 . 3.(2019 四川绵阳中学月考)已知abc的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若 a 5，c2，cos a23，则 b 等于( ) a

9、. 2 b. 3 c.2 d.3 答案 d 8 / 13 解析 a 5，c2，cos a23， 由余弦定理，可得 cos ab2c2a22bcb2452b223， 整理可得 3b28b30， b3或 b13(舍去). 4.若abc的内角 a，b，c所对的边分别为 a，b，c，满足(ab)2c24，且 c60 ，则ab 的值为( ) a.43 b.84 3 c.1 d.23 答案 a 解析 由余弦定理 c2a2b22abcos c (ab)22ab2abcos c， (ab)2c22ab(1cos c) 2ab(1cos 60 )3ab4， ab43. 5.在abc 中，角 a，b，c 的对边分

10、别为 a，b，c，若 a3，b2，cos(ab)13，则 c等于( ) a.4 b. 15 c.3 d. 17 答案 d 解析 由三角形内角和定理，可知 cos ccos(ab)13， 又由余弦定理，得 c2a2b22abcos c 942321317， 9 / 13 所以 c 17. 6.在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3，且 b2c23bc，则角 a的大小为 . 答案 60 解析 a 3，且 b2c23bc， b2c2a2bc， b2c2a2bc， cos ab2c2a22bc12， 0 a180 ， a60 . 7.在abc 中，内角 a，b，c 所

11、对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2，且 sin c32，则c . 答案 23 解析 因为 a2b2c2，所以 cos ca2b2c22ab2. 又因为 sin c32，所以 c23. 8.在abc中，a，b，c 分别是角 a，b，c 所对的边，且 a，b 是方程 x25x20的两个根，c60 ，则 c . 答案 19 解析 由题意得 ab5，ab2. 由余弦定理，得 c2a2b22abcos c 10 / 13 a2b2ab(ab)23ab523219， 所以 c 19. 9.在abc中，abc245，判断三角形的形状. 解 因为 abc245， 所以可令 a2k，b4k，c5k(k0

12、). c 最大，cos c(2k)2(4k)2(5k)222k4k0， 且 cos ca2b2c22ab0，7a225， 7a5. 14.如图所示，在abc 中，已知点 d 在 bc 边上，adac，sinbac2 23，ab3 2，ad3，则 bd 的长为 . 12 / 13 答案 3 解析 sinbacsin(90 bad)cosbad2 23， 在abd 中， 有 bd2ab2ad22ab adcosbad， bd218923 232 233， bd 3. 15.在abc 中，已知 bc7，ac8，ab9，求 ac 边上的中线长. 解 方法一 由条件知 cos aab2ac2bc22ab

13、ac92827229823， 设中线长为 x，由余弦定理，知 x2ac22ab22ac2abcos a 42922492349， 所以 x7. 所以 ac 边上的中线长为 7. 方法二 设 ac中点为 m，连接 bm(图略). 则bm12(babc)， bm214(ba2bc22ba bc) 13 / 13 14(92722|ba|bc|cosabc). 由余弦定理，得 2|ba|bc|cosabc|ba|2|bc|2|ac|2927282， |bm|214(9272927282)49. bm7，即 ac 边上的中线长为 7. 16.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 aob，c 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于 a