高中数学必修二期末学业水平检测 (2)

1、1 / 17 期末学业水平检测 山东省滨州市 20192020 学年度 第二学期高一期末测试 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数 m=( ) a.-2 b.-1 c.0 d.1 2.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间0,10内的一个数来表示,该数越接近 10表示满意程度越高.现随机抽取 6 位小区居民,他们的幸福感指数分别为 5,6,7,8,9,5,则这组数据的第 80百分位数是( ) a.7 b.7.5 c.8 d

2、.9 3.已知 为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( ) a.若 a,b,则 ab b.若 a,ab,则 b c.若 a,ab,则 b d.若 a,ab,则 b 4.已知在平行四边形 abcd 中,m,n分别是 bc,cd的中点,如果 =a, =b,那么 =( ) 2 / 17 a.12a-12b b.-12a+12b c.a+12b d.-12a-12b 5.已知圆锥的表面积为 3,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( ) a.33 b.3 c.23 d.2 6.庆祝中华人民共和国成立 70 周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模

3、之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有 6 位外国人,其中关注此次大阅兵的有 5 位,若从这 6 位外国人中任意选取 2 位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( ) a.13 b.25 c.23 d.35 7.如图,有四座城市 a、b、c、d,其中 b在 a 的正东方向,且与 a 相距 120 km,d在 a 的北偏东 30 方向,且与 a相距 60 km,c在 b的北偏东 30 方向,且与 b相距6013

4、km.一架飞机从城市 d 出发,以 360 km/h 的速度向城市 c飞行,飞行了 15 min 后,接到命令改变航向,飞向城市 b,此时飞机距离城市 b的距离为( ) a.120 km b.606 km 3 / 17 c.605 km d.603 km 8.如图,在平面直角坐标系 xoy中,原点 o 为正八边形 p1p2p3p4p5p6p7p8的中心,p1p8x 轴,若坐标轴上的点 m(异于原点)满足 2 + + =0(其中1i8,1j8,且 i,jn*),则满足以上条件的点 m的个数为( ) a.2 b.4 c.6 d.8 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小

5、题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分) 9.已知复数 z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数 z的结论正确的是( ) a.|z|=2 b.复数 z的共轭复数=-1-i c.复平面内表示复数 z的点位于第二象限 d.复数 z是方程 x2+2x+2=0 的一个根 10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了 100 名学生,他们的身高都处在 a,b,c,d,e 五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( ) 4 / 17 a.样本中女生人数多于男生人数 b.样本中 b层次人数最多 c.样本中 e

6、层次的男生人数为 6 d.样本中 d 层次的男生人数多于女生人数 11.已知事件 a,b,且 p(a)=0.5,p(b)=0.2,则下列结论正确的是( ) a.如果 ba,那么 p(ab)=0.2,p(ab)=0.5 b.如果 a 与 b互斥,那么 p(ab)=0.7,p(ab)=0 c.如果 a 与 b相互独立,那么 p(ab)=0.7,p(ab)=0 d.如果 a与 b相互独立,那么 p()=0.4,p(a)=0.4 5 / 17 12.如图,正方体 abcd-abcd的棱长为 1,则下列命题中正确的是( ) a.若点 m,n分别是线段 aa,ad的中点,则 mnbc b.点 c到平面 a

7、bcd的距离为2 c.直线 bc与平面 abcd所成的角等于4 d.三棱柱 aad-bbc的外接球的表面积为 3 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 a,b,c分别为abc的三个内角 a,b,c的对边,且 bcos c+ccos b=asin a,则 a= . 14.已知数据 x1,x2,x3,xm的平均数为 10,方差为 2,则数据 2x1-1,2x2-1,2x3-1,2xm-1 的平均数为 ,方差为 . 15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)(a-3b)=-18,则 a与 b 的夹角为 . 16.如图,在三棱锥 v-abc中,ab=22,va=

8、vb,ac=bc,vc=1,且 avbv,acbc,则二面角 v-ab-c的余弦值是 . 6 / 17 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知向量 a=(1,2),b=(4,-3). (1)若向量 ca,且|c|=25,求 c的坐标; (2)若向量 b+ka与 b-ka互相垂直,求实数 k 的值. 18.(12分)已知 a,b,c分别为abc的三个内角 a,b,c的对边,且 a=7,c=1,a=23. (1)求 b及abc的面积 s; (2)若 d为 bc边上一点,且 ,求adb的正弦值. 7 / 17 从ad=1,cad=6

9、这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 19.(12分)在四面体 a-bcd 中,e,f,m分别是 ab,bc,cd 的中点,且bd=ac=2,em=1. (1)求证:ef平面 acd; (2)求异面直线 ac与 bd 所成的角. 8 / 17 20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队 3 人,每人回答一个问题,答对得 1 分,答错得 0 分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为23,乙队每人回答问

10、题正确的概率分别为12,23,34,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为 3 分与 1 分的概率; (2)求甲队总得分为 2 分且乙队总得分为 1 分的概率. 9 / 17 21.(12分)如图,在三棱锥 p-abc中,pa底面 abc,abbc,pa=ab=bc=2,点 d为线段 ac的中点,点 e 为线段 pc上一点. (1)求证:平面 bde平面 pac; (2)当 pa平面 bde 时,求三棱锥 p-bde 的体积. 10 / 17 22.(12分)2020 年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为

11、必考科目,满分各 150 分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3门参加考试(6 选 3),每科满分 100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是 100 名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以 20为组距分成 7组:160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300,画出频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a的值; (2)(i

12、)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数; (ii)估计这 100 名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在220,240)和260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取 7 名学生,再从这 7名学生中随机抽取 2 名学生进行问卷调查,求抽取的这 2名学生来自不同组的概率. 11 / 17 答案全解全析答案全解全析 1.b 复数 z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i, 因为 z 是纯虚数,所以 + 1 = 0,-10,解得 m=-1. 2.c 将 6 个

13、数据按照从小到大的顺序排列为 5,5,6,7,8,9,因为 6 80%=4.8,所以第 5 个数据即为这组数据的第 80 百分位数,故选 c. 3.b 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此 b 选项正确,易知 a、c、d 错误. 4.b = - = + -( + )= +12 - -12 =-12 +12 =-12a+12b. 5.a 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,依题意有 2r=122l,所以 l=2r,又圆锥的表面积为 3,所以 r2+rl=3,解得r=1,因此圆锥的高 h=2-2=3,于是体积 v=13r2h=1312 3=33. 6.c

14、这 6 位外国人分别记为 a,a,b,c,d,e,其中 a 未关注此次大阅兵,a,b,cd,e 关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共 15 个, 其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有 10 个,故所求概率为1015=23.故选 c. 7.d 取 ab 的中点 e,连接 de,bd.设飞机飞行了 15 min 后到达 f 点,连接 bf,如图所示,则 bf 即为所求. 因为 e 为 ab 的中点,且 ab=120 km

15、, 所以 ae=eb=60 km, 又dae=60 ,ad=60 km, 12 / 17 所以三角形 dae 为等边三角形, 所以 de=60 km,ade=60 , 在等腰三角形 edb 中,deb=120 , 所以edb=ebd=30 , 所以adb=90 , 所以 bd2=ab2-ad2=1202-602=10 800, 所以 bd=603 km, 因为cbe=90 +30 =120 ,ebd=30 ,所以cbd=90 , 所以 cd=2+ b2=10 800 + (6013)2=240 km, 所以 cosbdc=603240=34, 因为 df=36014=90 km, 所以在三角形

16、 bdf 中, bf2=bd2+df2-2 bd df cosbdf =(603)2+902-2 603 9034=10 800, 所以 bf=603 km, 即此时飞机距离城市 b 的距离为 603 km. 8.d 取线段 pipj的中点 qk,因为 2 + + =0,所以 + =-2 ,即 2 =-2 ,所以 =- ,于是 qk,o,m共线,因为点 m 在坐标轴上,所以 qk也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点 m 有 8 个. 9.abcd 由(1-i)z=2i 得 z

17、=2i1i=-1+i,于是|z|=2,其共轭复数=-1-i,复数 z 在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数 z 是方程 x2+2x+2=0 的一个根,故选项 a、b、c、d 均正确. 10.abc 样本中女生人数为 9+24+15+9+3=60,则男生人数为 40,故 a 选项正确;样本中 b 层次人数为24+40 30%=36,并且 b 层次占女生和男生的比例均最大,故 b 层次人数最多,b 选项正确;e 层次中的男生人数为40 (1-10%-30%-25%-20%)=6,故 c 选项正确;d 层次中,男生人数为 40 20%=

18、8,女生人数为 9,故 d 选项错误. 11.bd 由于 ba,所以 ab=a,ab=b,于是 p(ab)=p(a)=0.5,p(ab)=p(ab)=p(b)=0.2,故 a 选项错误;由于 a与 b 互斥,所以 p(ab)=p(a)+p(b)=0.5+0.2=0.7,ab 为不可能事件,因此 p(ab)=0,故 b 选项正确;如果 a 与 b 相互独立,那么 p(ab)=p(a)p(b)=0.1,故 c 选项错误;p()=p()p()=0.5 0.8=0.4,p(a)=p(a)p()=0.5 0.8=0.4,故 d 选项正确. 13 / 17 12.acd 因为 m,n 分别是线段 aa,a

19、d的中点,所以 mnad,又因为 adbc,所以 mnbc,故 a 选项正确;连接 bc,易证 bc平面 abcd,因此点 c 到平面 abcd的距离为12bc=22,故 b 选项错误;直线 bc 与平面 abcd所成的角为cbc=4,故 c 选项正确;三棱柱 aad-bbc的外接球即正方体的外接球,其半径 r=32,因此其表面积为4(32)2=3,故 d 选项正确. 13.答案 90 解析 由正弦定理可得 sin bcos c+sin ccos b=sin2a,即 sin(b+c)=sin 2a,所以 sin a=sin2a,易知 sin a0,所以 sin a=1,故 a=90 . 14.

20、答案 19;8 解析 依题意可得 2x1-1,2x2-1,2xm-1 的平均数为 2 10-1=19,方差为 22 2=8. 15.答案 3 解析 设 a,b 的夹角为 ,依题意有|a|2-ab-6|b|2=-18,所以 32-3 2 cos -6 22=-18,解得 cos =12,由于 0,故 =3. 16.答案 34 解析 取 ab 的中点 d,连接 vd,cd,由于 va=vb,ac=bc,所以 vdab,cdab,于是vdc 就是二面角 v-ab-c的平面角.因为 avbv,acbc,ab=22,所以 vd=2,dc=2,又 vc=1,所以 cosvdc=2+21222=34. 17

21、.解析 (1)解法一:因为向量 ca,所以设 c=a,(1 分) 则 c2=(a)2, 即(25)2=2a2,(2 分) 所以 20=52,解得 =2.(4 分) 所以 c=2a=(2,4)或 c=-2a=(-2,-4).(5 分) 解法二:设向量 c=(x,y).(1 分) 14 / 17 因为 ca,且 a=(1,2),所以 2x=y,(2 分) 因为|c|=25,所以2+ 2=25,(3 分) 由2 = ,2+ 2= 25,解得 = 2, = 4,或 = 2, = 4.(4 分) 所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4).(5 分) (2)因为向量 b+ka 与 b-ka 互相垂直,所

22、以(b+ka)(b-ka)=0,(6 分) 即 b2-k2a2=0.(7 分) 因为 a=(1,2),b=(4,-3),所以 a2=5,b2=25,(8 分) 所以 25-5k2=0,解得 k= 5.(10 分) 18.解析 (1)由余弦定理得,(7)2=b2+12-2bcos 23,(2 分) 整理得 b2+b-6=0,解得 b=2 或 b=-3(舍去).(5 分) 所以abc 的面积 s=12bcsin a=12 2 132=32.(6 分) (2)选择条件. 在abc 中,由正弦定理sin=sin,得2sin=732,(8 分) 所以 sin b=217.(9 分) 因为 ad=ab=1

23、,所以adb=b.(10 分) 所以 sinadb=sin b,所以 sinadb=217.(12 分) 选择条件. 在abc 中,由余弦定理的推论,得 cos b=(7)2+12-22271=277.(8 分) 因为 a=23,所以bad=23-6=2,(9 分) 所以 sinadb=cos b,即 sinadb=277.(12 分) 19.解析 (1)证明:因为 e,f 分别为 ab,bc 的中点,所以 efac.(2 分) 因为 ef平面 acd,ac平面 acd,所以 ef平面 acd.(4 分) (2)易得 efac,fmbd,(5 分) 15 / 17 所以efm 为异面直线 ac

24、 与 bd 所成的角(或其补角).(7 分) 在efm 中,ef=fm=em=1,所以efm 为等边三角形,(10 分) 所以efm=60 ,即异面直线 ac 与 bd 所成的角为 60 .(12 分) 20.解析 (1)记“甲队总得分为 3 分”为事件 a,“甲队总得分为 1 分”为事件 b. 甲队得 3 分,即三人都答对,其概率 p(a)=232323=827.(2 分) 甲队得 1 分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错, 其概率 p(b)=23 (1 23) (1 23)+(1 23)23 (1 23)+(1 23) (1 23)23=29.(5 分) 所以甲队总得分为 3 分的概率

25、为827,甲队总得分为 1 分的概率为29.(6 分) (2)记“甲队总得分为 2 分”为事件 c,“乙队总得分为 1 分”为事件 d. 甲队得 2 分,即三人中有两人答对,剩余一人答错, 则 p(c)=2323 (1 23)+23 (1 23)23+(1 23)2323=49.(8 分) 乙队得 1 分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错, 则 p(d)=12 (1 23) (1 34)+(1 12)23 (1 34)+(1 12) (1 23)34=14.(11 分) 由题意得,事件 c 与事件 d 相互独立. 所以甲队总得分为 2 分且乙队总得分为 1 分的概率为 p(c)p(d)=4

26、914=19.(12 分) 21.解析 (1)证明:因为 pa底面 abc,且 bd底面 abc, 所以 pabd.(1 分) 因为 ab=bc,且点 d 为线段 ac 的中点,所以 bdac.(2 分) 又 paac=a,所以 bd平面 pac.(3 分) 又 bd平面 bde,所以平面 bde平面 pac.(4 分) (2)因为 pa平面 bde,pa平面 pac,平面 pac平面 bde=ed,所以 edpa.(5 分) 因为点 d 为 ac 的中点,所以点 e 为 pc 的中点.(6 分) 解法一:由题意知 p 到平面 bde 的距离与 a 到平面 bde 的距离相等.(7 分) 所以

27、 vp-bde=va-bde=ve-abd=12ve-abc=14vp-abc=141312 2 2 2=13. 16 / 17 所以三棱锥 p-bde 的体积为13.(12 分) 解法二:由题意知点 p 到平面 bde 的距离与点 a 到平面 bde 的距离相等.(7 分) 所以 vp-bde=va-bde.(8 分) 由题意得 ac=22,ad=2,bd=2,de=1,(9 分) 由(1)知,adbd,adde,且 bdde=d,所以 ad平面 bde,(10 分) 所以 va-bde=13adsbde=1312 2 1 2=13. 所以三棱锥 p-bde 的体积为13.(12 分) 解法三:由题意得 ac=22,ad=2,bd=2,de=1,(8 分) 由(1)知,bd平面 pde, 且 spde=12dead=12 1 2=22.(10 分) 所以 vp-bde=vb-pde=13bdspde=13 222=13. 所以三棱锥 p-bde 的体积为13.(12 分)