高中数学必修一第六章　§3　用样本估计总体分布

1、1 / 7 第六章统计 3 用样本估计总体分布 3.1 从频数到频率从频数到频率 3.2 频率分布直方图频率分布直方图 课后篇巩固提升巩固提升 必备知识基础练 1.(2020 河北高二期末)容量为 100 的样本数据,分组后的频数如下表 分组 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 5 12 20 38 17 8 则样本数据落在区间80,100内的频率是( ) a.0.25 b.0.35 c.0.45 d.0.55 解析由题意可得样本数据落在区间80,100内的频数为 17+8=25,则所求频率为25100=0.25.故选 a. 答案 a 2.

2、一个频数分布表(样本容量为 30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在区间20,60)上的频率为0.8,则估计样本在区间40,50),50,60)内的数据个数共为( ) a.15 b.16 c.17 d.19 解析由题易得在区间40,50),50,60)内的频率为 0.8-4+530=0.5.故样本在区间40,50),50,60)内的数据个数共为 300.5=15.故选 a. 答案 a 3.(多选题)为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级 1 000 名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取 50 名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下 参加场数 0 1 2 3 4 5

3、6 7 参加人数占调 查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2% 估计该校高一学生参加传统文化活动情况不正确的是 ( ) a.参加活动次数是 3场的学生约为 360人 2 / 7 b.参加活动次数是 2场或 4 场的学生约为 480 人 c.参加活动次数不高于 2场的学生约为 280人 d.参加活动次数不低于 4场的学生约为 360人 解析参加活动场数为 3场的学生约有 100026%=260(人),a 错误;参加活动场数为 2场或 4场的学生约有 1000(20%+18%)=380(人),b错误;参加活动场数不高于 2 场的学生约有1000(8%+10%+20%

4、)=380(人),c 错误;参加活动场数不低于 4场的学生约有1000(18%+12%+4%+2%)=360(人),d正确.故选 abc. 答案 abc 4.有一个容量为 66的样本,数据的分组及各组的频数如下 分组 11.5, 15.5) 15.5, 19.5) 19.5, 23.5) 23.5, 27.5) 27.5, 31.5) 31.5, 35.5) 35.5, 39.5) 39.5, 43.5) 频数 2 4 9 18 11 12 7 3 根据样本的频数分布估计,大于或等于 27.5 的数据约占 ( ) a.16 b.13 c.12 d.533 解析由题意知,大于或等于 27.5的数

5、据共有 11+12+7+3=33,则约占3366=12,故选 c. 答案 c 5.去年,相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计,其频率分布如下表所示: 时间 10 月 1日 10 月 2日 10 月 3日 10 月 4日 10 月 5日 10 月 6日 10 月 7日 频率 0.05 0.08 0.09 0.13 0.30 0.15 0.20 已知 10月 1日这天该景区的营业额约为 8 万元,假定这七天每天游客人均消费相同,则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为 万元. 解析根据表格可知,10月 1日这天的频率为 0.05,营业额为 8

6、万;频率最高的为 10月 5日,频率为 0.30. 设这个黄金周 10月 5日的营业额约为 x万元, 由80.05=0.30,得 x=48,则游客人数最多的那一天的营业额约为 48 万元. 答案 48 6. 3 / 7 为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:kg)全部介于 45 至 70之间.将数据分成以下 5组:第 1 组45,50),第 2 组50,55),第 3 组55,60),第 4组60,65),第 5组65,70,得到如图所示的频率分布直方图,则 a= .现采用分层随机抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取 6名学生,则第 3,4,

7、5组抽取的学生人数依次为 . 解析由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)5=1,得 a=0.04. 设第 3,4,5 组抽取的学生人数依次为 x,y,z, 则 xyz=0.060.040.02=321, 又 x+y+z=6,所以 x=3,y=2,z=1. 答案 0.04 3,2,1 7.某大学艺术专业 400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们的分数,将数据分成 7 组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图. (1)从总体的 400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70的概率; (

8、2)已知样本中分数小于 40的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数. 解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于 70的频率为 1-0.6=0.4.所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于 50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分数在区间40,50)内的人数为 100-1000.9-5=5,所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为 4005100=20. 8.(2020 安徽高二期末)为了

9、解某校高一 1 000名学生的物理成绩,随机抽查了部分学生的期中考试成绩,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该校高一学生物理成绩不低于 80 分的人数; (2)若在本次考试规定物理成绩在 m 分以上(包括 m分)的为优秀,该校学生物理成绩的优秀率大约为18%,求 m的值. 4 / 7 解(1)由频率分布直方图得,该校高一学生物理成绩不低于 80分的频率为(0.03+0.024)10=0.54,该校高一学生物理成绩不低于 80 分的人数为 10000.54=540. (2)0.240.18,90m100, 0.24-0.180.24=-9010,解得 m=92.5. 关键能

10、力提升练 9.(2021 海南高三二模)为了丰富教职工业余生活,某校计划在假期组织全体老师外出旅游,并给出了两个方案(方案一和方案二),每位老师均选择且只选择一种方案,其中有 50%的男老师选择方案一,有75%的女老师选择方案二,且选择方案一的老师中女老师占 40%,那么该校全体老师中女老师的比例为( ) a.12 b.47 c.58 d.34 解析设该校男老师的人数为 x,女老师的人数为 y,则可得如下表格: 性别 方案一 方案二 男老师 0.5x 0.5x 女老师 0.25y 0.75y 由题意,0.250.5+0.25=0.4,可得=43,所以+=47. 故选 b. 答案 b 10.某校

11、高三(1)班在一次单元测试中,每位同学的考试分数都在区间100,128内,将该班所有同学的考试分数分为七组:100,104),104,108),108,112),112,116),116,120),120,124),124,128,绘制出频率分布直方图如图所示,已知分数低于 112 分的有 18人,则分数不低于 120 分的人数为( ) a.10 b.12 c.20 d.40 解析由频率分布直方图得分数低于 112分的频率为(0.01+0.03+0.05)4=0.36,分数低于 112 分的有 18 人,高三(1)班总人数为 n=180.36=50,分数不低于 120分的频率为(0.03+0.

12、02)4=0.2,分数不低于 120分的人数为 500.2=10.故选 a. 答案 a 5 / 7 11.(多选题)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为 n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在区间50,60)的学生有 60 人,则下列说法正确的是( ) a.样本中支出在区间50,60)的频率为 0.03 b.样本中支出不少于 40 元的人数为 132 c.n的值为 200 d.若该校有 2 000 名学生,则一定有 600人支出在区间50,60)内 解析样本中支出在区间50,60)的频率为 1-(0.01+0.024+0.036)10=0.3,故 a 错误;样本

13、中支出不少于40 元的人数为0.360.360+60=132,故 b正确;n=600.3=200,故 n的值为 200,故 c 正确;若该校有 2000名学生,则可能有 0.32000=600 人支出在区间50,60)内,故 d 错误.故选 bc. 答案 bc 12.某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2019 年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 . 解析由频率分布直方图及频率和等于 1可得 0.20.1+0.80.1+

14、1.50.1+20.1+2.50.1+a0.1=1,解得 a=3.于是消费金额在区间0.5,0.9内频率为 0.20.1+0.80.1+20.1+30.1=0.6,所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 0.610000=6000. 答案(1)3 (2)6 000 13.某样本频率分布直方图如图所示,且在区间15,18)内频数为 8.求: 6 / 7 (1)求样本容量; (2)若在区间12,15)内的小矩形面积为 0.06,求在区间12,15)内的频数和样本在区间18,33)内的频率. 解(1)由频率分布直方图可知区间15,18)对应 y 轴的数字为475,且组距为 3,所以区间1

15、5,18)对应频率为4753=425,又已知在区间15,18)内频数为 8,所以样本容量为 n=8425=50. (2)因为12,15)内的小矩形面积为 0.06,所以在区间12,15)内频率为 0.06,且样本容量为 50,所以在区间12,15)内的频数为 500.06=3,又因为在区间15,18)内的频数为 8,所以在区间18,33)内的频数为 50-3-8=39.所以在区间18,33)内的频率为3950=0.78. 学科素养拔高练 14.(2020 江苏高三专题练习)某市 2020年 4月 1 日4 月 30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,

16、56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在 050之间时,空气质量为优;在 51100 之间时,空间质量为良;在101150 之间时,空间质量为轻微污染;在 151200之间时,空间质量为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解(1)频率分布表 分组 频数 频率 分组 频数 频率 41,51) 2 230 81,91) 10 1030 51,61) 1 130 91,101) 5 530 61,71) 4 430 101,