高中数学必修一第三章 3.1.2(一) (2)

1、1 / 17 31.2 函数的表示法函数的表示法(一一) 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息 知识点 函数的表示方法 思考 函数三种表示法的优缺点？ 答案 1任何一个函数都可以用解析法表示( ) 2任何一个函数都可以用图象法表示( ) 3函数 f(x)2x1 不能用列表法表示( ) 4函数的图象一定是一条连续不断的曲线( ) 2 / 17 一、函数的表示方法 例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x(x 为正整数)与收款数 y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示

2、出来 解 (1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示 (3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10 反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 跟踪训练 1 由下表给出函数 yf(x)，则 f(f(1)等于( ) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 a

3、.1 b2 c4 d5 答案 b 3 / 17 解析 由题中表格可知 f(1)4，所以 f(f(1)f(4)2. 二、求函数解析式 例 2 求下列函数的解析式： (1)已知函数 f( x1)x2 x，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x) 解 (1)方法一 (换元法) 设 t x1，则 x(t1)2(t1) f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21， f(x)x21(x1) 方法二 (配凑法) x2 x( x)22 x11( x1)21， f( x1)( x1)21( x11)， f(x)x21(x1) (2)设 f(

4、x)ax2bxc(a0) f(0)1，c1. 又f(x1)f(x)2x， a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 整理，得 2ax(ab)2x. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， 2a2，ab0，解得 a1，b1，f(x)x2x1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数 f(g(x)的解析式求 f(x)的解析式可用换元法(或4 / 17 “配凑法”)，即令 g(x)t，反解出 x，然后代入 f(g(x)中求出 f(t)，从而求出 f(x) (2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列

5、方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 跟踪训练 2 (1)已知 f(x22)x44x2，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24(x2) 解析 因为 f(x22)x44x2(x22)24， 令 tx22(t2)，则 f(t)t24(t2)， 所以 f(x)x24(x2) (2)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x1，则 f(x)_. 答案 2x13或2x1 解析 因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)， 则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又因为 f(f(x)4x1，所以 a2xabb4x1. 所以 a24，abb1，

6、解得 a2，b13或 a2，b1. 所以 f(x)2x13或 f(x)2x1. 三、函数的图象 例 3 作出下列函数的图象 (1)y2x1，x0,2； (2)y2x，x2，)； (3)yx22x，x2,2 解 (1)当 x0,2时，图象是直线 y2x1的一部分 5 / 17 (2)当 x2，)时，图象是反比例函数 y2x的一部分 (3)当2x2时，图象是抛物线 yx22x的一部分 延伸探究 根据作出的函数图象求其值域 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为1,5 (2)中函数的值域为(0,1 (3)中函数的值域为1,8 反思感悟 作函数 yf(x)图象的方法 (1)若 yf(x)是已学过的函

7、数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍 (2)若 yf(x)不是所学过的函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出 yf(x)的图象 跟踪训练 3 作出下列函数的图象： (1)y1x(xz)； 6 / 17 (2)yx24x3，x1,3 解 (1)因为 xz， 所以图象为直线 y1x上的孤立点，其图象如图所示 (2)yx24x3(x2)21， 当 x1,3时，y0； 当 x2 时，y1，其图象如图所示 函数图象的应用 典例 (1)已知 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域为_，值域为_ 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 答案 2,45

8、,8 4,3 解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合 (2)若函数 f(x)x24x3(x0)的图象与 ym 有两个交点，求实数 m 的取值范围 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 7 / 17 解 f(x)x24x3(x0)的图象如图， f(x)的图象与直线 ym 有 2 个不同交点， 由图易知10，t为不超过 t的最大整数，则从甲市到乙市 5.5 min的电话费为( ) a5.04 元 b5.43 元 c5.83 元 d5.38元 答案 a 解析 依题意知 g(5.5)1.06(0.7551) 5.0355.04，故选 a. 4如果 f 1xx1x，

9、则当 x0,1时，f(x)等于( ) a.1x b.1x1 c.11x d.1x1 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 11 / 17 答案 b 解析 令1xt，则 x1t，代入 f 1xx1x， 则有 f(t)1t11t1t1， 故 f(x)1x1.故选 b. 5函数 yx1x的大致图象是( ) 考点 函数图象 题点 求作或判断函数的图象 答案 a 解析 方法一 yx1x的定义域为x|x1，排除 c，d， 当 x0 时，y0，排除 b. 方法二 yx1x11x1， 由函数的平移性质可知 a正确 6已知函数 f(x)xmx，且此函数图象过点(5,4)，则实数 m的值为_ 答案 5

10、12 / 17 解析 将点(5,4)代入 f(x)xmx，得 m5. 7某航空公司规定，乘客所携带行李的重量 x(kg)与其运费 y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_kg. 答案 19 解析 设一次函数解析式为 yaxb(a0)， 代入点(30,330)与点(40,630)得 33030ab，63040ab， 解得 a30，b570.即 y30 x570， 若要免费，则 y0，所以 x19. 8已知 a，b为常数，若 f(x)x24x3，f(axb)x210 x24，则 5ab_. 答案 2 解析 f(x)x24x3， f(axb)(axb)24(axb)3

11、a2x2(2ab4a)xb24b3 x210 x24， a21，2ab4a10，b24b324， a1，b3或 a1，b7. 5ab2. 9.如图所示，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为 x 的小正方形，然13 / 17 后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积 v 以 x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域 解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a2x)的正方形，高为 x， 所以此盒子的体积 v(a2x)2 xx(a2x)2， 其中自变量 x应满足 a2x0，x0，即 0 xa2. 所以此盒子的体积 v以 x为自变量的函数式为 vx(a2x)2，定义域为0，a2. 10

12、画出函数 f(x)x22x3 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若 x1x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小； (3)求函数 f(x)的值域 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 解 函数 f(x)x22x3 的定义域为 r， 列表： x 1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图象如图： 14 / 17 (1)根据图象，容易发现 f(0)3， f(1)4，f(3)0， 所以 f(3)f(0)f(1) (2)根据图象，容易发现当 x1x21 时，有 f(x1)f(x2) (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4

13、)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(，4 11若一次函数的图象经过点 a(1,6)和 b(2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) a.12，5 b.14，4 c(1,3) d(2,1) 答案 a 解析 设一次函数的解析式为 ykxb(k0)，则该函数的图象经过点 a(1,6)和 b(2,8)，得 kb6，2kb8，解得 k2，b4，所以此函数的解析式为 y2x4，只有 a 选项的坐标符合此函数的解析式故选 a. 12设函数 f 11x2x1，则 f(x)的表达式为( ) a.1x1x(x1) b.1xx1(x1) c.1x1x(x1) d.2xx1(x1) 15 / 17

14、 答案 b 解析 令 11xt，则 t1， x1t1，t1， f(t)2t111tt1，t1， f(x)1xx1(x1)，故选 b. 13已知函数 f(x)f(x)g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的反比例函数，且f1316，f(1)8，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)3x5x(x0) 解析 设 f(x)kx(k0)，g(x)mx(m0，且 x0)，则 f(x)kxmx. 由 f1316，f(1)8， 得 13k3m16，km8，解得 k3，m5， 所以 f(x)3x5x(x0) 14已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足 f(g(x)g(f(x

15、)的 x的值为_. x 1 2 3 4 f(x) 1 3 1 3 g(x) 3 2 3 2 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 2或 4 16 / 17 解析 当 x1时，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3. 当 x2 时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)3. 当 x3 时，f(g(3)f(3)1，g(f(3)g(1)3. 当 x4 时，f(g(4)f(2)3，g(f(4)g(3)3. 满足 f(g(x)g(f(x)的 x 的值只有 2或 4. 15已知 f(x)3f(x)2x1，则 f(x)的解析式是_ 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 答案 f(x)x14 解析 因为 f(x)3f(x)2x1， 所以把中的 x 换成x，得 f(x)3f(x)2x1. 由解得 f(x)x14. 16某企业生产某种产品时的能耗 y 与产品件数 x 之间的关系式为 yaxbx.且当 x2 时，y100；当 x7 时，y35.且此产品生产件数不超过 20 件 (1)写出函数 y 关于 x的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象 解 (1)将 x2，y100与 x7，y35代入 yaxbx中， 得 2ab2100，7ab735 4ab200，49ab245 a1，