高中数学必修一第五章 5.4.1

1、1 / 12 5.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题 知识点一 正弦函数的图象 1正弦曲线的定义 正弦函数 ysin x，xr 的图象叫正弦曲线 2正弦函数图象的画法 (1)几何法： 利用单位圆上点 t(x0，sin x0)画出 ysin x，x0,2的图象； 将图象向左、向右平行移动(每次 2个单位长度) (2)五点法： 画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，2，1 ，(，0

2、)，32，1 ，(2，0)，用光滑的曲线连接； 将所得图象向左、向右平行移动(每次 2个单位长度) 思考 为什么把 ysin x，x0,2的图象向左、向右平移 2的整数倍个单位长度后图象形状不变？ 答案 由公式 sin(x2k)sin x，kz 可得 知识点二 余弦函数的图象 1余弦曲线的定义 余弦函数 ycos x，xr 的图象叫余弦曲线 2 / 12 2余弦函数图象的画法 (1)要得到 ycos x 的图象，只需把 ysin x 的图象向左平移2个单位长度即可，这是由于cos xsinx2. (2)用“五点法”：画余弦曲线 ycos x 在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)

3、，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1)，再用光滑的曲线连接 1正弦函数的图象向左右是无限伸展的( ) 2正弦函数 ysin x 的图象在 x2k，2k2，(kz)上的图象形状相同，只是位置不同( ) 3函数 ysin x的图象向右平移2个单位得到函数 ycos x的图象( ) 4函数 ycos x 的图象关于 x轴对称( ) 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例 1 (1)下列叙述正确的个数为( ) ysin x，x0,2的图象关于点 p(，0)成中心对称； ycos x，x0,2的图象关于直线 x成轴对称； 正、余弦函数的图象不超过直线 y1和 y1所夹的范围 a0 b1 个 c2

4、个 d3个 答案 d 解析 分别画出函数 ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确 (2)函数 ysin |x|的图象是( ) 答案 b 解析 ysin |x| sin x，x0，sin x，x0，结合选项可知选 b. 3 / 12 反思感悟 解决正、余弦函数图象的注意点 对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到 跟踪训练 1 关于三角函数的图象，有下列说法： ysin x1.1 的图象与 x轴有无限多个公共点； ycos(x)与 ycos |x|的图象相同； y|s

5、in x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称； ycos x与 ycos(x)的图象关于 y轴对称 其中正确的序号是_ 答案 解析 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同； 对，ycos(x)cos x，故其图象关于 y轴对称；作图(略)可知均不正确 二、用“五点法”作简图 例 2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)ysin x1，x0,2； (2)y2cos x，x0,2 解 (1)列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 sin x1 1 0 1 2 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图 (2)列表： x 0 2 32

6、2 cos x 1 0 1 0 1 2cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图 4 / 12 反思感悟 作形如 yasin xb(或 yacos xb)，x0,2的图象的三个步骤 跟踪训练 2 利用“五点法”作出函数 y1sin x(0 x2)的简图 解 (1)取值列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线，如图所示 三、正弦(余弦)函数图象的应用 例 3 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的 x 的集合 (1)sin x12；(2)cos x12. 解 (1)作出正弦函数 ysin x

7、，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 x的集合为62k，562k ，kz. (2)作出余弦函数 ycos x，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 x 的集合为32k，532k ，kz. 5 / 12 反思感悟 用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象； (2)写出不等式在区间0,2上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集 跟踪训练 3 在0,2上，使 cos x12成立的 x的取值集合为_ 答案 x 23x43 解析 画出 ycos x在0,2上的简图，如图所示 由于 cos x12时，x23或 x43. 由图象

8、可知，在0,2上，使 cos x12成立的角 x 的取值集合为x 23x43. 根据函数图象求范围 典例 函数 f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线 yk 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_ 答案 (1,3) 解析 用数形结合法判断 k 的取值范围 f(x) 3sin x，0 x，sin x，x2.图象如下图所示 结合图象可知 1k3. 素养提升 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决 6 / 12 1函数 ysin x，x2，32的简图是( ) 答案 d 解析 函数 ysin x与 ysin x的图象关于 x轴对

9、称，故选 d. 2在同一平面直角坐标系内，函数 ysin x，x0,2与 ysin x，x2，4的图象( ) a重合 b形状相同，位置不同 c关于 y 轴对称 d形状不同，位置不同 答案 b 解析 根据正弦曲线的作法可知函数 ysin x，x0,2与 ysin x，x2，4的图象只是位置不同，形状相同 3用“五点法”画函数 y23sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) a0，4，2，34， b0，2，32，2 c0，2，3，4 d0，6，3，2，23 答案 b 解析 所描出的五点的横坐标与函数 ysin x 的五点的横坐标相同，即 0，2，32，2，故选 b. 4不等式 cos x

10、0，x0,2的解集为_ 答案 2，32 解析 由函数 ycos x 的图象可知，不等式 cos x0，x0,2的解集为2，32. 7 / 12 5函数 ycos x，x0,2的图象与直线 y14的交点有_个 答案 2 解析 作 ycos x，x0,2的图象及直线 y14(图略)，知两函数图象有两个交点 1知识清单： (1)通过单位圆画正弦函数图象； (2)通过平移得余弦函数的图象； (3)五点法作图； (4)函数图象的应用 2方法归纳：数形结合 3常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象 1用五点法画 y3sin x，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点( ) a.6，32 b.2，3 c

11、(，0) d(2，0) 答案 a 解析 五个关键点的横坐标依次是 0，2，32，2. 2函数 ysin(x)，x0,2的简图是( ) 答案 b 解析 由 ysin(x)sin x 可知，其图象和 ysin x 的图象关于 x 轴对称 3函数 y1sin x，x0,2的图象与直线 y2交点的个数是( ) a0 b1 c2 d3 答案 b 解析 由函数 y1sin x，x0,2的图象(如图所示)， 8 / 12 可知其与直线 y2只有 1个交点 4在0,2内，不等式 sin x32的解集是( ) a(0，) b.3，43 c.43，53 d.53，2 答案 c 解析 画出 ysin x，x0,2的

12、草图如下 因为 sin 332， 所以 sin332，sin2332. 即在0,2内，满足 sin x32的 x43或53. 可知不等式 sin x32的解集是43，53.故选 c. 5如图中的曲线对应的函数解析式是( ) ay|sin x| bysin |x| cysin |x| dy|sin x| 答案 c 解析 排除法，可知 c 正确 6用“五点法”画出 y2sin x 在0,2内的图象时，应取的五个点为_ 答案 (0,0)，2，2 ，(，0)，32，2 ，(2，0) 解析 可结合函数 ysin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2 倍即可 7函数 ycos x

13、4，x0,2的图象与直线 y4的交点的坐标为_ 答案 2，4 ，32，4 9 / 12 解析 由 ycos x4，y4得 cos x0， 当 x0,2时，x2或32， 交点为2，4 ，32，4 . 8函数 y12log sin x的定义域是_ 答案 x|2kx2k，kz 解析 由12log sin x0知 0sin x1， 由正弦函数图象(图略)知 2kx2k，kz. 9用“五点法”作下列函数的简图 (1)y3sin x(x0,2)； (2)ysinx2x2，52. 解 (1)列表如下： x 0 2 32 2 3sin x 0 3 0 3 0 描点连线如图： (2)列表如下： x 2 32 2

14、 52 sinx2 0 1 0 1 0 描点连线如图： 10根据 ycos x 的图象解不等式：32cos x12，x0，2 解 函数 ycos x，x0,2的图象如图所示： 10 / 12 根据图象可得不等式的解集为x 3x56或76x53. 11如图所示，函数 ycos x|tan x|0 x32且x2的图象是( ) 答案 c 解析 当 0 x2时，ycos x |tan x|sin x； 当2x时，ycos x |tan x|sin x； 当 x32时，ycos x |tan x|sin x， 故其图象为 c. 12方程 sin xx10的根的个数是( ) a7 b8 c9 d10 答案

15、 a 解析 在同一坐标系内画出 yx10和 ysin x的图象如图所示 根据图象可知方程有 7个根 11 / 12 13函数 y2cos x，x0,2的图象和直线 y2 围成的一个封闭的平面图形的面积是_ 答案 4 解析 如图所示，将余弦函数的图象在 x 轴下方的部分补到 x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为 224. 14函数 ysin x2|sin x|在0,2上的图象若与直线 yk有且仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_，若与直线 yk 有四个不同的交点，则 k 的取值范围是_ 答案 1k3 0k1 解析 ysin x2|sin x| 3sin x，0 x，sin x，x2， 由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，若有两个不同的交点，则 1k3.若有四个不同的交点，则 0k1. 15已知函数 f(x)|sin x|，x2，2，则方程 f(x)12的所有根的和等于( ) a0 b c d2 答案 a 解析 若 f(x)12，即|sin x|12， 则 sin x12或 sin x12. 因为 x2，2， 所以方程 sin x12的 4个根关