高中数学必修一第二章 2.1 第2课时

1、1 / 10 第第 2 课时课时 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 知识点一 等式的基本性质 (1)如果 ab，那么 ba. (2)如果 ab，bc，那么 ac. (3)如果 ab，那么 a cb c. (4)如果 ab，那么 acbc. (5)如果 ab，c0，那么acbc. 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 abbb，bcac 不可逆 3 可加性 abacbc 可逆 4 可乘性 abc0acbc c 的符号 abc0acbcdacbd 同向 6 同向同正可乘性 ab0

2、cd0acbd 同向 7 可乘方性 ab0anbn(nn，n2) 同正 1若 ab，则 acbc.( ) 2.ab1ab.( ) 3abacbc.( ) 2 / 10 4. ab，cdacbd.( ) 一、利用不等式的性质判断或证明 例 1 (1)给出下列命题： 若 ab0，ab，则1ab，cd，则 acbd； 对于正数 a，b，m，若 ab，则ab0，则1ab0， 又 ab，所以aabbab，所以1a1b，所以正确； 对于，若 a7，b6，c0，d10， 则 706(10)，错误； 对于，对于正数 a，b，m， 若 ab，则 ambm， 所以 amabbmab， 所以 0a(bm)0，所以a

3、bb0，cd0.求证：3ad3bc. 证明 因为 cdd0. 所以 01cb0，所以adbc0. 所以3ad3bc，即3ad3bc， 两边同乘1，得3ad3bc. 反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，3 / 10 注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算 (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导 跟踪训练 1 若1a1b|b|，ab，abb3. 则不正确的不等式的个数是( ) a0 b1 c2 d3 答案 c 解析 由1a1b0 可得 ba0，从而|a|b|，均不正确；ab0，则 abb3，正

4、确 故不正确的不等式的个数为 2. 二、利用性质比较大小 例 2 若 p a6 a7，q a5 a8(a5)，则 p，q的大小关系为( ) apq d不能确定 答案 c 解析 p22a132 (a6)(a7)， q22a132 (a5)(a8)， 因为(a6)(a7)(a5)(a8)a213a42(a213a40)20， 所以 (a6)(a7) (a5)(a8)， 所以 p2q2，所以 pq. 反思感悟 比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a0，b0，且ab1ab； a0，b0，且ab1ab2且 a0，b0ab 应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中

5、有根号 步骤 作商 变形 判断商值与 1 的大小 下结论 乘方 用作差比较法或作商比较法 4 / 10 跟踪训练 2 下列命题中一定正确的是( ) a若 ab，且1a1b，则 a0，bb，b0，则ab1 c若 ab，且 acbd，则 cd d若 ab，且 acbd，则 cd 答案 a 解析 对于 a，1a1b，baab0， 又 ab，ba0，ab0，b0，b0时，有ab23，但 1(2)3，但13，故 d错 三、利用不等式的性质求范围 例 3 已知 12a60,15b36.求 ab 和ab的取值范围 解 15b36，36b15， 1236ab6015，即24ab45. 又1361b115，12

6、36ab6015，即13ab4. 故24ab45，13ab4. 延伸探究 已知 1ab2且 2ab4，求 4a2b的取值范围 解 令 ab，ab，则 24,12. 由 ab，ab，解得 a2，b2， 4a2b4222223. 而 24,336，则 5310， 5 / 10 54a2b10. 反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性 跟踪训练 3 已知 0ab2，1ba1，则 2ab的取值范围是_ 答案 322ab52 解析 因为 0ab2，1ab1， 且 2ab12(ab)32(ab)， 结合不等式的性质

7、可得， 322ab0，bbba babab cabba dabab 答案 c 解析 由 ab0知，ab，ab0. 又 b0，abba. 2已知 a，b，cr，则下列命题正确的是( ) aabac2bc2 b.acbcab c. abab1b d. ab0ab1a1b 答案 c 解析 当 c0 时，a 不成立；当 c0 时，b 不成立；当 abbaab1b，c成立同理可证 d 不成立 3若 ab0，cdbc b.adbd d.acbd 答案 b 解析 因为 cdd0， 6 / 10 即1d1c0. 又 ab0，所以adbc， 从而有adbc，则下列不等式成立的是( ) a.1ac1bc b.1a

8、cbc dacbc，acbc0，1ac1bc， 故选 b. 5若 ， 满足1212，则 的取值范围是_ 答案 10 解析 1212， 1212， 11. 又 ，0，10. 1知识清单： (1)等式的性质 (2)不等式的性质及其应用 2方法归纳：作商比较法，乘方比较法 3常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 1如果 a0，那么下列不等式中正确的是( ) a.1a1b b. a b ca2|b| 答案 a 7 / 10 解析 a0，1a0，1ab，则下列不等式一定成立的是( ) aacbc bacbc c.c2ab0 d(ab)c20 答案 d 解析 ab，ab0，(

9、ab)c20，故选 d. 3已知 abc，则1bc1ca的值是( ) a正数 b负数 c非正数 d非负数 答案 a 解析 1bc1cacabc(bc)(ca)ba(bc)(ca)， abc，bc0，ca0，ba0，故选 a. 4若 x1y，下列不等式不一定成立的是( ) axy1y bx1y1 cx11y d1xyx 答案 c 解析 利用性质可得 a，b，d 均正确，故选 c. 5已知 a0，babab2 b.ab2aba c.abaab2 d.abab2a 答案 d 解析 a0，b0，b21， 01b2ab2a1， abab2a. 6不等式 ab 和1a1b同时成立的条件是_ 答案 a0b

10、8 / 10 解析 若 a，b 同号，则 ab1abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确命题的序号是_ 答案 解析 当 c20 时不成立；一定成立； 当 ab 时，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)ab2234b20成立； 当 b3，但 22bc0，x a2(bc)2，y b2(ca)2，zc2(ab)2，则 x，y，z 的大小顺序是_ 答案 zyx 解析 abc0， y2x2b2(ca)2a2(bc)22ac2bc 2c(ab)0， y2x2，即 yx. 同理可得 zy，故 zyx. 9判断下列各命题的真假，并说明理由 (1)若 ab，c0，则cac

11、b； (2)ac3b； (3)若 ab，且 kn*，则 akbk； (4)若 ab，bc，则 abbc. 解 (1)假命题a0， 1a1b不一定成立， 推不出ca0时，c30，则 ab，bc 这两个条件，但是 ab2bc3，是假命题 10若1ab3,2ab4，求 2a3b 的取值范围 9 / 10 解 设 2a3bx(ab)y(ab)， 则 xy2，xy3，解得 x52，y12. 因为5252(ab)152，212(ab)1， 所以9252(ab)12(ab)132， 所以922a3bbc，则 ab b若 a2b2，则 ab c若1a1b，则 ab d若 a b，则 ab 答案 d 解析 对于

12、 a，若 c0，其不成立；对于 b，若 a，b均小于 0或 a0，b0，平方后显然有 ayz，xyz0，则下列不等式中一定成立的是( ) axyyz bxzyz cxyxz dx|y|z|y| 答案 c 解析 因为 xyz，xyz0， 所以 3xxyz0,3z0，z0，yz，可得 xyxz. 13若 a，b，cr，ab，则下列不等式成立的是( ) a.1ab2 c.ac21bc21 da|c|b|c| 答案 c 解析 对于 a，若 a0b，则1a0，1b1b，a 不成立； 10 / 10 对于 b，若 a1，b2，则 a2b， ac21bc21恒成立，c 成立； 对于 d，当 c0时，a|c|b|c|，d不成立 14有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a，b，c，d，已知 abcd，adbc，acbac bbcda cdbca dcadb 答案 a 解析 abcd，adbc， ad(ab)bc(cd)，即 ac.bd. 又 acb，abac. 15若