高中数学必修一4.2　简单幂函数的图象和性质

1、1 / 4 4.2 简单幂函数的图象和性质 课后训练巩固提升 一、a组 1.下列说法正确的为( ) 幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); 幂函数的图象不可能在第四象限; n=0时,函数 y=xn的图象是一条直线; 幂函数 y=xn当 n0 时,是增函数; 幂函数 y=xn当 n0,函数图象过原点且函数为增函数,又531,故选 b. 答案:b 4.函数 f(x)=(x2-2x)-12的定义域是( ) a.x|x0,或 x2 b.(0,2) c.(-,02,+) d.(-,0)(2,+) 解析:由 x2-2x0,可得 x2,故选 d. 答案:d 5.如图所示,曲线 c1与 c2分别是函数

2、 y=xm和 y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( ) a.nm0 b.mnm0 d.mn0 解析:由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故 m0,n2n,则 mn. 答案:a 6.已知点(,12)在幂函数 f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数 f(x)是( ) 2 / 4 a.奇函数 b.偶函数 c.定义域内的减函数 d.定义域内的增函数 解析:f(x)=(a-1)xb是幂函数, a-1=1,得 a=2. 点(,12)在幂函数 f(x)=(a-1)xb的图象上, 即点(2,12)在幂函数 f(x)=xb的图象上, f(2)=2b=12,得 b=-1, f(x)=x-1=

3、1. 故函数 f(x)是奇函数,在定义域内不是单调函数. 答案:a 7.如果幂函数 y=(m2-3m+3)2-2的图象不过原点,则 m的值是 . 解析:由题意知,m2-3m+3=1,即 m2-3m+2=0,得 m=1或 m=2.经检验 m=1或 m=2均符合题意,即 m=1或 m=2. 答案:1或 2 8.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为 y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 . 解析:由题可知加密密钥 y=x( 是常数)是一个幂函数模型

4、,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出 的值.由题意得 2=4,解得 =12,则 y=12.由12=3,得 x=9. 答案:9 9.已知函数 f(x)=2-xm,且 f(4)=-72. (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(0,+)上的单调性,并给予证明. 解:(1)f(4)=-72, 24-4m=-72,解得 m=1. (2)由(1)知,f(x)=2-x,其在区间(0,+)上单调递减. 证明如下: 任取 0 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=(21-1) (22-2)=(x2-x1)(212+ 1). 0 x10,212+10. f(x1)-f(x2)0,f(x1)f

5、(x2). 函数 f(x)=2-x 在区间(0,+)上单调递减. 二、b 组 1.已知 f(x)=12,若 0ab1,则下列各式正确的是 ( ) a.f(a)f(b)f(1)f(1) b.f(1)f(1)f(b)f(a) c.f(a)f(b)f(1)f(1) d.f(1)f(a)f(1)f(b) 解析:因为函数 f(x)=12在区间(0,+)上是增函数,又 0ab11,所以 f(a)f(b)f(1)f(1). 答案:c 2.幂函数 y=x中 的取值集合 c是-1,0,12,1,2,3的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合 c 为( ) 3 / 4 a.-1,0,12 b.12,1,2 c.

6、-1,12,1,3 d.12,1,2,3 解析:根据幂函数 y=x-1,y=x0,y=12,y=x,y=x2,y=x3的图象和解析式可知,当 =-1,12,1,3时,相应幂函数的值域与定义域相同. 答案:c 3.若函数 f(x)是幂函数,且满足(4)(2)=14,则 f(12)的值为( ) a.-4 b.-13 c.4 d.13 解析:设 f(x)=x( 为常数). (4)(2)=14,42=14,得 =-2. f(x)=x-2.于是 f(12) = (12)-2=4. 答案:c 4.对于幂函数 f(x)=45,若 0 x1(1)+(2)2 b.f(1+22) (1)+(2)2 c.f(1+2

7、2) =(1)+(2)2 d.无法确定 解析:幂函数 f(x)=45在区间(0,+)上单调递增,其大致图象如图所示. 设点 a(x1,0),c(x2,0),其中 0 x112(|ab|+|cd|), f(1+22) (1)+(2)2,故选 a. 答案:a 5.已知幂函数 f(x)=x的部分对应值如下表: x 1 12 f(x) 1 22 则函数 f(x)的单调递增区间是 . 解析:因为 f(12) =22, 所以(12)=22, 得 =12, 所以 f(x)=12,它的单调递增区间是0,+). 答案:0,+) 6.设幂函数 f(x)=kxa的图象过点(13,81),则 k+a= . 解析:因为函数 f(x)=kxa为幂函数, 4 / 4 所以 k=1,又其图象过点(13,81), 所以(13)=81, 解得 a=-4,所以 k+a=1-4=-3. 答案:-3 7.已知幂函数 f(x)=(m3-m+1)12(1-8-2)的图象与 x 轴和 y轴都无交点. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x+1)f(x-2). 解:(1)由 f(x)是幂函数,得 m3-m+1=1,解得 m=0 或 m=1. 又 f(x)的图象与 x 轴和 y 轴都无交点,所以 m=1,此时 f(x)=x-4. (2)由(1)知,f(x)=x-4. f