高中数学必修一4-5VIP

1、1 / 3 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 * 5 信息技术支持的函数研究 课后训练巩固提升 1.已知 m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( ) a.mnp b.mpn c.pmn d.pnm 解析:0m1,p0,pmn. 答案:c 2.下面关于函数 f(x)=log12x,g(x)=(12)与 h(x)=-12在区间(0,+)上的递减情况说法正确的是( ) a.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢 b.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快 c.f(x)递减

2、速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢 d.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快 解析:观察函数 f(x)=log12x,g(x)=(12)与 h(x)=-12在区间(0,+)上的图象(如图)可知: 函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数 g(x)的图象在区间(0,+)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数 h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢. 答案:c 3.已知 y1=2x,y2=x

3、2,y3=log2x,则当 2xy2y3 b.y2y1y3 c.y1y3y2 d.y2y3y1 解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为 y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2y1y3. 答案:b 4.有一组实验数据如下表所示: x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是( ) a.y=2x+1-1 b.y=x2-1 c.y=2log2x d.y=x3 解析:根据实验数据第一组(2.01,3),选项 a,c,d 显然不满足,故本题正确

4、答案为 b. 答案:b 5.设 x(0,1),函数 y=xp(pr)的图象在直线 y=x的上方,则实数 p 的取值范围是( ) a.p0 b.0p1 c.p1 解析:x(0,1)时,函数 y=xp(pr)的图象在直线 y=x的上方, xpx,且 x(0,1),p22% b.x22% 2 / 3 c.x=22% d.x 的大小由第一年的产量确定 解析:设第一年的产量为 a,则第三年的产量为(1+44%)a=1.44a,所以 a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,得 x=0.2(负值舍去),即 x22%. 答案:b 7.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,

5、水的高度随着时间的变化而变化,如图请选择与容器相匹配的图象,a 对应 ,b对应 ,c 对应 ,d 对应 . 解析:a 容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;b 容器为球形,水高度变化为快慢快,应与(1)对应;c,d容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但 c 容器细,d 容器粗,故水高度的变化为:c 容器快,与(3)对应,d 容器慢,与(2)对应. 答案:(4) (1) (3) (2) 8.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因.根据中华人民共和国道路交通安全法规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/ml.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到

6、3 mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每时 50%的速度减少,则至少经过 他才可以驾驶机动车.(精确到 1 h) 解析:设 nh后他才可以驾驶机动车,由题意得 3(1-0.5)n0.2,即 2n15,nlog215,故至少经过 4h 他才可以驾驶机动车. 答案:4 h 9.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为 50元,其成本为 25元,在生产过程中,平均每生产一件产品有 0.5 m3污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案进行污水处理,并准备实施. 方案 1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理 1 m3污水所耗原料费为 2元,并且每月排污设备损耗费为 30 000元; 方案 2:工

7、厂污水排到污水厂统一处理,每处理 1 m3需付 14 元的排污费. (1)若工厂每月生产 3 000件产品,在既不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪种处理污水的方案,请通过计算加以说明. (2)若工厂每月生产 6 000件产品,又该如何决策呢? 解:设工厂每月生产 x件产品,依方案 1 的利润为 y1,依方案 2 的利润为 y2, 则 y1=(50-25)x-2 0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14 0.5x=18x. (1)当 x=3000时,y1=42000,y2=54000. 因为 y1y2,故应选择方案 1处理污水. 10.函数 f(x)=1.1x

8、,g(x)=lnx+1,h(x)=12的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以 1,a,b,c,d,e 为分界点). 3 / 3 解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 c1对应的函数是 f(x)=1.1x,曲线 c2对应的函数是 h(x)=12,曲线 c3对应的函数是 g(x)=lnx+1. 由题图知,当 xh(x)g(x); 当 1xg(x)h(x); 当 exf(x)h(x); 当 axh(x)f(x); 当 bxg(x)f(x); 当 cxf(x)g(x); 当 xd时,f(x)h(x)g(x). 11.某种高档奢侈品定价为 60 万元/件,不加收消费税时,每月大约销售 80 件.若政府征收消费税,每销售 100 万元要征收消费税 p 万元,此时每月销售量减少203p件. (1)将政府每月对该商品征收的总税金 y万元表示为 p 的函数,并求出这个函数的定义域. (2)若政府在此项经营中每月收取的税金不少于 128万元,问税率 p%应该怎样确定. (3)在政府每月可征收的税金不少于 128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,应如何确定 p的值? 解:(1)由题意知,商品每月销售量为(80-203)件时,y=60(80-203)p%. 因为 80-203p0,p0,所以 0p12. 所以该函数的定义域为(0,12).