选择性必修第一册第二章 2.3.3 点到直线的距离公式~2.3.4 两条平行直线间的距离

1、1 / 11 23.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 23.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 学习目标 1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离 知识点 点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点 p(x0，y0)到直线 l：axbyc0的距离 d|ax0by0c|a2b2 两条平行直线 l1：axbyc10与l2：axbyc20之间的距离 d|c1c2|a2b2 思考 1 点 p (x0

2、，y0)到直线 xa 和直线 yb 的距离怎样计算？ 答案 p(x0，y0)到 xa的距离 d|ax0|； p(x0，y0)到 yb 的距离 d|by0|. 思考 2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？ 答案 可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程 1当点 p(x0，y0)在直线 l：axbyc0 上时，点到直线的距离公式不适用了( ) 2点 p(x0，y0)到直线 ykxb的距离为|kx0b|1k2.( ) 3直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离( ) 4两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离( ) 2

3、 / 11 一、点到直线的距离 例 1 (1)求点 p(2，3)到下列直线的距离 y43x13；3y4. 解 y43x13可化为 4x3y10， 则点 p(2，3)到该直线的距离为 |423(3)1|42(3)2185. 3y4可化为 3y40， 则点 p(2，3)到该直线的距离为|334|0232133. (2)求垂直于直线 x3y50且与点 p(1,0)的距离是3 105的直线 l的方程 解 设与直线 x3y50 垂直的直线的方程为 3xym0，则由点到直线的距离公式知， d|3(1)0m|32(1)2|m3|103 105. 所以|m3|6，即 m3 6. 得 m9 或 m3， 故所求直

4、线 l的方程为 3xy90 或 3xy30. 反思感悟 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可 (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 xa 或 yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d|x0a|或 d|y0b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可 跟踪训练 1 (1)点 p(1,2)到直线 2xy100 的距离为_ 答案 2 5 (2)已知坐标平面内两点 a(3,2)和 b(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则实数 m的值为_ 答

5、案 6 或12 3 / 11 解析 由|3m23|m21|m43|m21， 得|3m5|m7|，m6或 m12. 二、两平行线间的距离 例 2 (1)求两条平行直线 3x4y120与 mx8y60之间的距离； (2)求到直线 3x4y10的距离为 3，且与此直线平行的直线的方程 解 (1)由两直线平行得3m48， m6. 直线 6x8y60 即为 3x4y30. 两平行直线间的距离 d|312|32421553. (2)设所求直线方程为 3x4ym0， 由两平行线间的距离公式得 |m1|32(4)23， 解得 m16或 m14. 故所求的直线方程为 3x4y160或 3x4y140. 延伸探究

6、 把本例(2)改为“直线 l 与直线 3x4y10 平行且点 p(2,3)到直线 l 的距离为3，求直线 l的方程” 解 由直线 l平行于直线 3x4y10，可设 l的方程为 3x4yc0， 又点 p到 l的距离为 3，所以|3243c|32(4)23. 解得 c21 或 c9， 所以，所求直线方程为 3x4y210或 3x4y90. 反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求 (2)公式法：设直线 l1：axbyc10，l2：axbyc20，则两条平行直线间的距离 d|c1c2|a2b2. 跟踪训

7、练 2 (1)已知直线 5x12y30 与直线 10 xmy200 平行，则它们之间的距离是( ) 4 / 11 a1 b2 c.12 d4 答案 a 解析 由两条直线平行可得51012m，解得 m24.即 5x12y100， 由两条平行线间的距离公式得 d|310|521221. (2)已知直线 l1，l2是分别经过 a(1,1)，b(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_ 答案 x2y30 解析 当两条平行直线与 a，b 两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大 因为 a(1,1)，b(0，1) 所以 kab11012， 所以两条平行直线的斜率为1

8、2， 所以直线 l1的方程为 y112(x1)， 即 x2y30. 三、距离的综合应用 例 3 两条互相平行的直线分别过点 a(6,2)和 b(3，1)，并且各自绕着 a，b 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.求： (1)d 的变化范围； (2)当 d取最大值时，两条直线的方程 解 (1)如图，显然有 0d|ab|. 而|ab| (63)2(21)23 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10 (2)由图可知，当 d 取最大值时，两直线与 ab垂直 而 kab2(1)6(3)13， 所以所求直线的斜率为3. 故所求的直线方程分别为 5 / 11 y23(x6)和 y13(x3)，

9、即 3xy200 和 3xy100. 反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决 (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围 跟踪训练 3 已知abc的顶点坐标为 a(1,1)，b(m， m)，c(4,2)，1m4.当 m为何值时，abc 的面积 s 最大？ 解 |ac| (41)2(21)2 10， 直线 ac 的方程为y121x141， 即 x3y20. 因为点 b(m， m)到直线 ac的距离 d|m3 m2|

10、12(3)2， 所以abc 的面积 s12|ac| d12|m3 m2| 12m32214. 因为 1m4，所以 1 m2， 所以 0m3221414，00)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) a. 2 b. 21 c. 21 d2 2 答案 b 解析 由点到直线的距离公式，得 1|a23|11， 即|a1| 2.因为 a0，所以 a 21，故选 b. 4已知直线 3xmy30 与 6x4y10 互相平行，则它们之间的距离是( ) a4 b.2 1313 c.5 1326 d.7 1326 答案 d 解析 3xmy30 与 6x4y10平行， 36m4，m2， 化 6x4y

11、10 为 3x2y120， d12(3)322272137 1326. 5(多选)已知 a(2，4)，b(1,5)两点到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值可能为( ) a3 b3 c2 d1 8 / 11 答案 ab 解析 由题意得|2a41|a21|a51|a21，解得 a3或 a3. 6若点(2，k)到直线 5x12y60 的距离是 4，则 k 的值是_ 答案 3 或173 解析 |5212k6|521224， |1612k|52，k3 或 k173. 7已知点 p 在直线 3xy50 上，且点 p 到直线 xy10 的距离为 2，则点 p 的坐标为_ 答案 (1,2)或(

12、2，1) 解析 设点 p 的坐标为(a，53a)，由题意得|a(53a)1|12(1)2 2，解得 a1 或 2， 所以点 p 的坐标为(1,2)或(2，1) 8经过点 p(3,4)，且与原点的距离等于 3的直线 l的方程为_ 答案 x3或 7x24y750 解析 (1)当直线 l的斜率不存在时，原点到直线 l：x3 的距离等于 3，满足题意； (2)当直线 l的斜率存在时， 设直线 l的方程为 y4k(x3)， 即 kxy3k40. 原点到直线 l的距离 d|3k4|k2(1)23， 解得 k724. 直线 l的方程为 7x24y750. 综上可知，直线 l的方程为 x3或 7x24y750

13、. 9求过点 p(0,2)且与点 a(1,1)，b(3,1)等距离的直线 l的方程 解 方法一 点 a(1,1)与 b(3,1)到 y轴的距离不相等， 直线 l的斜率存在，设为 k. 又直线 l在 y 轴上的截距为 2，则直线 l的方程为 ykx2，即 kxy20. 由点 a(1,1)与 b(3,1)到直线 l的距离相等， 得|k12|k21|3k12|k21， 解得 k0或 k1. 9 / 11 直线 l的方程是 y2或 xy20. 方法二 当直线 l过线段 ab 的中点时，直线 l与点 a，b的距离相等 ab 的中点是(1,1)，又直线 l过点 p(0,2)， 直线 l的方程是 xy20；

14、 当直线 lab时，直线 l与点 a，b 的距离相等 直线 ab的斜率为 0，直线 l的斜率为 0， 直线 l的方程为 y2. 综上所述，满足条件的直线 l的方程是 xy20或 y2. 10已知正方形的中心为直线 xy10 和 2xy20 的交点，正方形一边所在直线方程为 x3y20，求其他三边所在直线的方程 解 因为由 xy10，2xy20，解得 x1，y0， 所以中心坐标为(1,0) 所以中心到已知边的距离为|12|1232310. 设正方形相邻两边方程为 x3ym0和 3xyn0. 因为正方形中心到各边距离相等， 所以|1m|10310和|3n|10310. 所以 m4或 m2(舍去)，

15、n6 或 n0. 所以其他三边所在直线的方程为 x3y40,3xy0,3xy60. 11直线 l过点 a(3,4)且与点 b(3,2)的距离最远，那么 l的方程为( ) a3xy130 b3xy130 c3xy130 d3xy130 答案 c 解析 由已知可知，l 是过 a 且与 ab垂直的直线， kab243313，kl3， 由点斜式得，y43(x3)，即 3xy130. 12过两直线 xy10和 xy10的交点，并与原点的距离等于 1 的直线共有( ) a0 条 b1 条 c2条 d3 条 答案 b 10 / 11 解析 联立 xy10，xy10，得 x0，y1. 两直线交点坐标为(0,1

16、)， 由交点到原点的距离为 1可知，只有 1条直线符合条件 13已知直线 l 与直线 l1：2xy30 和 l2：2xy10 的距离相等，则 l 的方程是_ 答案 2xy10 解析 方法一 由题意可设 l的方程为 2xyc0，于是有|c3|22(1)2|c(1)|22(1)2， 即|c3|c1|，解得 c1，则直线 l的方程为 2xy10. 方法二 由题意知 l必介于 l1与 l2中间，故设 l的方程为 2xyc0，则 c3(1)21. 则直线 l的方程为 2xy10. 14已知 xy30，则 (x2)2(y1)2的最小值为_ 答案 2 解析 设 p(x，y)，a(2，1)， 则点 p在直线

17、xy30上， 且 (x2)2(y1)2|pa|. |pa|的最小值为点 a(2，1)到直线 xy30的距离 d|2(1)3|1212 2. 15已知入射光线在直线 l1：2xy3 上，经过 x 轴反射到直线 l2上，再经过 y 轴反射到直线 l3上若点 p 是直线 l1上某一点，则点 p 到直线 l3的距离为( ) a6 b3 c.6 55 d.9 510 答案 c 解析 如图所示， 结合图形可知，直线 l1l3，则直线 l1上一点 p到直线 l3的距离即为 l1与 l3之间的距离 由题意知 l1与 l2关于 x轴对称，故 l2的方程为 y2x3，l2与 l3关于 y 轴对称， 故 l3的方程为 y2x3. 11 / 11 由两平行线间的距离公式，得 l1与 l3间的距离 d|3(3)|12226 55， 即点 p到直线 l3的距离为6 55. 16已知直线 l：x2y80和两点 a(2,0)，b(2，4) (1)在直线 l上求一点 p，使|pa|pb|最小； (2)在直线 l上求一点 p，使|pb|pa|最大 解 (1)设 a 关于直线 l的对称点为 a(m，n)， 则 n0m22，m222n0280，解得 m2，n8， 故 a(2,8) 因为 p为直线