选择性必修第一册第三章 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

1、1 / 15 第第 2 课时课时 椭圆的标准方程及性质的应用椭圆的标准方程及性质的应用 学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系 知识点 直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系的判断方法：联立 ykxm，x2a2y2b21. 消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 的取值的关系如表所示 直线与椭圆 解的个数 的取值 两个不同的公共点 两解 0 一个公共点 一解 0 没有公共点 无解 0 1直线 yx1 与椭圆 x2y221 的位置关

2、系是( ) a相离 b相切 c相交 d无法确定 答案 c 解析 联立 yx1，x2y221，消去 y，得 3x22x10， 因为 2212160，所以直线与椭圆相交 2直线 yx1 被椭圆x24y221所截得的弦的中点坐标是( ) a.23，53 b.43，73 c.23，13 d.132，172 答案 c 解析 联立 yx1，x24y221，消去 y，得 3x24x20， 2 / 15 设直线与椭圆交于点 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 x1x243， 故 ab的中点横坐标 x0 x1x2223. 纵坐标 y0 x0123113. 3椭圆x24y21 的两个焦点为 f1，f2，过

3、f1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 p，则|pf2|_. 答案 72 解析 因为|pf1|pf2|4，|pf1|b2a12， 所以|pf2|41272. 4过椭圆x216y291 的右焦点 f 作与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 a，b 两点，则以 ab 为直径的圆的面积是_ 答案 8116 解析 由题意，在x216y291中，c 169 7， 故 f( 7，0) 当 x 7时，y 3171694，所以|ab|92， 故以 ab 为直径的圆的面积是 9428116. 一、实际生活中的椭圆 例 1 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航

4、天器.2019年 9 月 25 日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊自然 通讯在线发表如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 p 变轨进入以月球球心 f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 p点第二次变轨进入仍以 f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，则下列式子正确的是( ) 3 / 15 aa1c1a2c2 b .a1c1a2c2 c.c1a1c2a2 答案 bd 解析 由图可知，a1a2，c1c2所

5、以 a1c1a2c2，所以 a不正确； 在椭圆轨道中可得，a1c1|pf|， 在椭圆轨道中可得，|pf|a2c2， 所以 a1c1a2c2，所以 b 正确； a1c2a2c1，两边同时平方得，a21c222a1c2a22c212a2c1， 所以 a21c212a1c2a22c222a2c1， 即 b212a1c2b222a2c1，由图可得，b21b22， 所以 2a1c22a2c1，c2a20，得3 2m3 2. 于是，当3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l与椭圆 c有两个不同的公共点 (2)由 0，得 m 3 2. 也就是当 m 3 2时，方程

6、有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 c 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点 (3)由 0，得 m3 2. 从而当 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l与椭圆 c 没有公共点 反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用 跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xoy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 l与椭圆x22y21有两个不同的交点 p和 q，求 k 的取值范围 5 / 15 解

7、由已知条件知直线 l的方程为 ykx 2， 代入椭圆方程得x22(kx 2)21， 整理得12k2x22 2kx10， 直线 l与椭圆有两个不同的交点 p 和 q等价于 8k2412k24k220， 解得 k22或 k22， 所以 k 的取值范围为，2222， . 命题角度 2 弦长问题 例 3 已知动点 p与平面上两定点 a( 2，0)，b( 2，0)连线的斜率的积为定值12. (1)试求动点 p的轨迹方程 c； (2)设直线 l：ykx1 与(1)中曲线 c交于 m，n两点，当|mn|4 23时，求直线 l的方程 解 (1)设动点 p 的坐标是(x，y)， 由题意得 kpa kpb12.

8、yx 2yx 212，化简整理得x22y21. 故点 p的轨迹方程 c 是x22y21(x 2) (2)设直线 l与曲线 c的交点为 m(x1，y1)，n(x2，y2)， 由 ykx1，x22y22，得(12k2)x24kx0. 16k20， x1x24k12k2，x1x20. |mn| 1k2 (x1x2)24x1x24 23， 整理得 k4k220，解得 k21 或 k22(舍) k 1，经检验符合题意 直线 l的方程是 y x1， 即 xy10或 xy10. 反思感悟 求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长 6 / 15 (2)联立直线与椭圆的方程，消

9、元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|p1p2|1k2 (x1x2)24x1x2或|p1p2|11k2(y1y2)24y1y2，其中 x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长 跟踪训练 3 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x24y21 的右焦点 f，交椭圆于 a，b 两点，求弦 ab的长 解 设 a，b 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由椭圆方程知 a24，b21，c a2b2 3， f( 3，0)，直线 l 的方程为 yx 3， 将其代入椭圆方程，并化简、整理得 5x28 3x80， x1x

10、28 35，x1x285， |ab| 1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2 2(8 3)2458585. 1过椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点 f(c，0)的弦中最短弦长是( ) a.2b2a b.2a2b c.2c2a d.2c2b 答案 a 解析 最短弦是过焦点 f(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦 将点(c，y)的坐标代入椭圆x2a2y2b21，得 yb2a， 故最短弦长是2b2a. 2已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是( ) a相离 b相切 c相交 d相交或相切 答案 a 7 / 15 解析 把 xy30 代入x24y21， 得x

11、24(3x)21，即 5x224x320. (24)24532640, 直线与椭圆相离 3已知 f 是椭圆x225y291 的一个焦点，ab 为过椭圆中心的一条弦，则abf 面积的最大值为( ) a6 b15 c20 d12 答案 d 解析 s12|of| |y1y2|12|of| 2b12. 4(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 f 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 a(离地面最近的点)距地面 m 千米，远地点 b(离地面最远的点)距地面 n 千米，并且 f，a，b 三点在同一直线上，地球半径约为 r 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a，2b，2c，则(

12、 ) aacmr bacnr c2amn db (mr)(nr) 答案 abd 解析 地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 macr，nacr， (*) acmr ，故 a 正确； acnr，故 b 正确； (*)中两式相加 mn2a2r，可得 2amn2r，故 c 不正确； 由(*)可得 mrac，nrac，两式相乘可得(mr)(nr)a2c2. a2c2b2 ， b2(mr)(nr)b (mr)(nr) ，故 d正确 5已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm，当直线与椭圆有公共点时，则实数 m 的取值范围是_ 8 / 15 答案 52，52 解析 由 4x2y21，yxm，得 5

13、x22mxm210， 当直线与椭圆有公共点时，4m245(m21)0， 即4m250，解得52m52. 1知识清单： (1)直线与椭圆的位置关系 (2)弦长公式 2方法归纳：判别式法 3常见误区：代数计算中的运算失误 1直线 yx1 与椭圆x25y241的位置关系是( ) a相交 b相切 c相离 d无法判断 答案 a 解析 方法一 直线过点(0,1)，而 0140，所以直线与椭圆相交 2(多选)若直线 ykx2与椭圆x23y221相切，则斜率 k的值是( ) a.63 b63 c33 d.33 答案 ab 解析 由 ykx2，x23y221， 9 / 15 得(3k22)x212kx60， 由

14、题意知 144k224(3k22)0， 解得 k63. 3直线 xy10 被椭圆x23y21所截得的弦长|ab|等于( ) a.3 22 b. 2 c2 2 d3 2 答案 a 解析 由 xy10，x23y21，得交点为(0,1)，32，12，则|ab|32211223 22. 4若直线 ykx1 与椭圆x25y2m1总有公共点，则 m的取值范围是( ) am1 bm0 c0m5且 m1 dm1且 m5 答案 d 解析 方法一 由于直线 ykx1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00且 m5，m1 且 m5. 5已知椭圆 c：y29x21，过点 p12，12的直线与

15、椭圆 c相交于 a，b 两点，且弦 ab 被点p 平分，则直线 ab 的方程为( ) a9xy40 b9xy50 c4x2y30 d4x2y10 答案 b 解析 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)因为点 a，b在椭圆上， 10 / 15 所以y219x211， y229x221. ，得(y1y2)(y1y2)9(x1x2)(x1x2)0. 因为 p12，12是线段 ab 的中点， 所以 x1x21，y1y21， 代入得y1y2x1x29，即直线 ab 的斜率为9. 故直线 ab的方程为 y129x12， 整理得 9xy50. 6已知以 f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x

16、3y40 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_ 答案 2 7 解析 由题意可设椭圆的方程为x2a2y2a241(a2)， 与直线方程 x 3y40联立， 得 4(a23)y28 3(a24)y(16a2)(a24)0， 由 0，得 a 7， 所以椭圆的长轴长为 2 7. 7过椭圆x25y241 的右焦点 f 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 a，b 两点，o 为坐标原点，则oab的面积为_ 答案 53 解析 由已知可得直线方程为 y2x2，|of|1， 联立方程得 x25y241，y2x2，解得 a(0，2)，b53，43， 所以 saob12 |of| |yayb|53. 8已知椭圆的方

17、程为x24y231 的左、右焦点分别为 f1，f2，经过点 f1的一条直线与椭圆交于 a，b两点若直线 ab 的倾斜角为4，则弦长|ab|为_ 11 / 15 答案 247 解析 易知 f1(1,0)，直线 ab 的倾斜角为4， 直线 ab的斜率为 1，可得直线 ab的方程为 yx1.联立 yx1，x24y231， 整理得 7x28x80， 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 由根与系数的关系可知 x1x287，x1 x287， 则由弦长公式得|ab| 1k2 (x1x2)24x1x2 2872487247. 9对不同的实数值 m，讨论直线 yxm与椭圆x24y21的位置关系 解 由 y

18、xm，x24y21消去 y， 得x24(xm)21， 整理得 5x28mx4m240. (8m)245(4m24)16(5m2) 当 0，即 5m 5时，此时直线与椭圆相交； 当 0，即 m 5时，此时直线与椭圆相切； 当 0，即 m 5或 m 5时，直线与椭圆相离 10.某海域有 a，b 两个岛屿，b 岛在 a 岛正东 4 海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 c，曾有渔船在距 a 岛、b 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群以 a，b 所在直线为 x轴，ab 的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系 (1)求曲线 c 的标准方程； (2)某日，研究人员在 a，b 两岛同时用声纳探

19、测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，a，b 两岛收到鱼群在 p 处反射信号的时间比为 53，问你能否确定 p 处的位置(即点p 的坐标)? 解 (1)由题意知曲线 c是以 a，b 为焦点且长轴长为 8的椭圆， 12 / 15 又 2c4，则 c2，a4，故 b2 3， 所以曲线 c的方程是x216y2121. (2)由于 a，b两岛收到鱼群发射信号的时间比为 53， 设此时距 a，b 两岛的距离比为 53， 即鱼群分别距 a，b两岛的距离为 5海里和 3 海里 设 p(x，y)，b(2,0)，由|pb|3， (x2)2y23， (x2)2y29，x216y2121，4x4， x2，y

20、3， 点 p的坐标为(2,3)或(2，3) 11椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，若直线 ykx与椭圆的一个交点的横坐标 x0b，则 k的值为( ) a.22 b22 c.12 d12 答案 b 解析 根据椭圆的离心率为22，得ca22. 由 x0b，得 y20b21b2a2b2c2a2， 所以 y0bca，ky0 x0ca22. 12以 f1(1,0)，f2(1,0)为焦点且与直线 xy30 有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( ) a.x220y2191 b.x29y281 c.x25y241 d.x23y221 答案 c 解析 由题意设椭圆方程为x2b21y2b21， 13 / 15 x2b21y2b21，xy30， 得(2b21)x26(b21)x8b29b40， 由 0得 b24， 所以 b2的最小值为 4， 由 e1b2b211b21， 则 b24 时，e取最大值，故选 c. 13若点 o 和点 f 分别为椭圆x24