高等数学课件：12-2二重积分的计算(2)

1、二重积分的计算(2) 第十二十二章 第二节二、二、iiiiii 2221)(21iiii)( 2221iiiii 2)(,iii 的的极极坐坐标标形形式式 Ddyxf ),(. 1 =常数常数D =常数常数 = i = i+ i i iAO = i = i+i i对应的对应的取点取点),(ii ),(i xyOi i i )(i i 直角坐标为直角坐标为iiiiii sin,cos iiniif ),(lim10 iiiiiiniif )sin,cos(lim10 ( , )dDf x y dd , 即即( cos ,sin )Df ),(ii d d d d 由极点与积分区域的位置，可分为由

2、极点与积分区域的位置，可分为四种四种情况讨论情况讨论. cos , sin ,xy 把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标， dd d 有有其中其中称为极坐标系下的称为极坐标系下的面积元素面积元素.( , )dDf x y dd , ( cos ,sin )Df 2. 计算法计算法12( )( ):,D d (1) 极点在积分区域之外，积分区域为极点在积分区域之外，积分区域为D的的特点：特点：从极点发出的射线从极点发出的射线 = 0( 0 )与与D的边界至多有两个交点的边界至多有两个交点. d)sin,cos(f)(1 )(2 .)sin,cos(

3、Df dd则则xyO1( ) 2( ) DxyO2( ) D1( ) 0( ), 则则( )0( cos ,sin ) d.f d ( cos ,sin ) ddDf (2) 极点在积分区域边界，积分区域为极点在积分区域边界，积分区域为D:() o D若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积2201( )d .2 dD ( ) oD0( ), 02 ( cos ,sin ) ddDf (3) 极点在积分区域内，积分区域为极点在积分区域内，积分区域为D: df)sin,cos(d200)( (4) 其他情形其他情形如：如：D=D1+D2+D3 Df dd)sin,cos( 1dd)sin,

4、cos(Df 2dd)sin,cos(Df DD3D1D2AO 3dd)sin,cos(Df 变为变为2xy 在极坐标下直线在极坐标下直线 变为变为1 xyxoD例例11(1,1)化二次积分为极坐标形式的二次积分化二次积分为极坐标形式的二次积分:解解, 1cos .sectan 即即2xy yyxfxxd),(d2010 ,)cos(sin2 ,sec 即即sec 原式原式=yxoD1(1,1),40D ：作从极点出发穿过区域的射线，作从极点出发穿过区域的射线，因此因此,secsectan tan sec .d)sin,cos(dsecsectan40 f何时使用极坐标计算二重积分？何时使用极

5、坐标计算二重积分？D),(yxf扇扇形形域域等等等等扇扇形形域域、环环域域、圆圆环环域域、过过原原点点的的圆圆中中心心或或边边界界)(22yxg )(xyg.2,12222xyxyxD ：例例2其中其中函数，函数，1分别是分别是、被积函数中的被积函数中的xxy,dd)1( DyxyxI计算计算的的奇奇函函数数及及偶偶关关于于变变量量 y轴轴是是对对称称的的，关关于于区区域域xD122 yxyxOxyx222 2解解轴轴上上方方的的部部分分，在在为为记记xDD1D1, 0dd Dyxxy因因此此由由对对称称性性知知.dd2dd1 DDyxxyxx从而从而1122 yxyxOxyx222 2D1在

6、极坐标系下，在极坐标系下，122 yx1 xyx222 cos22 cos2 ，由由 cos21.3 得两圆的交点对应的得两圆的交点对应的21cos 11 yxO cos2 2D1， cos21,30:1 D 1dd2DyxxIdcosd2230 .3243 1 cos23例例323 16 4sin224xyy222xyy30 xy 计算计算其中其中D 为由圆为由圆22()dd ,Dxyxy 222 ,xyy224xyy30yx及直线及直线30,xy所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.30yx2sin24解解OxyD22()ddDxyxy 15(3).2 36d 24Oxy sin4 3 6

7、 sin2 d2 sin2 sin4例例4 求球体求球体22224xyza被圆柱面被圆柱面222xyax(0)a 所截得的所截得的画出立体的图形，画出立体的图形，显然立体关于显然立体关于xOy面面和和xOz面对称面对称.解解(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 立体位于第一卦限立体位于第一卦限的部分在的部分在xOy面上面上的投影的投影D为为2244ddDa 204d 2 cos2204daa 332032(1sin)d3a 3322().323a22244d dDVaxyx y 因此因此:02 cos , 0.2Da oxyz2aD 求广义积分求广义积分 0d2xex. 分析分析

8、 RxRxxexe00dlimd220 ,0| ),(RyRxyxS 例例5,d02 RxxeI令令)d()d(00222 RyRxyexeI则则 RRyxxyee00d)d(22 RRyxxyee00d)d(22 RRyxyex00)(dd22yxeSyxdd)(22 yxOSRR解解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 则则 21DSD , 022 yxe 122ddDyxyxe Syxyxedd22.dd222 DyxyxeRRR2S2DyxOS1D又又 SyxyxeIdd22 RyRxyexe00

9、dd22;)d(202 Rxxe 1I 122ddDyxyxe Re00dd22 );1(42Re 同理同理 2I 222ddDyxyxe );1(422Re 当当R时时, ,41 I,42 I故当故当R时时, ,4 I即即 20)d(2xex4 , 所所求求广广义义积积分分 0d2xex2 . ,21III );1(4)d()1(4222220RRxRexee (1) 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : : 若积分区域为若积分区域为 12( , ),( )( ) ,Dx y axb yxyyx则则21( )( )( , )dd( , )d .

10、byxayxDf x yxf x yy 若积分区域为若积分区域为 12( , ),( )( ) ,Dx y cyd xyxxy则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx 21( )( )( , )dd( , )d .dxycxyDf x yyf x yx )(1xyy )(2xyy xybaD内容小结内容小结 12( , ),( )( ) ,D ( , )d( cos ,sin )DDf x yf 则则21( )( )d( cos ,sin ) d.f (2) 一般换元公式一般换元公式( , )( , )xx u vyy u v ( , )x yD ( , ),u vD ( , )0,( , )

11、x yJu v 且且则则( , )d ( , ), ( , )d d .DDf x yf x u vy u vu v J极坐标系情形极坐标系情形: :在变换在变换下下dd o1( ) 2( ) D若积分区域为若积分区域为(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公

12、式思考与练习思考与练习1. 交换积分顺序交换积分顺序arccosa cosa oxa22cos0d( ,)d(0)aIfa 积分域如图积分域如图 0da arccosa arccosa I ( ,)d .f 提示提示).2127(ln4 d)1ln(d2120 在在极极坐坐标标下下可可表表示示为为区区域域 D2 .0,0,41),(22 yxyxyx为为域域其其中中 D,dd)1ln(22yxyxD 计计算算yxo1 解解(,) 12, 0,2 yxyxDDdd)1ln(dd)1ln(22 2.2cos(01),2sin(02).xy 利利用用极极坐坐标标这是一个有曲顶、曲底的柱体，上顶曲面方

13、程为这是一个有曲顶、曲底的柱体，上顶曲面方程为的立体的体积的立体的体积.所所围围成成和和求求由由曲曲面面222238yxzyxz ，两两曲曲面面的的交交下下底底曲曲面面为为223yxz 3.解解,822yxz 2224.xOyxy 线线在在面面上上的的投投影影区区域域为为：可得所求体积为：可得所求体积为：yxyxVDd)38(2222 .28 rrrd)1(22d821020 yxDd)428(22 yxDd)241 (822 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序. axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),( 原式原式 aayaa

14、dxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例1 改变积分改变积分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 原式原式 102112),(yydxyxfdy. 解解积分区域如图积分区域如图22xxy xy 2xy 222xxy 211yx 22xxy 211yx 例例2分析分析 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示 先先改改变变积积分分次次序序. .2183ee 2xy xy yyxyyxydxedydxedyI121212141计算计算 xxxydyedxI2121 1212dxxexyxyxy 121)(dxeexx例例3解解.2121,4141),(22 yyxyyx1