高三数学辅导：椭圆与双曲线的必背的经典结论prt

1、椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆点p处的切线pt平分在点p处的外角.pt平分pf1f2在点p处的外角，则焦点在直线pt上的射影ii点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦pq为巴径的i员i必与对应准线相离.以焦点半径pf】为直径的员必与以长轴为直径的员内切.x2 y2若人（兀0'儿）在椭圆f +=x2 y2若£（习），儿）在椭圆= i外，则过p。作椭圆的两条切线切点为已、p2,则切点弦pr的直线 cr lr方程是点p为椭闘上任意一点zf,pf2 = y ,则椭岡椭圆二+ = 1 （a>b>0）的左右焦点分別为r, f a" h的焦点角形的

2、面积为sfpf、=斥伽彳2 2椭圆电+ £ = 1 (a>b>0)的焦半径公式：cr rmf =a + exqf mf2 =a-ex (/(-c,o) , f2(c,0) a/(x0,y0).设过椭圆焦点f作直线与椭圆相交 q两点，a为椭圆氏轴上一个顶点，连结ap和aq分别交相应于焦点f的椭岡准线于队n两点，则mf丄nf.过椭圆一个焦点f的直线与椭圆交于两点p、q, a】、a2为椭圆长轴上的顶点,aip和a2q交于点m, a2p 和aiq交于点n,则mf丄nf.22j 2ab是椭圆一 + yv = 1的不平彳丁于对称轴的弦，m （j;。, j。）为ab的中点，则k0m k

3、，ab = ， 即k厂-学。q'o2 2 2 2 若人（兀0,儿）在椭圆t + = = 1内，则被po所平分的中点眩的方程是-'（' = +aacr lr2222若人（x。,儿）在椭圆二+ = 1内，则过p。的弦中点的轨迹方程是二+=辱+卑.cr ba" h"a" h双曲线1. 点p处的切线pt平分pfe在点p处的内角.2. pt平分pff?在点p处的内角，则焦点在直线pt上的射影h点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点.3. 以焦点弦pq为宜径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径pf】为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：

4、p在右支；外切：p在左支）兀 2,25. 若(x0,y0)在双曲线 = 1(a>0,b>0) ±,则过几的双曲线的切线方程是cr lr7帀x2 v26. 若£(兀0，儿)在双曲线- = 1(a>0,b>0)外，则过po作双曲线的两条切线切点为pi、a hp2,贝沏点弦pr的直线方程是辱-単 =1.矿 lrx" y*7. 双曲线- = 1 (a>0, b>o)的左右焦点分别为fuf.,点p为双曲线上任意一点zfpf° = y ,cr zr则双曲线的焦点角形的面积为s眄 =xco t彳.x2 y28. 双曲- = 1 (a

5、>0,b>o)的焦半径公式：(fj-c-,0) , &(c,0)a b当m (兀0，0)在右支上时，丨mf =ex0+af i mf2 =exq-a当 m (x0»>?0)在左支上时，imf 1=-隔)+6/, imf? 1=-欣0 - a9. 设过双曲线焦点f作直线与双曲线相交p、q两点,a为双曲线长轴上一个顶点,连结ap和aq分别交相应于焦点f的双曲线准线于1、n两点，则mf丄nf.10. 过双曲线一个焦点f的克线与双曲线交于两点p、q, a., a2为双曲线实轴上的顶点，aip和a?q交于点m, a护和aq交于点n,贝ijmf丄nf.x2 y211.

6、ab是双曲线-v = l (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，m(兀0，儿)为ab的中点，则crk . k 一 “ 心 inj k - ""5ajotry。2 212. 若(x0,y0)在双曲线*一£ = 1 (a>0,b>0)内，则被po所平分的中点眩的方程是ct 少2 2无)兀儿丁 _孔/ b2 a2 b2 '2 213. 若人(观,儿)在双曲线*一=1 ( a > 0, b > 0 )内，则过po的弦中点的轨迹方程是ct 少2 2_y二勺久儿歹7厂卫萨.椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)椭圆2 21.

7、 椭鬪亠+与=1(a>b>o)的两个顶点为人(-。,0), 4,0),与y轴平行的直线交椭岡于p.cr b- x2 y2p2时a1p1与a2p2交点的轨迹方程是一 = 1 cr tr222. 过椭鬪刍+与=1 (a>0, b>0)上任一点au(),y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭岡于b, ccr bb'x两点，贝ij直线bc冇定向fi,kbc = (常数).qo2 2若p为椭圆二+ = 1（a>b>0）上界于长轴端点的任一点,儿，f 2是焦点,pff=a, cr trzpf.f. = 0,则土二£ = tan兰cot©.-1a

8、 + c 22设椭圆刍+乙二1（a>b>0）的两个焦点为f】、f2, p （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 ct b_pf1f2中，记上璋迅二a ,qin ryr"ff2=0,乙f'ffj,则有.一*sin p +sin/ a若椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为fi、f2,左准线为l,则当0vew血一1时,可在椭圆上求一点p,使得pr是p到对应准线距离d与1巴的比例中项.2 2p为椭i员i二+匚=1 （a>b>0）上任一点，fi,f2为二焦点，a为椭圜内一定点，则 a b2a-1 af2 l<l pa + pfi < 2a

9、+ af i,当且仅当a.fp三点共线时，等号成立.椭p1(兀_了)+0_斡)=1与直线ax + by + c = 0冇公共点的充要条件是 crb_a26z2 + b2h2 > (ax0 + by( + c)2.x已知椭圆一r +1 （a>b>0）, 0为坐标原点，p、q为椭圆上两动点，且op丄oq. （1）命+儲r存存丽却耐的最大值为籍;$沁的最小值是烏2 2过椭岡+务=1（a>b>0）的右焦点f作直线交该椭冏右支于m,n两点，弦mn的垂直平分| pf i e线交询于p,则已知椭岡亠+爲=1 （ a>b>0）小、b、是椭岡上的两点，线段ab的垂直平分

10、线与x轴相交2 r 22> 2于点 p（x（）,o）,则 < 兀0 < aa设p点是椭鬪二+ l = 1（ a>b>0）±异于长轴端点的任一点,me为其焦点记zfpf, = & , a b则ipfjip坊1=lb21 + cos 0设a、b是椭圆二+二1cr ba>b>0）的氏轴两端点，p是椭圆上的一点，zpab = a ,zpba = 0, zbpa = y, c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)ipai= 2"cosqi . ct -chos ytan a tan 0 = 1 £2 小 c2a2b2(3)

11、 s t o 2 co" lr - a2 213.已知椭圆兰t +厶 cr kr=1（ a>b>0）的右准线/与x轴相交于点e,过椭圆右焦点f的直线与椭圆相交于a、b两点，点c在右准线/上，且bc丄兀轴，则直线ac经过线段ef的中点.14. 过椭岡焦半径的端点作椭岡的切线，与以长轴为直径的岡札i交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂戏15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭冏焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交

12、点分别称为内、外点）17. 椭岡焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内.外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）双曲线1. 双曲线二v = l （a>0,b>0）的两个顶点为£（a,0）,人（°,0）,与y轴平行的直线交a by2 y2双曲线于pk p2时ar与a2p2交点的轨迹方程是+ = 1.a bx2 v22. 过双曲线- = 1 （a>0,b>o）上任一点4（兀。,儿）任意作两条倾斜角互补的直线交双1111a bh2x线于b,c两点，则直线bc有定向且kbc=-一（常

13、数）.a .vo2 23. 若p为双曲线2-=1（a>0,b>0）右（或左）支上除顶点外的任一点,f“ f2是焦点,ct /tzpf.f, = a , zpf2f. = p, 则 = tancpt （或 = tant）.9设双曲线汩笛11 22 1c + a 22 c + a 22（a>0,b>0）的两个焦点为f】、f2,p （界于长轴端点）为双曲线上任意一点、，在 pfh 中，记 zflpf2 = a , apfxf2 = p , zff2p = / ,则有sin a±(sin/-sin 0)a5. 若双曲线二-l = l(a>0,b>0)的左、

14、右焦点分别为fif,左准线为l,则当l<ev2 + la a时，可在双曲线上求一点p,使得pf：是p到对应准线距离d与pf2的比例中项.2 26. p为双曲线二一罕=1 (a>0,b>0)上任一点,f】,f2为二焦点，a为双曲线内一定点，则cri af21 -2a <ipai + ipi,当且仅当afp三点共线且p和人血在y轴同侧时,等号成立.777. 双曲线=一刍=1 (a>0,b>0)与直线ax + by + c = 0有公共点的充要条件是cr ba2a2 -b2h2 <c2.? ?8. 已知双illi线- = 1 (b>a >0),

15、0为坐标原点，p、q为双illi线上两动点，且op丄o0er b(1)+ (2)|op|2+|oq|2的最小值为 ¥ b (3) saos 的最小值是i op i2 ioq i2 a2 b2b2-a2嘶a2h2229. 过双illi线二-=1 (a>0,b>0)的右焦点f作直线交该双曲线的右支于m,n两点，弦m7a lr的垂直平分线交x轴于p,则丄型 =£.mn 210.77已知双曲线务語1 (a>0,b>0)、b是双曲线上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点p(xo,o),则咕s或y-心逻aa11.x2设p点是双曲线一7ct2斧(a>0

16、,b>。)上异于实轴端点的任-点,f"为其焦点记2h2zfw"，则悴12.?9设a、b是双illi线-v = 1 (a>0, b>0)的长轴两端点，p是双曲线上的一点，zpab = a , a he分别是双illi线的半焦距离心率,则有zpba = 0 , zbpa = y , 皿2阴gi cr 一 cpos y i2d 2/(2) tancrtan/? = l-e2. (3) sab =? 2 cot/.13. 已知双曲线=-2_ = 1 (a>0,b>0)的右准线/与x轴相交于点e，过双曲线右焦点f的 cr tr直线与双曲线相交于a、b两点，点c在右准线z上，且bc丄兀轴，则直线ac经过线段ef的 中点.14. 过双曲线焦半径的