高等数学课件：12-4第一类曲线积分

1、第一类曲线积分第一类曲线积分第四节第四节 第十二章第十二章 一、第一类曲线积分的概念与性质一、第一类曲线积分的概念与性质二、第一类曲线积分的计算法二、第一类曲线积分的计算法一、第一类曲线积分的概念与性质一、第一类曲线积分的概念与性质1. 问题引入问题引入曲线形构件的质量曲线形构件的质量ABis ),(ii 设有一位于设有一位于 xOy 平面上的曲平面上的曲线形状的构件线形状的构件(如图如图)，),(yx求构件的质量求构件的质量. 采用采用分割，近似，求和，取极分割，近似，求和，取极限限的方法来求曲线形构件的质量的方法来求曲线形构件的质量iiis ),( ni10lim M 构件分布是构件分布是

2、非均匀非均匀的，其线密度为的，其线密度为1 iAiA 1 分割分割,isn 小弧段的弧长为小弧段的弧长为小段，小段，分割成分割成.max1inis 2 近似近似iiAA1 ，上任取一点上任取一点),(iiiM), 2 , 1(),(nisMiiii 3 求和求和 niiiiniisMM11),(4 取极限取极限 niiiisM10),(limABis 1 iAiA),(ii在小弧段在小弧段该弧段该弧段 的质量可近似表示为的质量可近似表示为 整个构件质量的近似值整个构件质量的近似值构件的质量构件的质量,10nAAA用曲线用曲线AB上的上的任意点任意点 将将AB设函数设函数 f (x, y) 在在

3、 xOy 面内的分段光滑曲线弧面内的分段光滑曲线弧 L的长度为的长度为个小弧段个小弧段记第记第iinAAiAAA110., iiiiiiiisfMAA ),(),(1作乘积作乘积上任取一点上任取一点的取法无关，的取法无关，的分法及点的分法及点iML 2. 定义定义 10.1上有界上有界. . 将将 L L 任意分成任意分成 n 个小弧段，设分点为个小弧段，设分点为在小弧段在小弧段记记）（.max, 2 , 11iniisnis niiiisfni1.),(, 2 , 1并作黎曼和并作黎曼和）（即极限值与曲线即极限值与曲线若此和的极限总存在，若此和的极限总存在，令令0则称该极限值为函数则称该极限

4、值为函数 f (x, y)在曲线在曲线L上的上的第一类第一类 niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式弧微分弧微分被积表达式被积表达式曲线积分曲线积分或或对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分，记作，记作注注 1 当当函数函数 f (x, y)在曲线在曲线L上上连续连续时时, 曲线积分曲线积分 Ldsyxf),(2 曲线形构件的质量可以表示为曲线形构件的质量可以表示为 LdsyxM),(存在存在.上的上的表示立于表示立于当当Lyxf),(4),(yx柱面在点柱面在点,处的高时处的高时.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积时，时，当当1),(

5、3 yxf; LdsL弧长弧长的的区区别别：与与 DLyxfsyxfd),(d),(5LyxsyxfL ),(:d),(点点.不不独独立立与与 yx:d),( Dyxf Dyx ),(点点.彼彼此此独独立立与与内内，在在yxDxyOL(x, y)(x, y)（1）若积分弧段为若积分弧段为空间曲线弧空间曲线弧 niiiiisfszyxf10),(limd),( （2）如果如果L L 是是闭曲线闭曲线 , , 则记为则记为.d),( Lsyxf推广推广, ,则函数则函数f ( x, y, z )在曲线弧在曲线弧上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为线性性质：线性性质：)1(可加性：可加性：)2(

6、保序性：保序性：)3( LLdsyxfdsyxf),(),(特别的有特别的有 LLdsyxgdsyxf),(),( 21d),(d),(d),(LLLsyxfsyxfsyxf LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),(),(),(组成组成和和由由21LLL1R ，),(),(yxgyxfL 上上在在3. 性质性质 Ltttttfsdyxfd)()()(, )(),(22基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理10.1),(yxf设设且且)()(tty 上的连续函数上的连续函数,是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL ,d),(存在存在

7、 Lsyxf求曲线积分求曲线积分二、第一类曲线积分的计算法二、第一类曲线积分的计算法1. 直接法直接法tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt ,1kkktt 点点将曲线将曲线L 任意分成任意分成 n 份，设各分点对应参数为份，设各分点对应参数为kt, ,1kkktt ),(kk对应参数为对应参数为 ),1 ,0(nk 证证根据定义根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 因此因此 nk10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf连续连续注意注意)()(22tt 则则 n

8、k10limkkkt )()(22 )(, )(kkf注注xdydsdxyo, 0, 01 kkts因此因此积分限积分限必须满足下限小于上限：必须满足下限小于上限：! 2 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 则则(2)如果如果L为极坐标形式为极坐标形式),()(rr 则则syxfL d),( rrf)sin)(,cos)(rrd)()(22 Lsyxfd),(xxd)(12 baxxf) )(,(),()(bxaxy (1) 如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为推广推广 (3)设空间曲线弧的参数方程为

9、设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx szyxfd),(则则ttttd)()()(222 tttf)(),(, )(,d Lsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例1 计算计算 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222 szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解 szyxd)(222dtkatktata222

10、0222 )()sin()cos(ttkakad2022222 02322223tktaka )43(3222222kaka )20(,sin,costtkztaytax 线线例例22. 利用对称性利用对称性上上连连续续，在在曲曲线线设设Lyxf),(轴轴对对称称性性)1( ),(),(,d),(2),(),(, 0d),(1yxfyxfsyxfyxfyxfsyxfLL.0:1的的部部分分在在 yLL.论论轴轴对对称称时时，有有类类似似的的结结关关于于当当yL轴轴对对称称，则则关关于于若若xL轮轮换换对对称称性性)2(进进行行交交换换，与与的的方方程程中中，将将若若在在曲曲线线yxL的的方方程

11、程不不变变，则则L LLsxyfsyxfd),(d),(例例3).0()()(,222222 ayxayxLdsxL常数常数为双纽线：为双纽线：其中其中计算计算解解的的极极坐坐标标方方程程为为：L 2cos22ar sd1 求求,2sin2)()(22 arr )(2sin)(2 rar drrds)()(22 drar)()2sin()(224 dra)(2 xyO4 由由轴轴对对称称性性，2),(),(yxfxyxfxL 轴轴对对称称，关关于于),(),(yxfxyxfyL 轴轴对对称称，关关于于sxsxLLd4d1 ):(1在在第第一一象象限限部部分分LLsxLd41 drar)(cos

12、)(4240 222a xyO4 . 0,d22222zyxazyxsxI为圆周为圆周其中其中求求由轮换对称性由轮换对称性, , 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa解解例例4将圆周表示成参数方将圆周表示成参数方程的形式比较困难，程的形式比较困难，由表达形式的对称性由表达形式的对称性可利用对称性计算可利用对称性计算点点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程的坐标满足曲线的方程323a 1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性质性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),

13、( szyxgzyxfd),(),()1( 21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf szyxfd),(szyxgd),( 内容小结内容小结3. 计算计算 对参数方程形式对参数方程形式, )( , )(, )(:ttytxL Lsyxfd),( 对显函数形式对显函数形式, )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,(),()(:rrL Lsyxfd),( rrf)sin)(,cos)( 对极坐标形式对极坐标形式tttd)()(22 xxd)(12 rrd)()(22 ttf)(),( 1.例例4中中 改为改为 0)1()1(2222zyxazyx如

14、何计算如何计算?d2sx 解解 令令 11zZyYxX 0 :2222ZYXaZYX, 则则思考与练习思考与练习sx d2 sXd)1(2 sX d2 sX d2 sd , 0d)( sZYXsZsYsXddd 0d sXaa2323 d d s计算计算,d)(222szyxI其中其中 为球面为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线的交线与平面与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y则则2.2.已知椭圆已知椭圆134:22yxL周长为周长为a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:3.3.xyo1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线, ar 0及及4所围区域的边界所围区域的边界, 求求seICyxd222)24