高等数学课件：11-10第一型的曲线曲面积分

1、第十节第十节第一型曲线曲面积分第一型曲线曲面积分 积分应用积分应用一. 第一型曲线积分的概念1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),( Lsyxfd),(kknkksf ),(lim102. 计算计算 对参数方程形式对参数方程形式, )( , )(, )(:ttytxL Lsyxfd),( 对显函数形式对显函数形式, )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,(),()(:rrL Lsyxfd),( rrf)sin)(,cos)( 对极坐标形式对极坐标形式tttd)()(22 xxd)(12 rrd)()(22 ttf)(),(.4)2, 0()

2、2 , 0(,) 1(2yxBALdsyxL的曲线段到点是由点其中计算例1dydydxds2)(1:解dyy242dyyyydsyxL222242) 14() 1(28._)253(, 1322222dsyxyxayxLL则已知其周长为为椭圆设例2 练习十三/二(2)分析：利用对称性LLdsyxdsyxyx)23()253(2222dsL6a6).0(,)(3232323434aayxLdsyxL为星形线其中计算曲线积分例3 练习十三/三)20(sin,cos33ttaytax解：令dtttadttytxds|cossin|3)()(22dsyxdsyxLL4/34343434)(4)(dtt

3、tatata20434434cossin3)sincos(4374a.cos1形心的直角坐标求心形线例40,y得解：由对称性xo2LLdsdsxxdds22)( d)cos1 (2d|2cos|2ddsL|2cos|220d02cos48dsxdsxLL2/2d2cos2cos)cos1 (2053254x)0,54(),(yx形心坐标. 0,0323232aSzaxyzayx截取部分的面积及平面被马鞍面求星形线柱面例5dszSL|解：dsaxyL|)20(sin,cos33ttaytaxL为星形线柱面的准线dttytxds22)()(dttta|cossin|3dtttaS42042coss

4、in32649a二. 第一型曲面积分的概念1. 定义定义: Szyxfd),(iiiiSf ),(0lim 2. 计算计算: ,),( , ),(:yxDyxyxzz 则则 ni 1;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(方法：一投、二代、三换方法：一投、二代、三换3. 对称性对称性，对对面面积积的的曲曲面面积积分分 Szyxfd),(则则面面对对称称，关关于于上上连连续续，在在如如：若若yozzyxf ),( ),(),(,d),(2),(),(, 0d),(1zyxfzyxfSzyxfzyxfzyxfSzyxf.0:1的部分的部分在在 x.,2222在第一卦限

5、的部分为球面其中计算RzyxdSxyz例6dSxyz dydxRxyxyDRddR0220cossin581RdydxyzxzyxRxyxyD222221)()( 解解.0,1222222的部分上圆柱面为其中计算HzRyxdSzyx例722yRx 解解dydzzxyxdS22)()(1dzdyyRR22dydzyRRzRyzD222212原式dyyRdzzRRRRH22022112RHarctan2.,122222所截下的部分上被柱面为锥面其中计算xzyxzSyxdSIS例8 练习十三/八oxyzxzyxz222解：xyxz22,得消去.:22xyxDxoySxy坐标面上的投影在22:yxzS

6、dydxdydxzzdSyx2122dydxyxIxyD21122ddcos0222112)2(2.:,)(22222RzyxdSczbyax其中计算例9dSbcyzacxzabxyzcybxa)222(222222解：原式)(利用对称性dSzcybxa)(222222dSzcdSybdSxa222222)(利用轮换不变性dSxcba2222)(dSzyxcba)(3222222dSRcba22223)(342224cbaR解解上方的部分。上方的部分。位于曲线位于曲线是椭球面是椭球面其中其中曲面积分曲面积分，并计算，并计算的轨迹的轨迹面垂直，求点面垂直，求点处的切平面与处的切平面与点点在在上的

7、动点，若上的动点，若为椭球面为椭球面设设CS,d)(CPP:P SyzzyzyxIxOySyzzyxS4423122222,yzzyxn 222切平面法向量切平面法向量02100222 yzyzzyxkn,C 102222yzzyxz-y：曲线曲线, 1430222yxz-y例10,: 1430222yxz-yC),(DC14322 yxyxxoyxy面上投影面上投影在在2222222211 zyzyzyxyzxzzyyzzy24422 yxzyyzzyyzzyzyxIxyDdd)( 24444232222yxzyyzzyyzzyzyxIxyDdd)( 24444232222yxxDdd )(

8、 3yxyxxDDdddd 3椭圆面积）椭圆面积）( 23213 三. 积分的应用几何应用 ).1 (平面图形的面积立体的体积物理应用 ).2(转动惯量质心平面薄片的质量 , , 曲面的面积.),(,222zzyxyxRz处密度为已知曲面上任一点的质心坐标求上半球面例11 练习十三/十二. 0, yx得解：由对称性MMzxyzdSMdydxyxRRyxRxyD2222223RzdSzMxydydxyxRRyxRxyD2222222)(dRdRR02220432RRz32)32, 0, 0(),(Rzyx质心坐标. 11| ),(2222yxzyxzyx求立体的形心坐标，例12 练习十二/八.

9、0,: yx由对称性解dvzzV1drrddVcos2024020sindrrrdddvzcos2024020cossin6767z)67, 0 , 0(),(zyx形心坐标.:)(2222的转动惯量关于直线密度为常数求均匀球体RyRxLRzyx例例1322)()(),(RyRxdLzyx的距离到解：点dvRyRxIL)()(22dvRRyRxyxIL)222(222)(利用对称性dvRdvyx2222)(322022020342sinsinRRdrrrddR5538158RR5516R.)(),(, 1, 0,lnttItItxexyxy取得最小值的求使的转动惯量为若此薄片关于直线其面密度为

10、均匀薄片所围成的设有一个由曲线例例14 14 练习十二练习十二/ /五五dtxtID2)()(解：xyo1exylnxedydxtxln012)(xdxtxtIeln)()(12dxxtdxxxtdxxxeee12112lnln2lndxxtdxxxtIee11ln2ln20)(, 0)( tI令dxxdxxxtee11lnln得驻点) 1(412e02ln20)(1 dxxtIe是最小点) 1(412et.)(内的面积内的面积含在含在柱面柱面利用曲线积分计算利用曲线积分计算222210yxRzRxyx 备例1练习十三/五dsxdsyxRALL)(122解：22222)2()2(:RyRxRx

11、yxL或)20(sin2,cos22ttRytRRx令dtRtRA202)cos1 (2221R.:)(:,面积面积旋转所得的旋转曲面的旋转所得的旋转曲面的绕直线绕直线求曲线求曲线利用曲线积分利用曲线积分03422121613 yxLxxxyC备例2 练习十三/六034 yxxxy21613dsdsyxdS5|34|2解：dsyxSC|34|52. 034, yxC上在曲线dsyxSC)34(52dxxxxxx2212223)212()2324(5225614252ln58)0, 0(,0 ,| ),(,222222HRHzRyxzyxdSzyxz其中积分区域为曲面计算曲面积分备例3 练习十三

12、/十22:yRx解：dydzxxdSzy221dydzyRR22dzdyyRRzRzyzD22222原式dyyRdzzRzRRRH2202212222lnRHRR. , 25 13 22222比求这三部分曲面面积之分成三部分将球面曲面zyxyxz备例备例4 4 练习十四练习十四/ /六六2225yxz解：dxdyyxdxdyzzdSyx 255 12222251322222zyxyxz169 , 2222yxyxz得消去dydxyxSyx922122 255dd 255 53022010dydxyxSyx 2551622322dd 25554022020100321SSSS702S2:7:12

13、0:70:10:321SSS备例备例5.),(,1) 1(22yyxyx其面密度的质心求平面薄片, 0,x得解：由对称性xyo1MMyxdyxMD),(dyDsin1,cosyx令ddM1020)sin1 (dyxyMDx),(dyD2dd10220)sin1 (4545MMyx) 45 , 0 ( , yx质心坐标.),(,2:2222yxyxxyxyxxD其面密度的转动惯量关于直线计算平面薄片备例备例6dyxyxIDxy)()2|(:222解xyo12xy dyxyxyxD)( )2(2122220)( )2(22dyxxyD其中dyxIDxy222)(21ddcos2cos42221d620cos) 164(61221436566364105. ) ( )()( 222222对坐标原点的转动惯量为常数面密度围成的均匀薄板求曲线yx