高等数学课件：11.7 多元函数的极值与最值

1、11.7 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值1 极值的概念极值的概念定义定义 设设 z = f (x , y) , 若存在若存在 P0 = (x0 , y0) 的某的某 y,xfyxf)(),(00 邻域邻域 N( P0 , ) , 使对任意的使对任意的 x N( P0 , ) , 有有 ( 或或 ) y,xfyxf)(),(00 则称则称 f (x0 , y0) 为为 f (x , y) 的一个的一个局部极小值局部极小值 ( 或或局部极大值局部极大值 ) , 称称 P0 = (x0 , y0) 为为 f 的的局部极小值局部极小值 点点 ( 或或局部极大值点局部极大值点 )说明说明: 若

2、上面的不等号若上面的不等号 ( 或或 ) 换成换成 ( 或或 )则称为则称为非严格的极值非严格的极值和和极值点极值点2 局部极值的计算局部极值的计算首先研究极值点的特征首先研究极值点的特征 , 即研究必要条件即研究必要条件设设 P0 = (x0 , y0) 是是 z = f (x , y) 的局部极小值点的局部极小值点 , z = f (x , y) 在在 P0 处可微处可微 对任意的对任意的 x N( P0 , ) 则根据定义则根据定义 , 存在存在 N( P0 , ) , 使使 y,xfyxf)(),(00 xy00 x0y若令若令),()(, ),()(yxfyg yxfxh00 ),(

3、),(,)()( 000PNyx xhxh ),(),(,)()( 000PNyx ygyg 则有则有 x = x0 是是 h(x) 的局部极小值点的局部极小值点y = y0 是是 g(y) 的局部极小值点的局部极小值点由由 f (x , y) 在在 P0 处可微处可微 h(x) 在在 x = x0 处可导处可导 g(y) 在在 y = y0 处可导处可导于是在于是在 P0 点处成立点处成立0000 ),()( yxfxhx0000 ),()( yxfygy000 y,xf )(定理定理 ( 可微函数极值点的必要条件可微函数极值点的必要条件 )设设 z = f (x , y) 在在 P0 =

4、(x0 , y0) 处可微处可微 , P0 是是 f (x , y) 的极值点的极值点 , 则有则有 000 y,xf )(说明说明:(1) 使使 的点称为的点称为 f (x , y) 的的 000 y,xf )(稳定点稳定点 ( 或驻点或驻点 )(2) 可微函数的极值点必为可微函数的极值点必为 f (x , y) 的稳定点的稳定点 , 即为使梯度为零的点即为使梯度为零的点例例讨论下列函数的极值讨论下列函数的极值2231yxz (1) 22yxz (2) 22yxz (3) 解解(1) 在在 R2 上可微上可微 2231yxz 062 ,)(y x y,xf 稳定点为稳定点为 (0 , 0)又

5、又1003122 ),(),(fyxyxf (0 , 0) 是是 f (x , y) 的极小值点的极小值点 极小值极小值: f (0 , 0) = 1(2) 在在 R2 上可微上可微 22yxz 022 ,)(y x y,xf 稳定点为稳定点为 (0 , 0)又在点又在点 (a , 0) 处处 : Ra a fa ,af ,),()(000002在点在点 (0 , b) 处处: Rb b fb b ,f ,),()(000002 在在 (0 , 0) 点的任意邻域内点的任意邻域内 , 都有大于都有大于 f (0 , 0) = 0及小于及小于 f (0 , 0) = 0 的点的点 , 所以所以

6、(0 , 0) 不是极值点不是极值点(3),(),(,)(0002222 yx yxy yxx y,xf f (x , y) 无稳定点无稳定点又注意到又注意到),()(00022fyx y,xf (0 , 0) 是是 f (x , y) 的极小值点的极小值点 , 极小值极小值 f (0 , 0) = 0说明说明: 上例说明上例说明(2) 偏导数不存在的点也可能为极值点偏导数不存在的点也可能为极值点临界点临界点: 满足满足 的点或者偏导数不的点或者偏导数不 0 y,xf )(存在的点称为存在的点称为临界点临界点定理定理 ( 极值点的必要条件极值点的必要条件)极值点必是函数的临界点极值点必是函数的

7、临界点 (即梯度为零的点即梯度为零的点或者偏导数不存在的点或者偏导数不存在的点)说明说明: (1) 临界点未必一定是极值点临界点未必一定是极值点 , 仅是必要条件仅是必要条件(2) 不是极值点的临界点称为不是极值点的临界点称为鞍点鞍点(1) 稳定点未必一定是极值点稳定点未必一定是极值点定理定理 ( 二阶充分条件二阶充分条件)设设 z = f (x , y)在临界点在临界点 P0 = (x0 , y0) 的某邻域的某邻域 N( P0 , ) 内具有二阶连续偏导数内具有二阶连续偏导数 , 则有则有(1) 当当 时时 , P0 为为 f 的极小值点的极小值点0000 ),(,yxf Hxx(2) 当

8、当 时时 , P0 为为 f 的极大值点的极大值点0000 ),(,yxf Hxx(3) 当当 H 0 时时 , f 在在 P4 处取得极大值处取得极大值:273af 当当 a 0 时时 , f 在在 P4 处取得极小值处取得极小值:273af 2) 若若 a = 0 此时此时),(004321 P P P P并且并且 H(0 , 0) = 0 , f (x , y) = xy(x + y)可知可知: 在第一象限上在第一象限上 f (x , y) 0 所以所以 , (0 , 0) 是鞍点是鞍点0824324222 yzxyzyx(3) 这是隐函数求极值的问题这是隐函数求极值的问题将方程两边对将

9、方程两边对 x , y 求偏导数有求偏导数有0324 xzyzyx)(1)0322 yzyzzxy)(2)令令 yz xz00 ,024 yx022 zxyzyx 2代入原方程有代入原方程有 12 x 1 x 所以使所以使 的点的点:0 z),(),(22122121 P , P再将再将 (1) 两边对两边对 x 求偏导数求偏导数0334222 xzyz xz)()(3)将将 (2) 两边对两边对 y 求偏导数求偏导数0324 xzyzyx)(1)0322 yzyzzxy)(2)03322222 yzyz yz yz)()(4)将将 (2) 两边对两边对 x 求偏导数求偏导数 03322 yx

10、zyzxzxz yz)(5)在点在点 处处 , 从从 (3) , (4) , (5) 知知 P),(2211 1122 Pxz2112 Pyxz21122 Pyz0411222221 PPyxzyzxzH )(又又 01122 Pxz P1 是极大值点是极大值点 , 极大值极大值 z = 20412222222 PPyxzyzxzH )(又又 01222 Pxz P1 是极小值点是极小值点 , 极小值极小值 z = 2),(2212 P在点在点 处处 , (3) , (4) , (5) 知知 1222 Pxz2122 Pyxz21222 Pyz3 最值问题最值问题 条件极值条件极值最值问题最值

11、问题设设 z = f (x , y) 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续上连续 , 则则 f 在在D 上可取得最值上可取得最值 ( 最小值及最大值最小值及最大值 )设设 P D 为为 f 的最值点的最值点(1) 若若 P 在在 D 的内部的内部 , 则则 P 为为 f 的局部极值点的局部极值点 , 从从而可用求局部极值的方法求得而可用求局部极值的方法求得(2) 若若 P D , 若设若设 D: (x , y) = 0 , 则需解则需解),(.yxf Opt0 ),(.yx ts (6)其中其中 , f (x , y) 称为称为目标函数目标函数 ; (x , y) = 0 称为称为约束条件约束

12、条件 ; 问题问题 (6) 称为称为 f (x , y) 的的条件极值问题条件极值问题( 或或等式约束极值问题等式约束极值问题 )所以所以 , 求求 f 在在 D 上的最值问题必须求解下面上的最值问题必须求解下面的两个问题的两个问题 :(1) 求求 f 在在 D 内部的局部极值点内部的局部极值点 (2) 求求 f 在在 D 上的条件极值点上的条件极值点例例求求 在直线在直线 x + y = 6 , x轴轴 , y轴轴)(yxyxz 42所界闭区域所界闭区域 D 上的最大值和最小值上的最大值和最小值解解xy066D(2) 再求再求 f 在在 D 上的最值上的最值0422 yxyx xyzx)(0

13、422 yxyxxzy)(823 yx42 yx12 y x , 稳定点稳定点 P1 = (2 , 1)41 )(Pf (1) 先求先求 f 在在 D 内部的极值点内部的极值点1) 在在 x = 0 ( 0 y 6 ) 上上 , f (0 , y ) = 02) 在在 y = 0 ( 0 x 6 ) 上上 , f (x , 0 ) = 03) 在在 x + y = 6 上上 , 即即 y = 6 x)()()(622622 xxxxyx,f024626422 xxxxxfx)( x = 0 , x = 4 在在 x + y = 6 上可能的最值点为上可能的最值点为),(,),(246032 P

14、 P 642406032 ),()(,),()( fPf fPf所以所以 , f 在在 D 上的最大值上的最大值64431 )(,)(Pff Pffminmax说明说明:以上解条件极值问题的方法以上解条件极值问题的方法),(.yxf Opt0 ),(.yx ts 从从 (x , y) = 0 确定确定 y = y(x) , 代入代入 f , 解一元问题解一元问题)(,(.xyxf Optbxa ts .即将二元条件极值问题通过消元化为一元函数的即将二元条件极值问题通过消元化为一元函数的极值问题来解极值问题来解问题问题: 从从 (x , y) = 0 解得解得 y = y(x) 是困难的是困难的

15、拉格朗日提出了一种不解拉格朗日提出了一种不解 y = y(x) 的方法的方法 4 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 ( 乘子法乘子法 )xy0AB (x , y) = 0 及等值线及等值线 f (x , y) = c 如图所示如图所示(1) 在在 f (x , y) = c 与与 (x , y) = 0 的交点处的交点处 (非切点非切点)f (x , y) 不能取得最优值不能取得最优值(2) 在在 f (x , y) = c 与与 (x , y) = 0 的切点的切点 A , B 处处f (x , y) 取得最优值取得最优值可以看到可以看到:考虑下面的条件极值问题考虑下面的条件极值问题),(.yx

16、f Opt0 ),(.yx ts (6) 0 ),(yx cyxf ),(所以所以 , 在最优值在最优值 A , B 处处 : (x , y) = 0 与某等值线与某等值线 f (x , y) = c 有公共的切线有公共的切线 (x , y) = 0 与与 f (x , y) = c 有公共的法线有公共的法线 ( x , y) 与与 f (x , y) 在在 A , B 处共线处共线 存在存在 R , 使使 BABAyx,yx,f,)()( 0 BAyx,yx,f,)()( (7) 即在最优点即在最优点 (x0 , y0) 处应满足处应满足: 存在存在 0 使使000000 )()(y,xy,

17、xfxx 000000 )()(y,xy,xfyy 000 )(y,x (8)令令 L(x , y , ) = f (x , y) + (x , y) ( 拉格朗日函数拉格朗日函数 )则上式可等价地表示为则上式可等价地表示为000000000 )()(),(y,xy,xf y,xLxxx 000000000 )()(),(y,xy,xf y,xLyyy 0)y,x() ,y,x(L00000(9)即即 0000 ),( y,xL条件极值的必要条件条件极值的必要条件:如果点如果点 (x0 , y0) 是问题是问题 (6) 的最优点的最优点 , 则存在则存在常数常数 0 R 使使0000 ),(

18、y,xL对于一般的等式约束的极值问题对于一般的等式约束的极值问题 ( 或规划问题或规划问题 )引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数 : ),(),(nmnx xxf x xxL212121 ),(),(nmmnx xxgx xxg212111 其中其中 R m ,21),(.nx xxf Opt21.ts0211 ),(nx xxg0212 ),(nx xxg021 ),(nmx xxg(10)如果如果 点是问题点是问题 (10) 的解的解 , ),(nx xxP21 则存在常数则存在常数 , 使使R m ,2102121 ),(mn x xxL 条件极值条件极值 (10) 的必要条件的必要条件:

19、解解 1 yxxyL 令令 010 0yxLxLyLyx 21,21得得驻驻点点注注:.还是极小值点还是极小值点来判断驻点是极大值点来判断驻点是极大值点不能用不能用yyyxxyxxzzzzH .是是用用来来判判断断无无条条件件极极值值yyyxxyxxzzzzH xyyxxyy 101,得得由由 xxxyz 1xdxdz21 0222 dxzd极大值极大值4121,21 z另解另解: 2221411 xxxxxxyz例例求求 f (x , y , z) = x + y + z 在圆在圆122 yx1 z上的极值上的极值解解构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数)()(),(1122 zyxzyx z

20、yxL 021 xLx (11)01 zL(13)021 yLy (12)01 zL (15)0122 yxL (14) z = 1 = 1 y = x代入代入 (14) 得得122 x22 x 所以所以 , 可能的极值点可能的极值点: ),(122221 P ),(122222 P Pf Pf212121 )(,)(注意到注意到 f 在圆在圆 上的最小值上的最小值 , 最大值最大值122 yx1 z此时即为此时即为 f 在圆上的极小值在圆上的极小值 , 极大值极大值 , 所以所以 极小值极小值: Pf211 )(极大值极大值: Pf211 )(解解 922222 zyxzyxL 令令 09

21、022 022 021222zyxLzLyLxLyyx 2,2, 1,2,2, 111 MM得得驻驻点点 .09,222确确定定由由 zyxyxzz yxzyxu,22 zxzuxx2121 33222,2zxyuzxzuxyxx zyzuyy2222 3222zyzuyy 2,2, 11 M对对点点0492212145 H .9,0451为极小值为极小值且且 Muuxx 2,2, 12 M对对点点0492212145 H .9,0452为极大值为极大值且且 Muuxx解解例例试求试求 n 个正数个正数 , 在其和为定值在其和为定值 l 的条件下的条件下 , 什么时候其乘积最大什么时候其乘积最

22、大 , 并由此证明并由此证明:)(nnnxxxnxxx 21211设设 n 个正数为个正数为 , 则问题是解则问题是解nxxx,21nnxxxxxxf 2121 ),(maxlxxx tsn ,.21构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:)(lxxxxxxLnn 2121 021 nxxxL0312 nxxxxL01212 nxxxxLlxxxn 21nlxxx n 21由于此点为由于此点为 f 唯一可能的最值点唯一可能的最值点 , 且且 f 的最大值的最大值存在存在 . 所以当所以当 时时 , nlxxxn 21f 取得最大值取得最大值nnlf)(max 即即nnnlxxx )( 21)(nnnxxxnxxx 21211解解例例求旋转椭球面求旋转椭球面 在第一象限在第一象限14222 zyx部分上的一点部分上的一点 , 使该点处的切平面在三个坐标使该点处的切平面在三个坐标 轴上的截距平方和最小轴上的截距平方和最小设设 M = (x , y , z ) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是椭球是椭球面面 S 上的一点上的一点 , 则椭球面在则椭球面在 M 处的法向处的法向, z y x n222 即即, z y x n4 切平面切平面 :04 )()()(z-Z