向量的内积（修改）

1、课件说明课件说明(第第1课时课时)平面向量内积的概念及计算公式平面向量内积的概念及计算公式；1 1、了解向量内积的概念及其几何意义。、了解向量内积的概念及其几何意义。2 2、了解平面向量内积的计算公式、了解平面向量内积的计算公式3 3、通过实例引出向量内积的定义，培养学生观、通过实例引出向量内积的定义，培养学生观察和归纳能力。察和归纳能力。本节课学习向量的内积本节课学习向量的内积.学习目标学习目标: :学习重点学习重点: :1 1、平面向量的线性运算、平面向量的线性运算 2 2、平面向量坐标的表示及运算法则、平面向量坐标的表示及运算法则 Fs图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用

2、100 N的力，30角的方向拉小车，使小车前进了100 m朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积力F是水平方向的力233WFcos30 s10010500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即233WFcos30 s10010500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积内积,它是一个数量，又叫做数量积数量积 BAOabOAa ，如图，设有两个非零向量a， b，作OBb ，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与与向量b的夹角

3、夹角，记作两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积内积，记作ab， 即 ab|a|b|cos (7.10) 由内积的定义可知 a00, 0a0. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： abba. aba bab (ab)cacbc. a(bc)(ab ) c. 一般地，向量的内积不满足结合律，即 例例1 已知|a|3,|b|2, 60，求ab解解 ab|a|b| cos 32cos 60322例例2 已知|a|b|,ab,求22|222 a ba b解解 cos由于 0180，所以 1351431. 已知|a|7,|b|4，a和b的夹角为60，求ab2. 已知aa9,

4、求|a|. 3. 已知|a|2,|b|3, 30，求(2ab)b 6 3 9+ aa（1）ab|a|b|cos （2） cos = （3）|a| （4）a b ab0baba设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0, 又| i |j|1,所以 ab(x1 iy1j) (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 ab x1 x2 y1 y2 (7.11) aa a22xy设a(x,y)，则，即

5、a 22xy(7.12)121222221122 |x xy ya ba bxyxy cos (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a bab0，由公式(7.11)可知 ab0 x1 x2 y1 y20 因此 ab x1 x2 y1 y20 (7.14) 由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时， 例例3 求下列向量的内积： （1）a (2, 3), b(1,3)； （2）a (2, 1), b(1,2)； （3）a (4,2), b(2, 3) 解解 (1) ab21(3)37； (2) ab21(1)20； (3) ab2(2)2(3)14 例例4已知a(1,2)，b(3,1)求ab, |a|,|b|, 解解 ab(1)(3)215. |a|22( 1)25a a|b|22( 3)110b b52|210 5a ba bcos所以 45例例5判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a(2, 3),b(6, 4)； (2) a(0, 1),b(1, 2) 解解 (1) 因为ab(2)6340，所以a b(2) 因为ab01(1