北京市西城区2020届高三诊断性考试(5月)数学试题Word版含答案

1、西 城区高 三诊断 性测试数 学第i卷(选择题共40分)、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.集合a2020.501.设x|x 3 , bx x 2k,k z，则ai b =(a)0,02.若复数2z满足z i(a)第一象限下列函数中,值域为03.(b)(c)2,0,2,2i,则在复平面内z对应的点位于2(b)第二象限第三象限r且区间(0,(b)上单调递增的是xx(d)2,1,0,1,2(d)第四象限(a) y(c)(d)04.抛物线x24 y的准线方程为(a) x 105.在abc中，若a:b:c(a)80.21(b) x 1(c

2、) y 14:5:6则其最大内角的余弦值为,(b)1(c)-410(d) y 1(d)3506.设a 3 , b log32 ,(a) a c bc 10g0.23,则(b) a b c( )b c ac(d) b ac(d)a的取值范围是,109.若向量a与b不共线，则“(a)充分而不必要条件(c)充要条件x(a)(b)(a?b 0”是“a,0(c) 0,)2(d)5,b a”的(b)必要而不充分条件(d)既不充分也不必要条件b10.设函数f(x) (x 1)e .若关于x的不等式f(x)ax 1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是1 / 122(a) (0,e(b) (0,e2, e(

3、d)(c)1,y第n卷(非选择题共wo分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设平面向量a (1,2), b (k,2)满足a b,则b .2212 .若双曲线 斗匕1( a 0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为 .a 1613 .设函数f(x) sin2x 2cos2x,则函数f(x)的最小正周期为 ;若对于任意x r,都有f(x) m成立，则实数m的最小值为.14 .甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如 下表，其中表示猜测某人获奖，“x”表示猜测某人未获奖，而则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只

4、有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是,便奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测vxxv乙的猜测xoov丙的猜测xvxv丁的猜测oovx15.在四棱锥p abcd中，底面abcd是正方形，pa底面abcd, pa ab 4, e,f,h分别是棱pb,bc,pd的中点，对于平面efh截四锥p abcd所得的截面多边形，有以下三个结论：截面的面积等于4褥；截面是一个五边形；截面只与四棱锥p abcd四条侧棱中的三条相交.其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16 .(本小题满分14分)如图，在几何体abcdef中，底面abc

5、d是边长为2的正方形，de平面abcd, de / bf ,且de 2bf 2 .(i )求证：平面bcfii平面ade ;(n)求钝二面角d ae f的余弦值.2 / 1217 .(本小题满分14分)从前n项和snnp(p r),an2a-3 ,a611且2a-anan2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中，并完成解答.在数列an中，&1 ,其中n n .(i)求an的通项公式；*(n)右a1,an,am成等比数列，其中m,n n,且m n 1,求m的取小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18 .(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试

6、验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为到如图所示的频率分布直方图.8组：0.486,0.536) , 0.536,0.586),，0.836,0.886)加以统计，得0.736但不于0.636的种子定为“b级”，发芽率低于0.636的种子定为“c级”.低(i)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“c级”种子的概率;20元、15元、x元,以频率为概率，那么对于这些康1.1倍,(ii)该花卉企业销售花种，且每份“a级”、“b级”“c级”康乃馨种子的售价分别为10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费求x的分布列和数学期望；(id)企业改

7、进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若 发生变化，是变大了还是变小了？(结论不需要证明)3 / 1219 .(本小题满分14分)22已知椭圆c：x24 i(a b 0)的离心率为1 ,右焦点为f，点a(a,0),且af 1 . a b 2(i)求椭圆c的方程；(n)过点f的直线l(不与x轴重合)交椭圆c于点m,n ,直线ma,na分别与直线x 4交于点p ,q,求pfq的大小.20.(本小题满分15分)设函数f(x) aex cosx ,其中a r .(i)已知函数f(x)为偶函数，求a的值；(

8、n)若a 1 ,证明：当x 0时，f(x) 2；(出)若f(x)在区间0,司内有两个不同的零点，求a的取值范围.4 / 1221 .(本小题满分14分)设n为正整数，区间 八 区自1(其中akr, k 1,2,l , n )同时满足下列两个条件:对任意x 0,100,存在k使得x i；k对任意k 1,2,l ,n,存在x 0,100,使得x l(其中i 1,2, l ,k 1,k 1,l ,n).k(i)判断ak(k 1,2,l ,n)能否等于k 1或1;(结论不需要证明).2n的最大值；若不在在，说明理由.(n)求n的最小值；(出)研究n是否存在最大值，若存在，求出5 / 12西城区高三诊断

9、性测试数学参考答案10小题,每小题4分,共40分.2020.5一、选择题：本大题共1. c6. b2. a7. d3. b4. d9. a5. a10. d8. a二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分,共25分.1 -2.5112. y 2x13.式,近114.乙，丁注：第14题全部选对得5分，其他得。分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分0分，其他得3分.三、解答题：本大题共16.(本小题满分14分)解：（i ）因为de / bf , de平面ade , bf平面ade ,所以bf平面ade .同理，得bc平面ade .又因为bc

10、i bf b , bc平面bcf , bf平面bcf ,所以平面bcf/平面ade .(n)由de平面abcd,底面abcd为正方形,平面dae的法向量m (0,1,0).6 / 12设钝二面角d ae f的平面角为m n , 1则|cos | |cos | |-| -， |m| |n|3m,n1所以cos 3 ,即钝二面角d ae f的余弦值为1-.14分17.(本小题满分14分)解：选择：(i )当n 1时，由g a 1 ,得p 0.2当na2时，由题息，得s1(n 1) ,所以ansnsn 12n 1 (n2) .经检验，a11符合上式，*所以an 2n 1 (n n ) .(n)由四昌

11、昌成等比数列，得a2 a1am ,即(2n 1)2 1 (2 m 1).一212化简，得m 2n2 2n 1 2(n万)2因为m , n是大于1的正整数，且m n ,所以当n 2时，m有最小值5 .选择：(i )因为anan 13 ,所以an 1an3 .所以数列an是公差d 3的等差数列.一 . . _ _ . _ * . 一所以ana1(n 1)d 3n 2 (n n ).2(n)由a1,an,am成等比数列，得anaam ,一 一2一 即(3n 2)2 1 (3m 2).，一r222化简，得m 3n2 4n 2 3(n -)2 - ,3因为m , n是大于1的正整数，且m n ,所以当n

12、 2时，m取到最小值6.选择：1237 / 12.2分3分5分6分8分9分、11分14分2分4分6分8分9分,11分14分(i )由2an1anan2, 得n 1aanan 2an1.所以数列an是等差数列.又因为ai1 , a6ai5d 11,所以d 2 .所以ana (n 1)d 2n 1(n n ). 4分. 6分(n )因为a冏3成等比数列，所以a2 aa ,_2_即(2n 1)21 (2m 1).，一r222化简，得m 2n 2n 1 2(n 1). 8分. 9分12122,. 11分因为m , n是大于1的正整数，且m n ,所以当n 2时，m有最小值5. . 14分18.(本小题

13、满分14分)解：(i)设事件m为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“c级”种子”，. 1分由图表，得(0.4 1.2 a 4.0 6.0 4.4 1.2 0.4) 0.05 1,解得a 2.4. .2分由图表，知“c级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2,. 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“c级”的概率为0.2.因为事件m与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“c级”种子”为对立事 件，所以事件m的概率p(m) 1 0.2 0.8. 5分(n)由题意，任取一种种子，恰好是“a级”康乃馨的概率为(4.4 1.2 0.4) 0.

14、05 0.3,恰好是“b级”康乃馨的概率为(4.0 6.0) 0.05 0.5 ,恰好是 “c级”的i率为(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2.随机变量x的可能取值有20, 25, 30, 35, 40,且p(x20)0.2 0.20.04,. 7分p(x25)0.2 0.50.5 0.2 0.2,p(x30)0.5 0.50.3 0.2 0.2 0.3 0.37 ,p(x35)0.3 0.50.5 0.3 0.3,p(x 40) 0.3 0.3 0.09. 9分8 / 12所以x的分布列为:xp200.04250.2300.37350.3400.09.10分故x的数学期望e(x) 2

15、0 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31.11分(出)与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了19.14分解：4333(n)当直线l的斜率不存在时，有m (1-) , n(1, ) , p(4, 3), q(4,3) , f(1,0),22uuruur, uuu uur, uuu uur则fp (3, 3) , fq (3,3)，故 fp fq 0 ,fp fq 0 ,即pfq 900.当直线l的斜率存在时，设l:y k(x 1),其中k 0.联立y2x21),得(4k 3)x 8k x 4k 12 0 .由题意，知k(2222. 6分

16、. 7分. 8分0恒成立，8kx22设m(xi,y“，n(x2, y2),则xx24k 122记飞，1x 4?，,. 10分. 11分. 12分3x 4y 12,直线ma的方程为y y(x 2) .xi 2令x 4,得yp-2y ,即p(4,-2y) .x1 2同理可得q(4,0-).x1 2x2 2uuu 2yuuu 2y2所以fp (3,), fq (3,).x1 2x2 2uuu uur因为fp fq 94y1y2(xi2)(x22)224k(xi 1)(x21)(xi2)(x22)4k x1x2(xi x2) 1x1x2 2(x1x2) 49 / 12222222224k 12216k

17、24k (4k 12) 8k (4 k 3)212)16k24(4 k(4f30,4f4k2所以pfq 900 .综上,pfq 90o.20.(本小题满分15解：(i )函数f (x)分)为偶函数,所以f( f(力，即ae1 ae解得0.验证知a 0符合题意.(n) f (x)_xe sin x.得ex1,sin1,1x,则fxe sin x0,即f(x)在(0,)上为增函数.(x)故ff(0即f(x) 2.(x)ae)(m)由f(x)xcosx0,得acosxx-e设函数h(x)cosxx 0,可ex则h(x)处cosxxe令h(x) 0,得x三.4随着x变化,h (x)与h(x)的变化情况

18、如下表所示:x3支,3n(一,用篇(0,手)44h (x)0h(x)极大值所以h(x)在(0,2)上单调递增，在(江,力上单调递减.4 43jt又因为h(0)1,h(力e3支h(47)42 jcosx r ，_，.一 , 一所以当a e:e4 )时，方程ax在区间0,司内有两个不同解，且在区间2e10 /)14分10分11分13分一 一、_.3tt ，一)与40,(包，用上各有一个解.4即所求实数 a 的取值范围为e; 旦3k23).15分21 .(本小题满分14分)解：(i) akk可以等于k 1,但ak不能等于一1 . . 3分2 (n )记b a为区间a,b的长度，则区间0,100的长度为100 , ik的长度为1.由，得n100. . 6分又因为i10,1 , i21,2 , l , i10099,100显然满足条件，.所以n的最小值为100. . 8分(m ) n的最大值存在，且为200. . 9分解答如下：(1)首先，证明n v 200 .由，得 ii,i2,l ,in互不相同，且对于任意k ,