马声明老师常微分方程课件ODE-Sec7.1-2

1、第七章 幂级数解法7.1柯西定理定义1.1.解析函数函数f(x,y)在区域g r2内解析，是指对(x0,y0) g, a,b 0,使得f(x,y)在邻域x0 a,x0+ a y0 b,y0+ b中可以展成幂级数：f(x,y) =i,j=0aij(x x0)i(y y0)j.定义1.2.初值问题dydx= f(x,y),y(x0) = y0,在x = x0点附近存在解析解， 是指其解y = y(x)在x0点的某个邻域内可以展开成幂级数：y(x) =n=0cn(x x0)n.1定义1.3.幂级数i,j=0aij(x x0)i(y y0)j是幂级数i,j=0aij(x x0)i(y y0)j的优级数

2、，是指|aij| aij对于i,j n成立。2引理1.4.设函数f(x,y)在矩形区域：x0 ,x0+ y0 ,y0+ 可以展开成f(x,y) =i,j=0aij(x x0)i(y y0)j,则m 0,使得函数f(x,y) =m(1 x x0a)(1 y y0b)在矩形区域x0 a,x0+ a y0 b,y0+ b内是一个收敛的f(x,y)的优级数，其中a ,b .3引理1.5.在矩形区域x0 a,x0+ a y0 b,y0+ b上初值问题：dydx= f(x,y),y(x0) = y0,在区间(x0 ,x0+ )内存在一个解析解y = y(x),其中 = a(1 eb/2am),而a,b,m

3、和f(x,y)的意义与以上引理相同。定理1.6. cauchy定理设函数f(x,y)在矩形区域：x0 ,x0+ y0 ,y0+ 可以展开成(xx0)和(y y0)的一个收敛幂级数，则初值问题dydx= f(x,y),y(x0) = y0,在区间(x0 ,x0+ )内存在唯一一个解析解y = y(x),其中 = a(1 eb/2am)与以上引理相同。4注一：非解析的微分方程可能没有幂级数解， 或者幂级数解不收敛， 例如：dydx=y xx,y(0) = 0;x2dydx= y x,y(0) = 0.请见课本第213页附注。注二：以上cauchy定理的结论， 也适用于微分方程组的情形。作业：p21

4、4， 习题7-1.1-3.7.2幂级数解法本节讨论二阶齐次线性微分方程：a(x)y+ b(x)y+ c(x)y = 0,(1)其中a(x),b(x)和c(x)都在区间(x0r,x0+r)内解析。5定义1.7.如果a(x0) = 0,那么在x0点附近a(x) = 0,方程(1)可以写成如下形式：y+ p(x)y+ q(x)y = 0,(2)其中两个系数函数p(x) = b(x)/a(x)和q(x) =c(x)/a(x)在x0点附近解析。这样的点x0称为微分方程(1)的常点，否则称为奇点。定理1.8.设微分方程(2)中的系数函数p(x)和q(x)在区间|xx0| r内可以展成(xx0)的收敛幂级数，则(2)在区间|x x0| r内有收敛的幂级数解：y(x) =n=0cn(x x0)n,其中c0和c1是任意常数，由在x0点的初值条件决定，即c0= y0和c1= y0,而cn(n 2)可以根据c0和c1由递推公式确定。6例1.9. (1)用幂级数解法求解airy方程：y= xy( x );(2)求以上airy方程在x = 1处展开的幂级数解。例1.10.求解勒让德方程：(1 x2)y 2xy+ n(n + 1)y