非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)

1、第二章第二章 分岔与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子第三节第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程流体不稳定性与洛伦兹方程 1.1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性2.2.洛伦兹方程解的分岔洛伦兹方程解的分岔1900年年, 法国科学家贝纳德法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的做了一个著名的对流实验对流实验. 1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性 在一水平容器中放一薄层液在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形液体中突然出现规则

2、的六边形对流图案对流图案。照片中每个小六角照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉。缘较暗处液块向下沉。 当上下温差加大时，为什么当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生无到有地产生? 贝纳德对流贝纳德对流 当上下温差加大时，对当上下温差加大时，对流突然从无到有产生。流突然从无到有产生。 贝纳德图案是对流与抑贝纳德图案是对流与抑止因素止因素( (黏性和热扩散黏性和热扩散) )竞争竞争的结果的结果。T2T1这是现代用硅油做实验拍摄的照片。这是现代用硅油做实验拍摄的照片。贝纳德对流实验贝纳德对流实验 理想

3、理想装置：装置：两块平行平板中间充满液体，两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。方向无限伸展，下底加热。现象现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差温差进进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到湍流湍流状态。状态。 分

4、析：分析：随温度上升，流体经历由随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过过程。程。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性瑞利数瑞利数 1916年，英国学者年，英国学者瑞利瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R (瑞利瑞利数数) ： g-为重力加速度，为重力加速度，a-a-为热胀系数，为热胀系数，d-两块板间距，两块板间距，h-h-粘滞系数，粘滞系数，DT-扩散系数。扩散系数。T3DdTgRha 瑞利数瑞

5、利数R与温度差成正比，温度差加大时与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值值增加，有一临界值RC，当，当R 超过超过RC时，流时，流体出现翻动与对流，称为体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性贝纳德不稳定性。临界值临界值RC为：为：其中其中k k是是 x 方向环流波数方向环流波数 。 2324c)1 (kkR1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性倍周期分岔的实验检验倍周期分岔的实验检验 从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种流也是一种分岔现象分岔现象。带着这样观点。带着这样观点利布沙伯利布沙伯(Libchaber-

6、低温低温物理学家物理学家)于于1980年用液氦重做了贝纳德对流实验。年用液氦重做了贝纳德对流实验。实 验 装 置 ：实 验 装 置 ： 一 个 很 小 的 不 锈 钢 液 氦 的 容 器 ， 其 尺 寸 为一 个 很 小 的 不 锈 钢 液 氦 的 容 器 ， 其 尺 寸 为3mm 1.5mm 1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。点的温度。 容器中的液氦对温度非常敏容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差感，上下液面千分

7、之一的温差出现对流。对流发生时液氦在出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往两侧分流沿腔壁中心升起，往两侧分流沿腔壁下降形成两个对流圈。下降形成两个对流圈。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性利布沙伯通过对液氦对流信息的分析利布沙伯通过对液氦对流信息的分析, ,发现发现开始时只有对流翻动开始时只有对流翻动频率为频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现谐波，接着又出现 f/4、f/8等次谐波。实验结果显然是倍周期等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔

8、现象分岔现象。倍周期分岔的实验检验倍周期分岔的实验检验1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性倍周期分岔普遍性倍周期分岔普遍性 利布沙伯的实验结果证明利布沙伯的实验结果证明, ,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。而且在真实的物理学系统中也会出现。 后来后来, ,人们相继在人们相继在 LCR 振荡、激光振荡、化学反应等许多过振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都发现了程中都发现了倍周期分岔现象倍周期分岔现象，这表明倍周期分岔是存在于许多，这表明倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。动力学过程中的一种普遍现象。 1.流体中的不

9、稳定性流体中的不稳定性洛伦兹的设想洛伦兹的设想2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹的设想洛伦兹的设想 60年代初，美国数学家洛伦兹年代初，美国数学家洛伦兹(E. Lorenz)在气象部门工作。在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报长期天气预报。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹从贝纳德对流出发洛伦兹从贝纳德对流出发，利用流体力学中的纳维叶利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯托克斯斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，推导出描述方程、热传导方程和连续性方程，推

10、导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。-xybzddzxzyrxddyyxddx)( x -对流的翻动速率对流的翻动速率; y -比例于上流与下流液体之间的温差比例于上流与下流液体之间的温差; z-是垂直方向的温度梯度是垂直方向的温度梯度; - -无量纲因子无量纲因子, 称为称为 Prandtl 数数; b-速度阻尼常数速度阻尼常数; r -相对瑞利数相对瑞利数 r = R/RC2.洛伦兹方程洛伦兹方程 342 3c2T(1),gT dkRRDkah 洛伦兹方程解的分岔洛伦兹方程解的分岔0(1),1xyzxyb rzr -xybzddzxzyr

11、xddyyxddx)(0dxdydzddd2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹方程有三个平衡点洛伦兹方程有三个平衡点 若若r 1，只存在一个平衡点，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来的增加而发生分裂，原来稳稳定的平衡点变为不平衡状态定的平衡点变为不平衡状态。原点原点的稳定性的稳定性 r 1 ，于是分支出两个，于是分支出两个新的平衡点新的平衡点 C1与与 C2 。 说明在说明在 r = 1

12、 时系统将发生一次分岔，时系统将发生一次分岔，跨越跨越 r = 1 意味着原点的吸引子意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。不稳定性。 这时在坐标原点出现一维不这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。体从静态走向对流翻动。 2.洛伦兹方程洛伦兹方程 C1与与 C2的稳定性的稳定性 当当 r 1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与与 C2是稳定的焦点，是稳定的焦点，它们是它们是C1与与 C2邻域螺旋线的吸引点，如图

13、所示。邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：坐标为：现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。-1) 1(2, 12, 12, 1rzrbyx2.洛伦兹方程洛伦兹方程 当当 r 继续增加直到继续增加直到 r =13.962时，时，两个螺旋线外径会接触合并一起。两个螺旋线外径会接触合并一起。 r = rc 时两个平衡点时两个平衡点C1与与 C2发展成了中心点发展成了中心点, 其邻域的相轨其邻域的相轨线是椭圆线是椭圆. r rc 时时, C1与与C2成了不稳定的焦点成了不稳定的焦点. 定态对流失稳定态对流失稳，是不稳是不稳定的定的. 这时将出现一次新分

14、岔霍夫分岔这时将出现一次新分岔霍夫分岔, 平衡点平衡点C1与与C2失稳发失稳发展成为展成为奇怪吸引子奇怪吸引子.c(3)24.7368,(10,8/3)(1)brbb -2.2.洛伦兹方程洛伦兹方程 C1与与 C2的稳定性的稳定性洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子 r = rc 时两个平衡点时两个平衡点C1与与 C2发展成了中心点发展成了中心点, 其其邻域的相轨线是椭圆邻域的相轨线是椭圆. r rc 时将出现一次新时将出现一次新分岔霍夫分岔分岔霍夫分岔, 平衡点平衡点C1与与C2失稳发展成为失稳发展成为奇奇怪吸引子怪吸引子.c(3)24.7368,(1)(10,8/3)brbb -其中第四节第四节 李雅

15、普诺夫指数与奇怪吸引子李雅普诺夫指数与奇怪吸引子1. 李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数2. 埃侬映射与埃侬吸引子埃侬映射与埃侬吸引子3. 洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子 1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子吸引子吸引子 所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极形态形态. .它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道; ;也可能是继续不也可能是继续不断变化断变化, ,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线. .前者也前者也被称为被称为平庸吸引子平庸吸引子, ,后者被称为后

16、者被称为奇怪吸引子奇怪吸引子. .1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子平庸吸引子平庸吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在定常状态。这是一个动力系统在t t 时所时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。方程有极限环吸引

17、子，等等。奇怪吸引子奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。 考察平方映射的两个迭代运算考察平方映射的两个迭代运算 xxxyyyn 1nnn 1nn-()()11N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.60

18、50.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 取取 = 4，并并取有一点微小的差别的两个初始值取有一点微小的差别的两个初始值 x0 =0.370 与与 y0=0.380。运算结果如表所列，运算结果如表所列，经过前第四次迭代经过前第四次迭代, ,两个运算结两个运算结果还没有显出太大差别果还没有显出太大差别，但是从，但是从第五次开始迭代结果的差别就第五次开始迭代结果的差别就非常显著非常显著了。了。 奇怪吸引子奇怪吸引子1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子 取取 =2.1，并并取有较大差别的三

19、个初始值取有较大差别的三个初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，运算结果如左图，经过五次迭代经过五次迭代, ,三个运算三个运算结果趋于一致结果趋于一致，045. . 取取 =3.7，取差别很小两个初始值取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运运算结果如右图，算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来第二迭代差别就已显示出来, ,以后虽在第七次以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。迭代时很接近，但随后又快速分离开来。 1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数xy00-xyf xf yf xf yxyxydfdxxy11000000

20、00000-()()()()x0000yxx)()(lim000yxyfxfdxdf-两个系统：两个系统：设其初始值存在微小误差设其初始值存在微小误差 ，经过一次迭代以后有：，经过一次迭代以后有：式中式中：李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式)(),(11nnnnyfyxfx1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数由第二次迭代得：由第二次迭代得：经过第经过第 n 次迭代得：次迭代得： 李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式xydfdxxydfdxdfdxxy22xxx-110110000 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 可见，两个系统对初始扰动的敏感度

21、由导数可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，决定，它与初始值它与初始值 x0 0 有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行平均，要进行 n 次迭代：次迭代： 00 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-dfdxn=0n-1xnn1/李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式dfdx/x01.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数每次迭代平均分离值为：每次迭代平均分离值为： 两个系统如初始存在微小误差，随时间两个系统如初始存在微小误差，随时间( (或迭代或迭代) )产生分离，产生分离，分离程度常用分离程度常用李雅普诺夫李雅普诺夫(Lya

22、punov(Lyapunov) )指数指数来度量来度量, ,它为几何平均它为几何平均值的对数：值的对数：李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式nx1 -n0=n,)(ln1dxxdfnn-10,)(ln1limnnnndxxdfn1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数式中式中xn n为第为第 n 次迭代值。取次迭代值。取 n，得李雅普诺夫指数计算公，得李雅普诺夫指数计算公式：式： 利用李雅普诺夫指数利用李雅普诺夫指数 ，相空间内初始时刻的两点距离将随，相空间内初始时刻的两点距离将随时间时间( (迭代次数迭代次数) )作指数分离：作指数分离： 在一维映射中在一维映射中 只有一个值，而在多维相空间情况下一

23、般就只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个有多个 i ，而且沿相空间的不同方向，其，而且沿相空间的不同方向，其 i ( (i=1,2,)值一般值一般也不同。也不同。 )exp(00nn-nyxyx李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数nyxyxnnexp00-00yx - 经过经过n次迭代次迭代0i0tiet0)(0i设设 为多维相空间中两点的初始距离，经为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的次迭代后两点的距离为：距离为：式中指数式中指数 i 值可正可负。值可正可负。 表示沿该方向扩展，表示沿该方向扩展， 表表示沿该方向收缩。在经过一段时间示沿

24、该方向收缩。在经过一段时间( (数次迭代数次迭代) )以后，两个不同以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆圆演变为椭圆。1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预示着系统的不稳定性。示着系统的不稳定性。 研究表明，研究表明，系统只要有一个正

25、值的李雅普诺夫指数就可出系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出现混沌运动现混沌运动。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。 吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 我们可按我们可按 的符号对吸引子的性质进行分类，对于三维空的符号对吸引子的性质进行分类，对于三维空间，有以下几种吸引子类型：间，有以下几种吸引子类型：i1 1、三个指数、三个指数 、 和和 均为负值，相点收缩到一点，即均为负值，相点收缩到一点，即系

26、统存在不动点；系统存在不动点；2 2、三个指数中有一个为零，另外两个为负值，相点收缩在一、三个指数中有一个为零，另外两个为负值，相点收缩在一个环上，即极限环；个环上，即极限环；3 3、三个指数中有两个为零，一个为负值，相点收缩在一个二、三个指数中有两个为零，一个为负值，相点收缩在一个二维的环面上，这是二维环面吸引子；维的环面上，这是二维环面吸引子；4 4、三个指数中有一个为正值，此时系统将出现奇怪吸引子。、三个指数中有一个为正值，此时系统将出现奇怪吸引子。123吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数 吸引子可存在

27、于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌超混沌。推广到高维。推广到高维空间后，由指数空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：归纳如下： ),(432, 1),(432, 1), 0(-),(-), 0 , 0(-), 0 , 0 , 0(-), 0 ,(-), 0 ,(-吸引子类型吸引子类型 维数维数不动点不动点 D =

28、0极限环极限环D = 1二维环面二维环面D = 2三维环面三维环面D = 2奇怪吸引子（混沌）奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整数）（非整数）超混沌超混沌D = 高于高于3非整数非整数1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数平方映射的平方映射的 指数指数 利用计算程序可以方便地求得一维映射的利用计算程序可以方便地求得一维映射的。分析分析：由图可见平方映射的指数由图可见平方映射的指数随参数随参数值变化起伏很大，值变化起伏很大，有一个有一个临界值临界值, ,当当 时指数变化但始终处于负值。当时指数变化但始终处于负值。当 指数开始转为指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌

29、正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。状态。1.00 3.00 周期周期1轨道轨道(不动点不动点)3.00 3.4495 周期周期2轨道轨道3.4495 3.5541 周期周期4轨道轨道3.5541 3.5644 周期周期8轨道轨道3.5644 3.5688 周期周期16轨道轨道5699. 3ccc1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃侬吸引子埃侬映射埃侬映射-n1+nn21+n1bxyyxxn 埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬( (M.Henon) )首先计首先计算的离散型映射算的离散型映射

30、, ,它有两个控制参数它有两个控制参数 和和 b：埃侬映射所描述的体系随参数埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同的取值不同而不同： 当当b = 1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统； 当当b 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。统。 当当b = 0时退化为一维映射时退化为一维映射：当当xn与与xn+1的取值的取值0，1时，时，则参数则参数 的取值的取值0，2。这个一维映射与这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质平方映射有相同的复杂动力学性质。

31、21+n1nxx-埃侬吸引子埃侬吸引子小方块是放大小方块是放大20倍后的局部图形倍后的局部图形 取参数取参数 1.4，b0.3（即（即 b 1 的耗散体系），进行计算，结的耗散体系），进行计算，结果显示在果显示在(x,y)相平面上：相平面上： 开始时，计算出的点在平面上开始时，计算出的点在平面上随机地出现，随着计算继续，计随机地出现，随着计算继续，计算得的点开始显现成某种图形，算得的点开始显现成某种图形，程序运行越久图形中显现出越多程序运行越久图形中显现出越多的细节，形成如香蕉形状，具有的细节，形成如香蕉形状，具有无穷层次无穷层次。-n1+nn21+n1bxyyxxn2. 奇怪吸引子奇怪吸引子

32、 -埃侬吸引子 指数指数 随参数随参数 的的变化变化 1. 在在 时始终为负时始终为负值；值； 2. 在在 附近由负值附近由负值转为正值，并随转为正值，并随 增加出增加出现一些规则运动的窗口。现一些规则运动的窗口。 3. 当当 时轨道变得时轨道变得不再稳定，因此曲线也在不再稳定，因此曲线也在此终止。此终止。 4.在在 处计算得处计算得: : 04. 104. 142. 140. 1419. 0a埃侬吸引子的埃侬吸引子的 指数指数b0.3 的最大李氏指数的最大李氏指数 随随 的变化曲线的变化曲线2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃侬吸引子埃侬吸引子的埃侬吸引子的 指数指数 埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，上述已计算出正值描述，上述已计算出正值指数指数 ，现在求第二个负值指数，现在求第二个负值指数 。 对于二维映射，迭代使相空间圆变为椭圆。对于二维映射，迭