初中数学特殊的平行四边形

1、4特殊的平行四边形知识点基本要求略高要求较高要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判左，会用菱形的性质及 判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关 问题正方形会识别正方 形掌握正方形的概念、性质和判左，会用正方形的性 质及判定解决简单问题会用正方形的知识解决有 关问题1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.回还具有自己独特的性质: ® 边的性质：对边平行且四边相等. 角的性质：邻角互补,i 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称,也是7菱形的面积等于底乘以爲，等于

2、对角线乘积的一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.3. 菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形4. 三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线. 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质.定理：三角形的中位线平行第三边且长慶等于第三边的一半.5. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

3、6. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形.矩形.菱形.它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等 角的性质：四个角都是直角. 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等.回每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是中心对称图形，也是M. 平行四边形、矩形.菱形和正方形的关系：(¼)7. 正方形的判定判定：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定：有一个角是直角的菱形是正方形.板块一、菱形【例1】已知菱形ABCQ的两条对角线AC, BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【解析】如图，过点A作AE丄BC于E, AC BD = BC AE 9又AC BD =

4、AB29得AE = AB9 ZABC = 30q 9 ZBA£) = 150°【答案】150°【例2】 已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC CD上的点，且ZB = ZE4F = 60% Zft4E = 18。求:ZCEF的度数.B E【解析】连接AC9 T四边形ABCD为菱形 AB = BC = CD = AD ABC和ZVlCQ为等边三角形 AB = ACf B = ZACD = BAC = 60QJ ZEAF = 60°： ABAE = ZCAF：.ABEACF AE = AIV AEAF = 60P：.EF为等边三角形 ZAEF = 60

5、76;V ZAEC = AB+ BAE = ZAEF+ ZCEF：.ZCEF = I 8°在矩形.菱形的定理题中，有时也常连对角线.把四边形问题转化为三角形问题.【答案】18。【例3】问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF的中 点，连结PG. PC.若ZABC = ZBEF = 60°,探究PG与PC的位宜关系及竺的值.PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上而问题中线段PG与PC的位置关系及竺的值；PC（2）将图1中的菱形B

6、EFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边 加在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在中得到的两个结论是否发 生变化？写出你的猜想并加以i正明.（3）若图1中ZABC = ZBEF = 2（0o<<90o）,将菱形BEFG绕点”顺时针旋转任意角度，原问 题中的英他条件不变，求竺的值（用含的式子表示）.PC【解析】省略【答案】线段PG与PC的位置关系是PG丄PC;= 3 .猜想：（1）中的结论没有发生变化.证明：如图，延长GP交AD于点H,连结CH, CG. P是线段DF的中点， FP = DP.由題意可知AD/FG ZGFP = ZWP.

7、又 ZGPF = HPD,：.SGFPSHDP , ：. GP = HP9 GF = HD.四边形 ABCD是菱形，：.CD = CB9 HDC = ZABCW由ZABC=ZBEF = 60° 9且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线 上，可得ZGBC = 60°：.HDC =乙 GBC 四边形BEFG是菱形，: GF = GB, ：. HD = GB ：.GBC9 ：. CH = CG9 乙DCH = ABCG ：.DCH + ZHCB = ZBCG +ZHCB = 20q9 即 ZHCG = I20。V CH=CG9 PH = PG,：.PG

8、丄 PC, ZGCP = ZHCP = 60°. PG疋=510PG矿tan(9d).证明过程略.【点评】本题是一道探究性的几何综合題，本題的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度,本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的.【例4】如图：菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是MBD内任一点，将ABPD绕点B旋转到ABQC 的位置.贝J:(1) 当四边形BPDQ是平行四边形时，求ZBPD；(2) 当APQD是等腰直角三角形时，求ZBPD；(3) 若ZAPB=IOOo,且APQD是等腰三角形时，求ZBPD【答案】（1）连接PQVABD. ABCD都是等边三角形 ZA

9、BD=ZDBC=60°"BQC是由ABPD绕点B旋转得到 ZPBD=ZQBC：.ZPBD+ ZDBQ= ZQBC+ ZDBQ：.ZPBQ=ZDBC=60。：.ZBPD=I20。（2）分三种情况： 当ZDP = 90o, PD=PQ 时由题意，BP=BQ,由（1）, ZPBQ=60Q ：'BPQ为等边三角形， ZBPQ=60。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+90°= 150° 当ZPD = 90o, DP=D2 时同理得ABPQ为等边三角形，ZBPQ=60° ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+45°= 105&#

10、176; 当ZPQD = 90S DQ=PQ 时同理得bBPQ为等边三角形，ZBPQ=60°：.ZBPD= ZBPQ+ ZDPQ=60。+45。= 105°（3）也分三种情况： 当PD=PQ时Y ZABD= ZPBQ=60S ：. ZABP= ZDBQ 又 AB=DB, PB=QB, ： ZBPQ'DBQ：.ZDQB=ZAPB=IOoOV ZPQB=60% ：. ZPDQ= ZPQD=40°：.ZDP0=100。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+100°= 160° 当DP=DQ时则 ZDPQ=ZDQP=40。 ZBPD= ZB

11、PQ+ ZDP=60o+40°= 100° 当DQ=PQ时则 ZDPQ=ZPDQ=Hy：.ZBPD= ZBPQ+ ZDP(2=60o+70°= 130°板块二、正方形【例5】 已知正方形ABCD,在AP、AC上分别取G F两点，EDiAD = 2FC： AC.求证：MEF是 等腰直角三角形.【解析】省略【答案】解法一：如图，过F作HGC£交AD、Be于H、G ,罡根F、ACGF均为等腰直角三角形 AH = HF = BG V hgcd9 FC _HD aczdV ED 2FC ED 2HDAD AC AD AD故 ED=2HD ： EH = H

12、D = CG = FG,RIBGF 竺 RtAFHE, : BF = FE, ZEFH = ZGBF 而 ZBGF + ABFG = 9QP 9 ZEFH+ ZBFG=90° 9 打 ZBFE = 90。,：.MEF为等腰直角三角形解法二：如图，连接DF,作FH丄ED于H显然由正方形对称性可知3F = M, ABFC = DFCFCFH 5 FHD752FC ED盂二兀ED = 2HD, .EH = HD,： EF = DF , AEFH = ZDFH : EF = BF ZDFH = AFDC9 ZBFD = ZBFE+2ZDFH = ZBFE+2ZFDC ZBFD = 90Q+

13、2 AFDC 9 ：. ZBFE = 90。/. Ez是等腰直角三角形.解法三：如图，过F作FH丄DC于H延长EF、DQ交于G ,连接BG.则阳AZ儿 FH FC = AD ACP ED 2FCX. =AD AC：.ED=IFH ,即为AGDE的中位线 EF = FG9 DH = HG 又 FH = HC, AE = AD-ED = DC - 2HC = DH-HC = HG - HC , ' AE=CG ：.BE = BG 9 ZABE = ZCBG ：.ZEBG = ZABC=90° 3F是等腰直角三角形BGE斜边上的中线，: BF 丄 EF , BF = EF 故SBE

14、F是等腰直角三角形.解法四：如图，过F作FG丄AC交BC于G ,过E作EH CD交AC于H ,连接HG显然FGC是等腰直角三角形， FC = FG9 ZFGC=45o. ZBGF = I 35° 又 Y EH /DC 9： ZEHC = I 35° = ZBGF , = = .AD AC AC FH = FC = FG, HGC是等腰直角三角形： ZHGC = 90。 HG / DC 又阳 DC,: E、H、G 共线.： BG = AE = EH SBGFgAEHF 9右 BF = EF, ABFG = ZEFH 久 ZBFG+ZAFB = 90。： ZEFH+ ZAFB

15、=网,即ZBFE = 90o. /. ABEF是等腰直角三角形.【例6】如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE. CE与加相交于点F , 贝IJZAro =1 OnO _ Q _ 600 【解析】AAFB 竺 'CFB, ZFAB = ZFCB =一一 = 15% 故 ZAT> = 45o + 15o = 60o2【解析】60°【例7】如图所示，43CD是正方形，E为3F上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则ZEAB=【解析】省略【答案】连接CE,作过B、E点的AC垂线，垂足分别为H,G,则四边形BEGH是矩形,GE = BH=丄 AC =

16、丄 AE92 2所以 ZG4E = 30o,所以 XEAB = I 5°.【例8】如图，点M, N分别在正方形ABeQ的边BC, CD上,已知MCN的周长等于正方形ABCQ周长的一半，求ZMAN的度数【解析】省略【答案】MN = BM + DN ,延长CQ至,使MD = BM, 证明 ADM,ABM, AM,N 竺AMN ,测得乙MAN = ZMyN =丄ZAM = 45°2【例9】如图所示，任直角梯形ABCD中，AD/ BC . ZADC = 90°. /是AD的垂直平分线，交AD于点M ,以腰AB为边作正方形创迟，作EP丄/于点P，求证2EPAD2CD【解析】

17、省略【答案】直接证明2EPAD = 2CD不太可行，可转化成证明EPADCD 9而丄AD = AM ,故进而考2 2虑到 AM . EP集中到一条线段上，然后将CQ也平移过来.我们将视线集中在正方形ABFE之 中通过ABGSEHA可以得证.过A点作3C的垂线.过P作AG的垂线，垂足分别为G . H ,则有HGPN为矩形，ZBAG = 90。-ZEAH = ZAEH ZABG ×90o - ZBAG ZEAH 又因为AB = AE 9所以ABGSEHA所以 2EP + AD = 2HR = 2AG = 2CD【例10】如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABeQ的正方形，

18、AE = a9AF=b ,若SEFGH =，贝H h _ "I =I【解析】MEF竺2HE, AF = DE ,则"丄人_ 1【答案】E3【例11】如图，若在平行四边形ABCD边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形【解析】省略 【答案】证法一：先证明MBF竺竺DA（如图阴影的两个三角形所示）设平行四边形ABCD的中心为O, AB 9 BC9 CD9 QA边上的正方形的中心分别为P , Q9 R9S由平行四边形及正方形的性质知AB = CD = DE,BF=BC=AD因为ZFEM与NAQE的两双对边反向平行，所以"BM = ZND

19、E,ZABF = ZADE （在上式两边各加9（）0）,AEDA9AF=AE又由于ED丄AB及ZDEa = ZBAF9所以AE丄AF （若等角的一纽对边互相垂直，則另一组对边也互相垂直）因为 OR/ AE 且 O/? =丄 AE.OR = OQ 且 OR 丄 O0. 用同样方法可以证明：OP = OQ = OR = OS , 且O/?与OS, OS与OP9 OP与OQ也两两垂苴,从而P, O9 0及Q, O9 S三点共线，进而PR 与QS互相垂直平分于O点，且PR = QS ,故四边形PQRS是正方形.如果我们从证明5QCR9fDR下手，可得到证明二：因为 QC = SDf RC = RDtZ

20、DCB = ZEDN 9ZQCR = ZSDR,所以 'QCRmaR ,从而 QR = RS同证法样，因ZQRC = ZSRD 及 C7?丄 DR9所以QR丄RS用同样的方法可以证明QR = RS=SP = PQ,结合QR丄RS ,四边形PQRS为正方形.正方形除了具有平行四边形的一般性质外，要特别注意利用直角条件【例12】如图，已知四边形ABDE. AeFG都是AMC外侧的正方形，连接DF,若M、/V分别为OF、BC的 中点,求证：M丄BCSLMN=BC.【答案】分别过点从AX F作直线BC的垂线，垂足分别为P、R、Q四边形 ABDE 为正方形，：.AB=BDf ZABD=90

21、76;： ZDBP=ZBAR、：.RDPBRBAR:DP=BR. PB=AR,同 CQ=AR. CR=FQ：.PB=CQ又N为BC的中点，：BN=NC:PB+BN=CQ+NC, MPN=QN在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，N为PQ的中点MNDP. MN=*DP+FQ)=*BR+CR)=舟BC又 DP丄BC, ：. MN丄BC 即：MN丄 BC 且 MN= BC【例13】如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线/】、/2、/3、/4上，这四条直线中相邻两条之间 的距离依次为加、加、A3 (>O, 2>0, 3>0).(1) 求证：h=hit(2) 设正方形ABCD的

22、而积为S,求证：5=(n+2)2+A2:3(3) 若亍加+加=1,用岛的代数式表示正方形ABCD的而积为S.【答案】(1)设AD与/2交于点& BC与人交于点F由已知 BF/ED. BE/FD：.四边形BEDF是平行四边形,.BE=DF又 AB=CD, RtZXABE竺RtZkCDF, .hl=h3(2)作3G丄DH丄/4，垂足分别为G. H在 Rt8GC 和 RtZkCHD 中/ ZBCG+ ZDCH= 180°- ZBCD=90o, ZCDH+ ZDCH=90:ZBCG=ZCDH又 ZBGC=ZCHD=90 BC=CD：.RtGCRtCHD. ：. CG=DH=h3乂 B

23、G=b2+b3, * BCZ = BG2-CGI= (h2+h3)2÷hj2= (h+h2) 2+h2 S=C2= (h1+h2) 2+h2/、33(3) V y/7i+/?2=1, .:/)2=1亍Zh* S= (h+lhi) +2=y712+1G CH【例14】在正方形ABCD的边AB h任取一点E,作EF丄AB交BD于点F,如图1.(1) 将图1中的MEF绕点B逆时针旋转90。，取DF的中点G,连接EG, CG,如图2,贝IJ线 段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写岀你的猜想：(2) 将图1中的ABEF绕点B逆时针旋转180。，取DF的中点G,连接EG, CG,如图

24、3,则线 段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明：(3)将图1中的ABEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G,连接EG, CG.如图3, 则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.图2D4D图3【答案】(1) EG=CG, EG丄CG(2) EG = CG. EG丄CG证明：如图3,延长FF交DC延长线于H,连接GHV ZAEH=90°, ZFBC=90°, ZBCH=90°四边形 BEHC 是矩形，：.BE=CH. ZfHC= 90°又 YBE=EF, ：. EF=CH1 VZfHC=9

25、0°, FG=DG, ：.HG= DF=FGYBC=EH, BC=CD, ：. EH=CDYEF=CH, :FH=DH. ZF=45o 1又 FG = DG, ：. ZCHG= -ZEHC=45° : ZF=ZCHG, ：. AEFGACHGEG=CG, ZEGF=ZCGHVZFHC=90o, FH=DH, FG = DG, ：.HGLDFZEGF+ZEGH=90°ZCGH+ZEGH=90°,即 ZEGC=90°EG 丄 CG(3) EG = CG, EG丄CG证明：如图4,延长CG至H,使GH=CG,连接HF、HE、EC/ GF=GD,上 H

26、GF=ZCGD,GH=GC, HFGCDG：.HF=CD, ZGHF=ZGCD, ：.HF/CDT 正方形 ABCD, ：. HF=BC. HF丄BC是等腰直角三角形，.FF=8E, EF丄BE ZHFE= ZCBE, ：. AHFEACBE:EH=EC, ZFEH=ZBEC, ：. ZHEC=ZBEF=90.FCH为等腰宜角三角形又 TGH=GC：.EG=CG. EG丄CG【例15】如图，正方形ABCD的边长为2,以对角线BD为边作菱形BEFD,点C、E、F在同一直线上(1) 求ZEBC的度数；(2) 求CE的长.【解析】(1)设O为正方形ABCD的中心，过E作EG丄BD于G则 Co丄BD, ZDBC=ASC:菱形BEFD,点C、E、F在同一直线上.CF/BD9 BE=EF=DF=BD