初三数学二次函数与几何综合

1、二次函数与几何综合中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求二次函数1.能根据实际情境了 解二次函数的意义；2会利用描点法画出二次函数的图像；1能通过对实际问题中的情境分析确定二 次函数的表达式；2能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4会利用二次函数的图像求出二次方程的 近似解；1. 能用二次函数解决简 单的实际问题；2. 能解决二次函数与其 他知识结合的有关冋题；重难点1. 理解数形结合思想在函数中的应用；2. 运用并掌握数学思想方法解题；3. 认真审题，对已知条件全面分析、转移和改造；4. 化复杂为单一，拆综合为基本，善于联想与转化是关键.课前预习缝制抛物线要缝

2、制抛物线，先在纸板上画一个任意的角。在角的两边标出等分的线段。一边上的线段与另一边上 的线段的长度必须不同，但每一边上的线段数应该一样。如同该图这样注明线段的数字，然后用线缝制， 从1到J, 2到1, 3到H如此等等。当你缝完以后，缝制品上就会出现抛物线的轮廓，更精确地说，形成 了抛物线的包络。例题精讲模块一二次函数与三角形以二次函数为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成特殊三角形，有以下常见的基本形式:（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形.解这类问题的基本思路是：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察.【例1】 已知

3、二次函数y ax2 bx C交X轴于A, B两点，交y轴于C点，且 ABC是等腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 .【难度】2星【解析】二次函数综合题，此题主要考查了二次函数的性质，根据已知得出AO BO是解决问题的关键.【答案】二次函数y ax2 bx C交X轴于A,B两点，交y轴于C点，且 ABC是等腰三角形当AO BO时，C点坐标为只要不为 0即可.故答案为：y x2 2等（答案不唯一）.【例2】 二次函数y x2 bx C的图象的顶点为 D ,与X轴正方向从左至右依次交于A, B两点，与y轴正方向交于C点，若 ABD和厶OBC均为等腰直角三角形（ 0为坐标原点），则b 2c

4、 .【难度】3星【解析】二次函数综合题此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的表示方法，以及等腰直角三角形的性质等知识，得出2DE AB ,是解决问题的关键.【答案】由已知，得 C0 , cb b 4ac ,o、B2b . b4ac2b b2 4c过D作DE AB于点E ,则2DE AB ,即 2 b 4cb2 4c ,得：b2 4c 2 b2 4c ,4 b2 4c 0或 b2 4c 2 .又T b2 4c>0 ,、 b2 4c 2 .又 T OC OB，即：C b 4c ,得：b 2c I b2 4c 2 .2故答案为：2.y*【例3】 如图，已知二次函数的图象经过点A 3, 3、B 4

5、 , 0和原点0 P为二次函数图象上的一个动点，过点P作X轴的垂线，垂足为 Dm，0 ,并与直线OA交于点C (1) 求出二次函数的解析式；(2) 当点P在直线OA的上方时，求线段 PC的最大值；(3) 当m>0时，探索是否存在点 P ,使得 PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标; 如果不存在，请说明理由.【难度】4星【解析】代数几何综合题，本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，(3)小题有一定的难度.【答案】(1)设y ax X 4 ,把A 3, 3代

6、入得：a 1,函数的解析式为 y 2 4x ,23 29(2) 0vmv3, PC CD PDm2 3mm24 -1 V 0，开口向卜，有最大值，399当D -, 0时，PCmaX,当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是- 2 44(3)当 OVm3时，仅有 OC PC ,所以 m2 3m .2m,解得m 3、. 2， P 32 , 1 2 2 ；2 m3m ,OC.2m ,DP22 m2m m24当 m 3 时，PC CD PD由勾股定理得：OP2 OD2当OCPC时，m2 3m -. 2m,解得m32 , P 32 , 1 2 2 ；当OCOP时，.2mm2 m2m24 ,解得：m5

7、 , m23 (舍去)，P 5,5 ；当PCOP时，2c22mm3m2 mm 42,解得：m 4, P 4 , 0 ,综上所述:存在，P的坐标是 32,122或3 J2,1 22或5 ,5或4 , 0 .【例4】【难度】【解析】【答案】已知二次函数y X2 bx c图象的对称轴是直线 X 2 ,且过点A 0, 3 .(1) 求b、C的值；(2) 求出该二次函数图象与 X轴的交点B、C的坐标；(3) 如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点 M .问在这个一次函数图象上是否存在点P ,使得 PBC是直角三角形？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由.4星代数几何综合题

8、，本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线等知识点，解此题的关键是求出点P的坐标，此题难度较大用的数学思想是分类讨论思想.(1) 二次函数y X2 bx C图象的对称轴是直线 X 2 ,且过点A 0, 3 ,代入得： 2 , 3 C ,2 1 解得：b 4, C 3.(2) 把 b 4, C 3代入得：y X2 4x 3,当 y 0 时，X 4x 3 0 ,解得：X13, X 1 , B 3 , 0 , C 1 , 0 ,二次函数图象与X轴的交点B、C的坐标分别是 3,0 ,1, 0 .(3) 解：存在：2 2理由是：y X 4x 3= X

9、 21 ,顶点坐标是 2 ,1 ,设一次函数的解析式是 y kx b ,5把 0,0 ,2,1代入得01b2kb ,解得: y设P点的坐标是取BC的中点M,以M为圆心，以BM为半径画弧交直线于则Q、H符合条件，由勾股定理得;21 2-X 01 ,解得:2Xi6X25过B作BFX轴交直线于3代入y过C作CEX轴交直线于同法可求： E2,1,【例5】 如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线1y r 4的图象与该二次函数的图象交于A点8, 8 ,直线与X轴的交点为C,与y轴的交点为B (1) 求B点的坐标与这个二次函数的解析式；(2) P为线段AB上的一个动点(点 P与A、B不重合)，过P点作X轴

10、的垂线与这个二次函数 的图象交于D点，与X轴交于点E .设该线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的 函数解析式，并写出自变量 t的取值范围；(3) 在(2)的条件下，在线段AB上是否存在点P ,使得以点P、D、B为顶点的三角形与 BOC 相似？若存在，请求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由.【难度】3星【解析】二次函数综合题。此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识，熟练应用 相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.1【解析】(1)令X 0,代入y -X 4 , y 4 , B 0 ,4设ya X bx C与X轴交与A 1, 0 , B 3, 0两点. (1)

11、求该抛物线的解析式; (2) 设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ,把8 , 8代入得：28 a8, a1?1 : y X88(2)点P的横坐标为t , PE1t 4DE1t2281 1 21 21 PDPE DE -t 4 -t,h-tt 4OVtv82 882(3)存在，当 PDB BoC 90时, BD/ CEPBDBCO PDB BOC , PD BD BO CO令y 11t2 It 4, C 8 , 0 , CO 8 8-4化简得：t232 解得:t4 2 ； t24 2v0 (不合题意，舍去)把t4 2代入y1 -X210点P的坐标为 4,2 , 2 2

12、4 当 PBD BOC 90时，t PD / BO , DPB CBO PBD BOC t DPBPDB 90 , BDFPDBI 90 BDFDPBCBO T BFDCOB , DFB BOCBF化简得：t：216t32! 0 解得：解得t184 6 ； t284.6v 0把t184 6代入1yX 4 ,得：y2.62 P点的坐标为 84 6 , 2 6 ,当P点的坐标为8 46,2 6或4.2 ,过点D作DF OB , BOC相似.1 2BO OF 4-t ,8 DF BO41 ±2丄4 tBF t8CO , 48(不合题意，舍去)2 24时，以点P、D、B为顶点的三角形与【例6

13、】如图，抛物线yQ ,使得 QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由(3) 在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使 PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及 PBC的面积最大值若没有，请说明理由【难度】【解析】【答案】4星二次函数与三角形综合，(1)将 A 1, 0， B抛物线解析式为：(2)存在理由如下：由题知 A、B两点关于抛物线的对称轴 X1对称.轴对称与线段和差最值问题，坐标与面积2X bx C中得,1 b C9 3b cX2 2x直线BC与X 1的交点即为Q点，此时 QAC周长最小2 y X 2x 3.C 的坐标为: 直线BC解析式为：y X

14、 3. Q点坐标即为1的解,X 3 Q 1 , 2(3) 存在.2,若S四边形BPCO有最大值，则Sa BPC就最大.2理由如下：设 P点X, X 2x 3且 3VXVo窃边形BPCO ：= SRt BPES直角梯形PEOC :1BE PE1OE PE OC221 X 32 X2x31 X2 X2x 332223 V3927A2228S BPCS四边形BPCOSa BOCS四边形BPCOC9丄27927SABPC最大值=小+2828_ 9 27四边形BPCO最大值=二+二2 8当 X 3 时，X2 2x 32，4一 315点P坐标为 ，一24模块二 二次函数与四边形以二次函数为载体，探讨是否存

15、在一些点，使其能构成特殊四边形，有以下常见的基本形式：(1) 抛物线上的点能否构成平行四边形；(2) 抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；(3) 抛物线上的点能否构成梯形.特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的 关键.【例7】(2019?孝感)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为2 , 0 ,直线y X 1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上.(1) 二次函数的解析式 y = 1 X2 X 1 ；4(2) 证明点 m , 2m 1不在(1)中所求的二次函数的图象上；(3) 若C为线段AB的中点，过C点作CE X轴于E点，CE与二次

16、函数的图象交于 D点. y轴上存在点K ,使以K , Z , D , C为顶点的四边形是平行四边形，贝UK点的坐标是0 , 5 或 0,4 ； 二次函数的图象上是否存在点P ,使得SaPOE 2SABD ?求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【难度】3星【解析】二次函数综合题本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断 点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心.【答案】(1)解：y 12 X 1(2)证明：设点 m , 2m 1在二次函数y 12 1的图象上,41 2 2则有：2m 1 m m 1,整理得m 4m 8 O,42 = 44 816V O ,原方程无解，

17、1 2点 m, 2m 1不在二次函数y X X 1的图象上4(3) K 0,3 ; 二次函数的图象上存在点 P ,使得SPoE2S ABD ,如图，过点B作BFX轴于F ,贝U BF/ CE/ AO ,又C为AB中点, OE EF ,由于y1 2-XX41和y X 1可求得点B 8 , 9 . E 4, 0 ,D 4, 1,C 4,5 . AD/ X 轴， S ABD2 S ACD21 4 416 .21 2设 P X, - X2 X 1 ,41 1 2 1 2由题意有：SPOE - 44 X X 12X 2x 2,1 2T SPOE 2&2 232 ,解得 X 6或 X 10,21当

18、 X 6 时，y 366 116 ,41当 X 10 时，y 100 10 116 ,4存在点 P 6 , 16 和 P 10 , 16 ,使得 POE 2 ABD 同样， POE的边OE上的高为16,即点P的纵坐标为16,1 2然后由16X2 X 1可求出P点坐标4【例8】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在X轴的负半轴上，边 OC在y轴的正半轴上，且AB 1 , OB ,3 ,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点 E ,点B的对应点为点 F ,点C的对应点为点 D ,抛物线 y a2 b C过点 A , E , D .(1) 判断

19、点E是否在y轴上，并说明理由；(2) 求抛物线的函数表达式；(3) 在X轴的上方是否存在点 P ,点Q ,使以点O , B , P ,Q为顶点的平行四边形的面积是矩 形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P ,点Q的坐标；若不存在， 请说明理由.【难度】5星【解析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等知识点，综 合性强，能力要求较高考查学生数形结合的数学思想方法.【答案】(1)点E在y轴上理由如下：连接 Ao ,如图所示，在 Rt ABo中，. AB 1 , BO 3 , AO 2 , Sin AOB - , AOB 302由题意可知：A

20、OE 60： BOE AOB AOE 306090 .点B在X轴上，点E在y轴上.(2)过点D作DM X轴于点M OD 1 , DOM 30：在 Rt DOM 中，DM , OM2 2点D在第一象限，点D的坐标为 ,-2 2由(1)知EO AO 2 ,点E在y轴的正半轴上点E的坐标为0,2 ,点A的坐标为抛物线y2ax bx C经过点E , C由题意，将A3 ,1 ,D F ,代入yax2bx2中得,3a 3b 2 13b21 ,解得2895 39所求抛物线表达式为：y5*3X9(3)存在符合条件的点 P ,理由如下：矩形ABOC的面积=AB BO . 3以O、B、P、Q为顶点的平行四边形面积

21、为2 3 .由题意可知OB为此平行四边形一边,13又:OB .3 , OB边上的高为 2依题意设点P的坐标为 m, 2点P在抛物线y82 5L3 2上998 25.3-mm 229 9解得 m1 0, m25 3 ,853 P 0, 2 , P2, 2 .8以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， PQ / OB , PQ OB ,3 ,当点R的坐标为0 , 2时，点Q的坐标分别为 Qi3 , 2 , Q2 3 , 2 ,当点P2的坐标为5卫,2时，8点Q的坐标分别为Q313卫，2 , Q4 3 - , 28 8【例9】 如图，已知二次函数y ax1 2 C图象的顶点为点M 0,9 ,且经

22、过点A 3, 0【难度】4星【解析】代数几何综合题。本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和平行四边形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题C 9【答案】（1）由题意得，解之，得9a c 0故二次函数的关系式为 y X29.（2）D X , y在二次函数的图象上，且位于第三象限， yv 0 ,即卩y>0, y表示点D到AC的距离. AC是平行四边形 ABCD的对角线，1 2 S 2SaACD 2 AC y 8y 8x 72 2当 y 0 时，X2 9 0,得 X 3,二次函数的图象与 X

23、轴的另一个交点是3, 0 ,自变量X的取值范围是-3v X V 0. 过点D作DE AC ,垂足为点E ,点B在二次函数的图象的对称轴上 OA 3 ,由厶 ABO CDE 得 CE OA 3, OE=2 ,当 X 2 时，y 5 , S 40 ; 根据题意，当S 64时，即8x27264 .解之，得X11 , X21 .故所求的点D有两个，分别为D1 1, 8 , D2 1 , 8 .点D1 1, 8不满足DC DA ,平行四边形 ABCD不是菱形（或者说明点 D不在第三象限）；点D21,8满足DC DA ,平行四边形 ABCD是菱形. 当AC BD ,且AC BD时，平行四边形 ABCD是正

24、方形，此时点D的坐标只能是 1,4点1 , 4不在二次函数的图象上，故不存在这样的点D ,使平行四边形 ABCD为正方形.15【例10】如图，P为正方形 ABCD的对称中心，A 0 ,3 , B 1 ,0 ,直线OP交AB于N , DC于M ,点H从原点O出发沿X轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为 t 求：(1) C的坐标为；(2) 当t为何值时， ANO与厶DMR相似？(3 )求厶HCR的面积S与t的函数关系式；并求以 A ,B ,C ,R为顶点的四边形是梯形时 t的值 及S的最大值.【难度】6星【解析】本题主要考察相似三角形

25、的判定和性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值，正方形的 性质.【答案】(1)做CQ X轴，正方形 ABCD , AB=BC , ABC=90° CBQ= OAB , AOB也厶 BQC , CQ=OB , BQ=OA , A (0 , 3), B (1 , 0), BQ=3 , CQ=1 , OQ=4 , C (4 , 1);(2) t P 是正方形的对称中心，由 A ( 0 , 3), C ( 4 , 1) , P (2 , 2); MPO=45°点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t , OR= . 2 t , OH=t , RH/ y轴，即

26、R、H的横坐标相同；t AB/ CD , DMR = ANO ,若 MNO 与DMR相似，贝 当 MDR =45° 时，R、P 重合，T R ( 2 , 2) , t=2; 当 DRM =45° 时，DR / y 轴， R (3 , 3) , t=3 ,当 t=2 或 t=3 时，ANO 与DMR 相似.(3) T R 速度为2, H 速度为 1,且 ROH=45° , tan ROH=Q, RH始终垂直于 X轴, RH=OH=t ,设AHCR的边RH的高为h ,h=4 - t. SHCR h t 1t24t 1，2 I '21 2 1 2 S-t2t (

27、 0 V t 4); S -t 2t (t > 4);2 2以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：1.顶边和底边分别为 BC、AR,此时BC/ AR.延长AD ,使其与OM相交于点R, AD 的斜率=tan BAO= , 直线 AD 为：y= X +3 . R 坐标为(4.5, 4.5),J3此时四边形ABCR为梯形为梯形， t=4.5 2 .顶边、底边分别为 CR、AB ,此时CR / AB ,且R与M重合. CD的斜率=-3,且直线 CD过点C,直线 CD 为：y - 1= - 3 (X - 4), y= - 3x+13 , OM 与 CD 交于点 M (即 R) , M 为 1

28、3 , 13 ,44此时四边形ABCR为梯形,134【难度】5星4当 CR / AB 时，t当 AR / BC 时，t3299111-,S-,当 BR / AC 时，t- ,S.28318课后作业1. (2019年河南)如图，在平面直角坐标系中， 已知矩形 ABCD的三个顶点B 4, 0、C 8, 0、D 8, 8 抛物线y ax2 bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段 AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段 CD向终点D运动.速 度均为每秒1个单位长度，运动时间为 t秒.过点P作PE AB交AC于点E . 过点E作EF P

29、E于点F ,交抛物线于点 G当t为何值时，线段 EG最长？ 连接EQ .在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值.【解析】二次函数综合题。抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程 组，再求未知系数，这种方法本题比较适合对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件 以静制动”，用未系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值.【答案】（1）因为点B的横坐标为4,点D的纵坐标为8,AD/ X轴，AB/ y轴，所以点A的坐标为4 ,8 .将2A 4 ,8、C 8 ,0两点坐标分别代入 y ax .抛

30、物线的解析式为：y 2 * 4x .2（2）在 RtAPE 和 RtAABC 中，tan PAE16a4b8解得a1bx得-,b 4 ,64a8b02-PE _ BC ?即PE4APABAP811 PE -AP -t ,22PB点E的坐标为 41-t, 82点G的纵坐标为:；t1t2 EG -t2 881 2 -t 81 2-t84时,线段EG最长为2.3共有三个时刻.A .当EQ QC时，因为1 -t, 2t , QCt ,所以根据两点间距离公式,得:1 2 2 22t -t 88 t , 28 2t t ,整理得 13t144t3200,解得t 40或t 104 81313（此时E、C重合

31、，不能构成三角形,舍去）B .当EC QC时，因为8, 0 , E 4 1t , 8 t , QC2t ,所以根据两点间距离公式,t2 ,整理得 t280t3200,2得:4 1t 82解得t 4016 .5 ,t 4016.5 >8 （此时Q不在矩形的边上，舍去）C .当 ECEQ时,因为Q18, t , E 42t, 8 t , C8 , 0 ,所以根据两点间距离公式,22t解得t0 （此时Q、T曰 ，16丄40于疋t1t2313C重合，不能构成三角形，舍去）或得: t,t340 16 5 .2.如图，已知抛物线y a(x 1)2 3 3(a 0)经过点 A( 2, 0),抛物线的顶

32、点为D ,过O作射线OM / AD .过顶点D平行于X轴的直线交射线 OM于点C , B在X轴正半轴上，连结 BC .(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点P运动的时间为t(s).问 当t为何值时，四边形 DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3) 若OC OB ,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1个长度单位和2个长 度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t，连接PQ ,当t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【难

33、度】4星【解析】二次函数综合题。本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.【答案】(1) 抛物线y a(x1)23 3(a0)经过点A 2 ,0 , 09a 3 3 a3二次函数的解析式为y22 3XX8 3333(2) D为抛物线的顶点 D 1,3 3 过 D作DN QB于N ,则DN3 3 , AN3 , AD323、326 DAO 60 OM / AD当AD OP时，四边形DAOP是平行四边形. OP 6 t 6 S 当DP QM时，四边形DAOP是直角梯形过 O 作 OH AD 于 H , AO 2,则 AH 1(如果没求出DAQ 60°可由RtAO

34、HAS Rt DNA求AH 1) OP DH 5, t 5 S 当PD OA时，四边形DAOP是等腰梯形 OP AD 2AH 6 2 4 t 4 SIB综上所述：当t 6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.（3）由（2）及已知，COB 60 ° OC OB,A0CB是等边三角形 OB OCAD 6 ,OPt,BQ2t , . OQ6 2t 0 t 3过P作PEOQ于E ,则PE2t''SBCPQ26 3.3 12(62t)2=Jt22-6332 8当t -时，SBCPQ的面积最小值为2 83439 一 43 一 433 3此时 OQ - ,0P

35、 = ,0E QE24PQ2烧2329 43. （2020年北京市）在平面直角坐标系 XOy中，抛物线y = 2+ -5m x+ m2-3m+ 2与X轴的交4 4点分别为原点O和点A ,点B （2, n）在这条抛物线上.（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作X轴的垂线，与直线 OB交于点E,延长 PE到点D ,使得ED= PE,以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形 PCD （当P点运动时，C点、 D点也随之运动）. 当等腰直角三角形 PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 OP的长； 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出 发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过 Q点作X轴的垂线，与直线 AB交于点F ,延长QF到点M ,使得FM = QF ,以QM为斜边，在QM的 左侧作等腰直角三角形 QMN （当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.【难度】5星【解析】本题是二次函数的