杆系结构单元

1、第五章第五章 杆系结构单元杆系结构单元5.1 概述概述杆系结构杆系结构主要有：梁、拱、框架、桁架等，它们主要有：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。常可离散成杆元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架坐标系坐标系 有限元中的坐标系有有限元中的坐标系有结构坐标系结构坐标系和和单元坐标系单元坐标系。对于一个结构，结构坐标系一般只有一个；而单元对于一个结构，结构坐标系一般只有一个；而单元坐标系有很多个，一个单元就有一个单元坐标，并坐标系有很多个，一个单元就有一个单元坐标，并且对每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型且对每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元的单元刚度矩阵相同，给单元分

2、析带来方便。单元的单元刚度矩阵相同，给单元分析带来方便。XYPxyxy 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有类型。它们都只有2个节点个节点i、j。 约定：约定：单元坐标系的原点置于节点单元坐标系的原点置于节点i；节点；节点i到到j的的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。轴的正向。 y轴、轴、z轴都与轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元，对于梁单元， y轴和轴和z轴分别为横截面上的两个惯轴分别为横截面上的两个惯性主轴。性主轴。xyzij5.2 杆单元杆单元

3、下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长，长度为度为l，弹性模量为，弹性模量为E，轴向分布载荷为，轴向分布载荷为px。单元有。单元有2个结点个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴，单元坐标为一维坐标轴x。ijxlLINKpxujui1、一维杆单元、一维杆单元单元结点力向量：单元结点力向量：jieFFF（1）位移模式和形函数）位移模式和形函数 位移模式位移模式单元结点位移向量单元结点位移向量 jieuu 因为只有因为只有2个结点，每个结点位移只有个结点，每个结点位移只有1个自由度，个自由度，因此单元的位移模式可设为：因此单元的位移模式可设为：xaau21（5-3

4、）式中式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时，时， u=ui x=xj 时，时， u=uj确定。再将由此确定的确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（其代入式（5-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（5-4）a1a2 形函数形函数 将式（将式（5-4）改写为下列形式）改写为下列形式 eNu（5-5）式中形函数式中形函数N为为 )()(1xxxxlNNNijji（5-6）（2）应变矩阵）应变矩阵一维铰接杆单元仅有轴向应变一维铰接杆单元仅有轴向应变 dxdu将式（将式（5-5）、（）、（5-6）代入上式，得）代入上式，得 el111

5、上式也可写为上式也可写为 eB（5-7）式中式中B为应变矩阵为应变矩阵 111lBBBji（5-8）由应力应变关系由应力应变关系 （3）应力矩阵）应力矩阵E将式（将式（5-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（5-9）式中式中S为应力矩阵为应力矩阵 11lES（5-10）(4) 单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵仍式（单元刚度矩阵仍式（1-33）推出）推出 dvBDBkvTe（1-33）对于等截面铰接杆单元（截面积为对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，故有：故有： dxBDBAkvTe(5-11) 111lBBBji (5) 等效节点力等效节点力 单元上作用分布力单元上

6、作用分布力px，则等效节点力计算公式仍，则等效节点力计算公式仍为以下形式为以下形式 dxpNFxTe当分布力集度当分布力集度px为常数时，有为常数时，有 112)()(1lpdxpxxxxlFxxijxxepjix（5-13）)()(1xxxxlNNNijji1111lEAke（5-12）将式（将式（5-8）代入上式，得）代入上式，得例例5-1 一维拉杆一维拉杆图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。单元刚度矩阵： 2111113) 1 (lAEk1 23211112)2(lAEk2

7、3431111)3(lAEk3 41111lEAke等效结点荷载：按静力等效原则，有:1123)1(lAF1122)2(lAF112)3(lAF对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:FK设结点1的约束反力为F1，则有: 整体结构平衡方程lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321划去节点1所对应的第1行、行1列 。解得结点位移Eluuu21351101320252432EluEluElu24232281981587单元应力单元应变EAN单元应变：luuijElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(21

8、872、平面、平面桁架桁架杆单元（杆单元（2D LINK1） 1 2 3 4ijxyl（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量 4321e 1 2 3 4ijxy看成局部坐标下的拉压杆（2）位移模式和形函数）位移模式和形函数 位移模式位移模式 由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（式（5-3）、（）、（5-4）。（）。（y方向位移不引起单元力方向位移不引起单元力） 形函数形函数 0)(0)(1xxxxlNNNijji（5-14）)()(1xxxxlNNNijjixaau21eB应变矩阵应变矩阵 B为为01011lBBBji（5-15） （4

9、）应力矩阵）应力矩阵eeSBE应力矩阵应力矩阵 S为为0101lES（5-16）（3）应变矩阵）应变矩阵010120)(0)(1plpdxxxxxlFijxxepji（5-16）(6) 局部坐标单元刚度矩阵局部坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元，0000010100000101lEAke（5-17）1111lEAke(5) 等效节点力等效节点力 静力等效ijxylz3、空间杆单元（、空间杆单元（3D LINK8）（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量 1 2 4 5 3 6 Te654321（5-18） （2）形函数）形函数00)(00)(1xxxxlNij

10、（5-19） （3）应变矩阵）应变矩阵（5-20）0010011lB （4）应力矩阵）应力矩阵 001001lES（5-21） (5) 等价节点力等价节点力 TeplF0010012（5-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元，（5-23）000000000000001001000000000000001001lEAke1111lEAke5.4 梁单元梁单元1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力）局部坐标下单元位移和单元力

11、 单元位移单元位移 TjjiiTevv4321（5-24）其中，其中， vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（5-26）其中，其中， Q剪力剪力 M弯矩弯矩3322dxvdEIQdxvdEIM（5-27）dxdv（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数342321)(xaxaxaaxv（5-28） 位移模式位移模式 设单元坐标位移模式为设单元坐标位移模式为 形函数形函数 由单元两端点的节点位移条件，解出式（由单元两端点的节点位移条件，解出式（5-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写。再代入

12、该式，可将位移模式写为以下形式：为以下形式： ijxy 1 2 3 4l梁单元内一点有梁单元内一点有2个位移：个位移： v、 因为，因为， =dv/dx；仅一个位仅一个位移是独立的，取移是独立的，取 v 。eNxv)(（5-29）式中式中4321NNNNN （5-30）232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（5-31） （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 b与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为： 22dxvd

13、yb（5-32）122tandxvdyyyb1xyy )(122dxdvdxvddxd将式（将式（5-29）代入（）代入（5-32），得单元弯曲应变和单元位），得单元弯曲应变和单元位移之间关系移之间关系（5-34） )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（5-33）（4）应力矩阵）应力矩阵eNxv)( eebbSBEE（5-35）DB (5) 等效节点力等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里

14、仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。点力问题。xyijlpy(x)（5-36） dxxpNFyTlepy)(0 将形函数矩阵将形函数矩阵N代入上式，积分可得分布荷载的代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 1(6)

15、 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为将式（将式（5-34）代入上式进行积分，并注意到）代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵得单元坐标单元刚度矩阵ke:AzdAyI2（5-37） dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB 单元刚度矩阵式单元刚度矩阵式(5-38)适合于适合于连续梁连续梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzz

16、zzzze46612266122661246612223223223223（5-38）整体坐标与局部坐标方向一致。例5-4 变截面梁 有一变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尽寸为b1.6h，铰支端的截面尺寸为bh。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。xy离散化 将梁划分成2个单元，3个结点。每个单元 长度为,截面取平均截面。0)1()1(34. 045. 1IIhbA，0)2()2(52. 115. 1IIhbA 单元刚度矩阵jilllllllllllllEIk2222346612266122661226612ij324661226612266124661252. 1

17、222230)2(lllllllllllllEIk214661226612266124661204. 3222230)1(lllllllllllllEIk 1 2 2 3对号入座，组合整体刚度矩阵 2222222230233633633624363661226612266124661204. 3lllllllllllllllllllllllllEIK 1 2 3123荷载等效结点力向量2112/2/12/2/200200)1 (lplplplpFd3212/2/12/2/200200)1(lplplplpFd约束反力向量TBAAeRMRF000 1 2 312/2/012/2/12/2/012

18、/2/00020002002000200lplpRlplpMlpRlplplplplpRMRFFFBAABAAde总荷载向量引入边界条件 0, 0, 0311vv将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去 ，得 12/02363331804. 3200322222230lplpvlllllllllEI解方程组，得结点位移值0303030204020889. 0003420388. 0EIlpEIlPEIlpv将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力lpRlpMlpRBAA02000708,583. 0,29. 12、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受轴力、剪力、弯

19、矩的平面梁单元 （平面刚架，（平面刚架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4（1）单元坐标单元位移和单元力）单元坐标单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjjiiiTevuvu654321（5-39）其中，其中， ux方向（轴向）位移。方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（5-40）其中，其中， N轴向力轴向力 Q剪力剪力 M弯矩弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，

20、位移模式和形函数可以分别按互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按5.3节节一维拉压杆单元一维拉压杆单元和和弯剪平面梁单元弯剪平面梁单元的结果（式的结果（式5-3和式和式5-28）简单集合而成。）简单集合而成。（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4（5-41）xaau21362543xaxaxaav 形函数形函数式中形函数式中形函数N为：为： eNvuf（5-42） 653241000000NNNNNNN（5-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxx

21、NlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 轴剪弯梁单元轴剪弯梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。）引起的应变之和。单元应变矩阵为：单元应变矩阵为：eB654321BBBBBBB （5-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（5-45） 111lBBBjiN )26()612()46()612(3,lxllxxllxlyBV

22、M (5) 等价节点力等价节点力 xyijl图图4-9qy(x) （4）应力矩阵）应力矩阵 eeSBEE（5-46）qx将式弯剪梁（将式弯剪梁（5-36）、一维杆（）、一维杆（5-11）膨胀成）膨胀成61矩阵后相加，并注意到式（矩阵后相加，并注意到式（5-43），有），有（5-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00（5-11）112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix一维杆弯剪梁最后得等价节点力矩阵最后得等价节点力矩阵dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii06

23、54321（5-47）荷载分布NiQiMiNjQjMj表表 2 几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力2lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze4602606120

24、61200000260460612061200000222323222323（5-48）5.5 坐标变换坐标变换 在在5.3、5.4节中，单元位移和单元力都是按单元节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵。阵属于单元坐标单元刚度矩阵。 进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立结点平衡方程。因此，标轴的分量表示出来，以便建立结点平衡方程。因此，在进行系统分析之前，必须在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力把单

25、元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去。以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去。此外，此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。这一转换过程称为中去，以计算结构内力。这一转换过程称为坐标变换。坐标变换。(一维杆和弯剪梁单元不需要坐标变换，因两种坐标系一维杆和弯剪梁单元不需要坐标变换，因两种坐标系统方向一致统方向一致)结构坐标结构坐标符号约定：符号约定： 结构坐标单元位移结构坐标单元位移 F 结构坐标单元力结构坐标单元力 k结构坐标单元刚度矩阵结构坐标单元刚度矩阵 1、坐标变换矩阵定义、坐标变换矩阵定

26、义 把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为换矩阵定义为坐标变换矩阵坐标变换矩阵，用符号，用符号T表示。有表示。有单元坐标中的符号约定：单元坐标中的符号约定：e单元坐标单元位移单元坐标单元位移 F e单元坐标单元力单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 式（式（5-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵T的的定义式。定义式。 2、结构坐标单元力、结构坐标单元力 单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改单

27、元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变。则有变而变。则有 TeTeFF)( Te（5-58）将式（将式（5-58）代入，）代入， TTeFTF)(对上式两端进行转置，注意到对上式两端进行转置，注意到TTTABBA消去消去，得，得 TTeFTF)(即得即得 eTFTF （5-59）式（式（5-59）表明：）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置。力前乘坐标变换矩阵的转置。在单元坐标系中，有在单元坐标系中，有 eeekF 3、结构坐标单元刚度矩阵、结构坐标单元刚度矩阵上式两端左乘上式两端左乘TT， eeTeTkTFT注意到式（注意到式（5

28、-58）、（）、（5-59），有），有 Te（5-58） eTFTF （5-59） TkTFeT kF k结构坐标单元刚度矩阵。结构坐标单元刚度矩阵。得得 TkTkeT（5-60） 式（式（5-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。引入引入5.6 坐标变换矩阵坐标变换矩阵 坐标变换矩阵因单元类型不同而异。坐标变换矩阵因单元类型不同而异。1、平面铰接杆单元（桁架元）、平面铰接杆单元（桁架元） 设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为从单为从单元元 i 端出发的任一矢量。它

29、在结构坐标系中的分量端出发的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为为 X、 Y；在单元坐标系中的分量为；在单元坐标系中的分量为 x、 y。结构坐。结构坐标系中的分量标系中的分量 X、 Y 在单元坐标在单元坐标x轴上投影的代数和轴上投影的代数和给出给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标y轴上投影的代轴上投影的代数和给出数和给出 y 。XYxy X Y x ycossinsincosYXyYXx（5-61） 写成矩阵形式，写成矩阵形式，i im+mnbamnab-amYXyxcossinsincos取取iiYXeiiyxvuvu,eiivuiivui节点在单元坐标系中的位移向量节点

30、在单元坐标系中的位移向量i节点在结构坐标系中的位移向量节点在结构坐标系中的位移向量x对对X、Y的方向余弦的方向余弦y对对X、Y的方向余弦的方向余弦iieiivuvucossinsincos同理可得单元同理可得单元j节点在单元坐标系和结构坐标系中的位节点在单元坐标系和结构坐标系中的位移向量：移向量：jjYXejjyxvuvu,jjejjvuvucossinsincos有有组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位移和结构坐标单元位移之间关系：移和结构坐标单元位移之间关系：jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cos

31、sin00sincosiieiivuvucossinsincosjjejjvuvucossinsincos i、j两节点间的位移变换关系互不耦合。两节点间的位移变换关系互不耦合。上式可写成上式可写成 Te坐标变换矩阵坐标变换矩阵T的计算式：的计算式：（5-62） cossin00sincos0000cossin00sincosT TkTkeT（5-60）aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosXYij(e)xlYYlXX

32、ijijsin,cos（5-62a） 式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分别为节点）分别为节点i和节点和节点j在在结构坐标系中的坐标值。结构坐标系中的坐标值。例5-2 两根桁架 两根杆件的横截面积为A，弹性模量为E，垂直杆长为，两杆铰接处受到水平方向的外力P。求结点位移和杆中的内力。XY（1）单元划分单元：i=1，j=2，=45,单刚为：21212121212121212121212121212121212)1(22)1(21)1(12)1(11)1(lEAkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossi

33、ncoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos单元： i=2，j=3，=-90,单刚为：321010000010100000)2(32)2(32)2(23)2(22)2(lEAkkkkk2 3aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos(2)整体刚度矩阵1000100000001000122122122122122122122122100002212212212212

34、2122122122100)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11lEAkkkkkkkkk 1 2 3123(3) 等价结点力：仅结点2的结点力可以确定 02PF（4）结构整体平衡方程33113322210100010000000100000001221221221221221221221221221221221221221221221221yxyxFFPFFvuvuvulEA（5）引入约束1、3结点约束，划去1、2、5、6行与列，得0122122122122122PvulEA（6）节点位移）节点位移EAPlu)221 (2EAPlv2（7）单元内力 整

35、体节点位移变换到单元节点位移。iieiivuvucossinsincosiTeitaaaatTicossinsincos单元应变为sin)(cos)(1ijijeiejvvuulluueelB01011单元应力为sin)(cos)(ijijvvuulEEsin)(cos)(ijijvvuulEAAN单元力为（7）单元内力 对于单元，i=1,j=2,杆长PEAPlEAPllEAN245sin45cos)221(2)1(sin)(cos)(ijijvvuulEAANl 2 对于单元，i=2,j=3,杆长lPEAPlEAPllEAN)90sin()0()90cos()221 (0()2(（8）支反力

36、 根据单元平衡求支反力。F1xF1yP2（7）结点力量 （利用整体平衡方程）将结点位移分量代入整体平衡方程，得结点力量PFFpFPFyxyx33110（8）单元内力pFFNyx22121)1(PFFNyx2323)2( 2、弯剪平面梁单元、弯剪平面梁单元 如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标方向取得一致。此时，标和结构坐标方向取得一致。此时，无须进行坐标变无须进行坐标变换。换。ij(e)XYij(e)xyijxy 2 3 5 6l 1 4ZzZzMM 于是得到：于是得到：XY 由于由于 1 、 2 、 4、 5的性质和平面铰接杆相同，

37、因的性质和平面铰接杆相同，因而有相同的而有相同的T矩阵。又因矩阵。又因单元坐标系单元坐标系xy平面和结构坐平面和结构坐标系标系XY平面在同一平面上，平面在同一平面上， 因而单元坐标系因而单元坐标系z轴和结轴和结构坐标系的构坐标系的Z轴总有相同指向，所以恒有：轴总有相同指向，所以恒有：3、轴剪弯平面梁单元（刚架）、轴剪弯平面梁单元（刚架） 1000000sincos0000sincos0000001000000cossin0000sincosT（5-63） zjjjziiiezjjjziiivuvuTvuvuxyzij 设向量设向量 在单元坐标系和结构坐标系两个坐标系在单元坐标系和结构坐标系两个

38、坐标系中的分量被表示中的分量被表示 为：为： 1 2 3 4 5 65、空间杆单元、空间杆单元空间杆单元的每个节点有空间杆单元的每个节点有3个相互垂直的线位移个相互垂直的线位移分量（分量（u、v、w）。单元自由度为）。单元自由度为6，如下图。，如下图。XYZxyz ZYXzyxe, x、 y、 z、向量向量 在单元坐标轴上的分量在单元坐标轴上的分量 X、 Y、 Z、向量向量 在结构坐标轴上的分量在结构坐标轴上的分量有有 333231232221131211（5-65） 是坐标系的旋转矩阵，是单元坐标轴是坐标系的旋转矩阵，是单元坐标轴x、y、z在在结构坐标系结构坐标系XYZ中的方向余弦：中的方向

39、余弦： 11、 12、 13x轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、 22、 23y轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、 32、 33z轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 e（5-64） 容易理解，式（容易理解，式（5-64）可代表）可代表空间铰接杆中一个空间铰接杆中一个节点的节点位移坐标变换。空间杆单元有节点的节点位移坐标变换。空间杆单元有2个个节点，节点，所以坐标变换矩阵一般可表示为：所以坐标变换矩阵一般可表示为： 00R（5-66）下面讨论下面讨论 矩阵中元素矩阵中元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3

40、)。 对于空间杆单元，无论单元在结构中的位置如何，对于空间杆单元，无论单元在结构中的位置如何，都可以把单元坐标系的都可以把单元坐标系的xy面面和结构坐标系的和结构坐标系的XY面面取取成竖向平面，单元坐标系的成竖向平面，单元坐标系的z轴和结构坐标系的轴和结构坐标系的Z轴同轴同在水平面内。在水平面内。xyzXYZ i j lj 1) x轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦：个方向余弦：jXjZ任一单元任一单元ij的长度为的长度为l。单元坐标系中。单元坐标系中x轴从轴从i指向指向j，jYlZZlYYlXXijijij131211,（5-67）Xi、Yi、Zi节点节点i在结构坐标系中的坐标

41、在结构坐标系中的坐标Xj、Yj、Zj节点节点j在结构坐标系中的坐标在结构坐标系中的坐标2) z轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦：个方向余弦： 注意到注意到Y轴、轴、x轴和线段轴和线段ij 在同一竖直平面内。在同一竖直平面内。z轴在水平面内，轴在水平面内， z轴与轴与Y轴垂直，轴垂直， z轴也与轴也与线段线段ij 垂直。垂直。z轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦为：个方向余弦为：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（5-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111

42、133cos),cos(Zz（5-68）3) y轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦个方向余弦：引入记号：引入记号： i1、i2、i3结构坐标系中结构坐标系中3个坐标轴方向的单位矢量个坐标轴方向的单位矢量e1、e2、e3单元坐标系中单元坐标系中3个坐标轴方向的单位矢量个坐标轴方向的单位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie因为单元坐标系是右手螺旋坐标系，故有因为单元坐标系是右手螺旋坐标系，故有132eee按矢量乘法规则，即得按矢量乘法规则，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()(

43、)(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（5-69）综合式（综合式（5-67）、（）、（5-68）、（）、（5-69），得空间杆单），得空间杆单元的元的 矩阵矩阵 2132111121321113213211131221321121321112111312110（5-70） 必须指出：对于竖直空间杆单元，式（必须指出：对于竖直空间杆单元，式（5-70）是）是不能用的，因为不能用的，因为 112+ 132 =0，将导致计算溢出。，将导致计算溢出。lZZlYYlXXijijij131211,（5-67）竖直空间铰接杆单

44、元竖直空间铰接杆单元 竖直的空间铰接杆单元不外有下图示出的两种情竖直的空间铰接杆单元不外有下图示出的两种情况：况：XYZijxyzXYZijxyz（a）（b） 对于竖直的空间杆单元，单元坐标系中的对于竖直的空间杆单元，单元坐标系中的z轴方轴方向没有特殊限制，水平面内任何方向皆可取作向没有特殊限制，水平面内任何方向皆可取作z轴方轴方向。为了计算简便起见，这里规定：向。为了计算简便起见，这里规定： z轴方向与结构坐标系中的轴方向与结构坐标系中的Z轴方向相同。轴方向相同。 根据上图容易确定单元坐标轴根据上图容易确定单元坐标轴x、y、z在结构在结构坐标系中的方向余弦，从而直接得到坐标系中的方向余弦，从

45、而直接得到 矩阵：矩阵： 10000001212（5-71） 333231232221131211X与x为90，Y与x为0或180；Z与x为05.7 桁架结构有限元程序（TRUSS ） 1、程序使用步骤：、程序使用步骤： 1） 输入程序输入程序 2）编译调试，无错）编译调试，无错 4）建立输入数据文件（文件名：）建立输入数据文件（文件名：T1.DAT） 5）在程序中输入节点力）在程序中输入节点力 6）编译执行得计算结果（文件名：）编译执行得计算结果（文件名：OUTT1.，可改变）可改变） 注：每个算例都需修改程序，数组说明和节点力输入。注：每个算例都需修改程序，数组说明和节点力输入。5.7 桁

46、架结构有限元程序（TRUSS ） 2、输入数据格式、输入数据格式（文件名：T1.DAT）1）总信息：NN，NE，ND，NFIX，E 结 点 数；单元数；总自由度数；约束总数；弹性模量2）单元节点编号i，j，A： LOC（I,1），LOC（I,2），AREA（I）,单元顺序3）节点坐标x，y：CX（J），CY（J），节点顺序4）约束自由度号：IFIX（K）,结点顺序(x向在前，y向在后)5.7 桁架结构有限元程序（TRUSS ） 3、载荷信息、载荷信息 在程序中输入节点力F(i)。 4、输出数据、输出数据（文件名：OUTT1.）1）总信息：NN，NE，ND，NFIX，E2）结点号和结点力：I，F

47、(2*I-1)，F(2*I) 3）结点号和结点位移：I，F(2*I-1),F(2*I) （求解后F存入结点位移）5.7 桁架结构有限元程序（TRUSS ） 5、 TRUSS主程序主程序 数组大小、等价节点力（程序中输入）、输入输出文件名5.7 桁架结构有限元程序（TRUSS ）5.7 桁架结构有限元程序（TRUSS ）6、桁架算例、桁架算例 算例算例1：图示三杆桁架结构，杆件横截面积：图示三杆桁架结构，杆件横截面积A=1.0cm2,弹性模量弹性模量E=2.0105MPa。试用。试用TRUSS程序计算结点程序计算结点位移和单元内力。位移和单元内力。 6、桁架算例、桁架算例 单位统一 :cm，N 建立数据文件T1.DAT 在程序中输入载荷，在结点1的Y向载荷为-10kN。SAP2000分析5.8 刚架有限元程序（刚架有限元程序（FRAME）1、程序使用步骤：、程序使用步骤： 1） 输入程序输入程序 2）编译调试，无错）编译调试，无错 4）建立输入数据文件（文件名：）建立输入数据文件（文件名：F1.DAT） 5）在程序中输入节点力）在程序中输入节点力 6）编译执行得计算结果（文件名：）编译执行得计算结果（文件名：OUTF1.，可改变）可改变）注注1：根据算例情况需修改数组大小。：根据算例情况需修改数组大小。注注2：集中载荷处、变截面处均设结点，集中载荷按结构坐标系