概率统计第一章历年考研题汇总

1、第1章 随机变量1 （1988年、数学一、填空）若在区间（0，1）内任取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为（ ）。 答案 填：2 （1989年、数学一、填空）设A,B为随机事件，且P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.8,则P(A+B)=( )。 答案 填：0.7P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.5+0.6-0.5×0.8=0.73 （1990年、数学一、填空)设A,B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6,则P()=( )。 答案 填：0.3由=A-AB且P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)

2、=0.1得P()=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3.4 （1991年、数学一、填空） 向半圆 y,(0)内任掷一点且落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比。则该点与原点的连线与x轴的夹角小于 的概率为（ ）。 答案 填：5 （1992年、数学一、填空）设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）。 答案 填：设=事件A,B,C都不发生，由P(AB)=0且ABCAB，可知0P（ABC）P（AB）=0，得P（ABC）=0，则P(ABC)=P（A）+ P（B）+ P（C）- P（AB）- P（B

3、C）- P（AC）+ P（ABC）=因此P（）= 1- P(ABC)=1-=6 （1994年、数学一、填空)设A,B为随机事件，且P(A)=p, P（AB）= P（）, 则P（B）=( )。 答案 填：1-p由P（）=1-P（AB）=1-P（A）-P（B）+P（AB），根据条件P（AB）= P（）且P(A)=p，可知 P（B）=1-P(A)=1-p7 （1987年、数学三、选择）设A,B为两事件且P（AB）= 0,则( )。. 与互斥 是不可能事件未必是不可能事件 P(A)=0或P（B）=0 答案选：概率为0的事件未必是不可能事件。这不难由“连续型随机变量在具体一点取值的概率恒为0”看出。8

4、（1988年、数学三、是非题）若事件A，B，C满足等式A+C=B+C，则A=B （ ）。 答案 填：非当三事件A，B，C满足A+C=B+C时，A=B未必成立。如A=1，2，3，B=1，2，4，C=2，3，4且A+C=1，2，3，4，B+C=1，2，3，4，则A+C=B+C，但是AB.9 （1989年、数学三、选择）若用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件表示（ ）。A甲产品滞销，乙产品畅销 B. 甲、乙两产品均畅销. 甲产品滞销 甲产品滞销或乙产品畅销 答案 选：D10 （1990年、数学三、选择）设随机事件A与B满足AB，则（ ）成立。AP（A+B）=P（A） B. P(AB)=P(

5、A)C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 答案 选 A11 （1990年、数学三、计算）从0到9十个数字中任取三个不同的数字,求：事件=三个数字中不含0和5,=三个数字中不含0或5的概率。解：设=三个数字中不含0，=三个数字中不含5，则P（）=P（）=P（）=P（+）=P（）+P（）-P（）=12 （1991年、数学三、选择）设两事件与互斥，且P（A）0，P（B）0，则（ ）正确A与互斥 B. 与互容C. P（AB）=P（A）P（B） D. P（A-B）=P（A） 答案 选：D13 （1992年、数学三、选择）设两事件与同时发生时，事件C必发生，则（ ）成立。A

6、. P(C) P(A)+P(B)-1 B. P(C) P(A)+P(B)-1C. P(C)=P(AB) D. P(C)=P(A+B) 答案 选：B事件与同时发生时，事件C必发生，则ABC,故 P(AB) P(C)由P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB) 1，得P(AB)= P(A)+P(B)- P(A+B) P(A)+P(B)-1即P(C) P(AB) P(A)+P(B)-114 （1992年、数学三、填空）若将C,C,E,E,I,N,S这七个字母任排一行，则排成SCIENCE的概率为（ ） 答案 填：P=15 (1993年、 数学三、选择) 设两事件与满足P(B|A)=1, 则（

7、）正确。A. A是必然事件 B. P(B|)=0C. AB D. AB 答案 选：D 由P(B|A)=1,可知P(AB)= P(A)，即知AB。16 (1996年、数学三、计算)设方程中的b,c分别是连掷两次一枚骰子先后出现的点数，求此方程有实根的概率和有重根的概率。解：方程有实根，等价于0，即c,有重根等价于=0.样本点总数为64，通过一一列举（略）可知有利样本点数分别为19，2，则所求概率分别为与。17 （2000年、数学三、选择）在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”而 为四个温控器

8、显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（ ）。 A. B. C. D. 答案 选：C18 （1987年、数学四、选择）设A,B为两事件，则P(A-B)=( )。A.P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C.P(A)-P(AB) D.P(A)+P(B)-P(AB) 答案 选：CA-B=A-AB,且AAB，则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)19 （1991年、数学四、填空）设A,B为两事件且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则P()=( )。 答案 填：0.6P()=1- P(AB)=1- P(A)+ P(A-B)=0.620 (1992年、 数

9、学四、填空) 设A,B,C为随机事件且P(A)= P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=0.125, 则A,B,C至少出现一个的概率为（ ）。 答案 填：0.625由0P(ABC) P(AB)=0, 则P(ABC)=0,从而(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.62521 （1997年、 数学四、填空）设A,B为两任意事件,则P(+B)(A+B)(+)(A+)=( )。 答案 填：0由(+B)(A+B)(+)(A+)=(+B)(A+)(A+B) (+) =(A+B+AB+)(A+ B+A+B) =(A

10、B+)( A+B) =(AB)( A)+(AB)(B)+()(A)+()(B) =(AA)(B)+(A)（BB）+(A)(B)+()(B) =则所求为P()=022 (1987年、数学一、填空)设在每次贝努利试验中，事件A发生的概率均为p,则在n次贝努利试验中，事件A至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。 答案 填：(1-(1-p); (1-p)+np(1-p)由贝努利概型的概率计算公式，据题意可知，事件A至少发生一次的概率为或，事件A至多发生一次的概率为=+23 (1987年、数学一、填空)三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑

11、球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问这球是白球的概率为（ ），取出的白球是属于第二箱的概率为（ ）。 答案 填：（1） ； （2） （1）设=任取一球是第i箱的，B=取得白球， 则由题意可知 P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|) = = （2）P(|B)= 24 （1988年、数学一、填空)设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为 ，则在一次试验中事件A出现的概率为（ ）。 答案 填：设所求概率为p，由题意有 = ，则p=25 （1988年、数学一、填空)设甲乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为0.6与0.5，则已命中的目标是被

12、甲射中的概率为（ ）。 答案 填：0.75设A=目标是被甲射中的，B=目标是被乙射中的，则AB=目标被射中则P(A|AB)= =0.7526 （1993年、数学一、填空)若从有10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不放回，则第二次取出的是次品的概率为（ ）。 答案 填：此为“抽签问题”（抽签结果与抽签顺序无关）的简单应用。27 （1996年、数学一、填空)设A,B两厂产品的次品率分别为1% 与2%，现从A,B两厂产品分别占60%与40%的一批产品中任取一件是次品，则此次品是A厂生产的概率为（ ）。 答案 填：设A=任取一件产品是A厂生产的，B=任取一件产品是B厂生产的,C=任取

13、一件产品是次品，则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,由Bayes公式，所求即P(C|A)= 28 （1997年、数学一、填空）袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是( )。 答案 填：29 (1998年、数学一、选择)设A,B为两事件，且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)=P(B|),则（ ）成立。A. P(A|B)=P(|B) B. P(A|B)P(|B) C.P(AB)=P(A)P(B) D. P(AB) P(A)P(B) 答案 选：C在等式P(B|A)

14、=P(B|)两端同时乘以P(A)P(),再考虑到P()=1- P(A)，展开即得30 （1999年、数学一、填空）设两两相互独立的三个事件A,B,C满足条件:ABC=,P(A)=P(B)=P(C) ,且已知P(A+B+C)= ,则P(A)=( )。 答案 填：由题设得：=3P(A)-3P(A)P(A),再考虑到P(A)=，可算出P(A)= 。31 （2000年、数学一、填空）设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=( )。 答案 填：32 （1987年、数学三、计算）设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装3

15、0件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件=从第i箱取的零件，=第i次取的零件是一等品（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,则P(|)=0.48533 （1988年、数学三、填空）设 P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,若事件A与B互斥，则P(B)=( ),若事件A与B独立，则P(B)=( )。 答案 填：0.3 ; 0.534 （1988年、数学三、计算）设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.

16、8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件=一箱的玻璃杯中含i个残次品，i=0,1,2,且P()=0.8, P()=P()=0.1,事件B=从一箱中任取四只杯子无残次品，则由全概率公式可得：P(B)= P()P(B|)+ P()P(B|)+ P()P(B|) = 0.8×+0.1×+0.1×=0.94（2）P(|B)= =0.8535 （1990年、数学三、填空）某射手对目标独立射击四次，

17、至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（ ）。 答案 填：36 （1994年、数学三、选择）设0P(A)1, 0P(B)1,P(A|B)+P(|)=1,则A与B（ ）。A.互斥 B.对立 C.不独立 D.独立 答案 选D由于P(|)=1- P(|)，根据已知条件不难知P(A|B)= P(|)，对此等式两端同乘以P（B）P(),展开整理即得P(AB)=P(A)P(B)。37 （1995年、数学三、计算）某厂生产的每台仪器，可直接出厂的占0.7,需调试的占0.3,调试后可出厂的占0.8，不能出厂的不合格品占0.2,现新生产n（n2）台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概

18、率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少有两台不能出厂的概率。解：设A=生产的仪器可直接出厂，B=生产的仪器可以出厂，则P(B)=P(A)+P()P(B|)=0.7+0.7×0.8=0.94设X表示n（n2）台仪器中最后能出厂的台数，则X服从B(n,0.94)分布，所求概率分别为PX=n=;PX=n-2=; PXn-2=1-PXn-1=1-38 （1996年、数学三、选择）设0P(B)1,且P(+)|B= P(|B)+ P(|B),则（ ）成立。A.(+)|=P(|)+P()|)B.P(B +B)= P(B)+ P(B)C.P(+)=P(|B)+ P(|B)D.P(B)= P()

19、P(B|)+ P()P(B|) 答案 选B对已知等式P(+)|B= P(|B)+ P(|B)两端同时乘以P(B)即知。39 （1998年、数学三、计算）设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：(1)先取的那份报名表是女生的概率p；(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率q。解：(1) 设=考生的报名表是第i个地区的，i=1,2,3, B=取到的报名表是女生的，由全概率公式知：p=P(B)= P()P(B|)+ P()P(B|)+P()P(B|) =（2）设C=先取的那份报名表是女

20、生的,D=后取到的报名表是男生的,则q=P(C|D)= 其中P(CD)= P()P(CD|)+ P()P(CD|)+P()P(CD|) =P(D)= P()P(D |)+ P()P(D |)+P()P(D |)=所以可计算得q=40 (1993年、数学四、填空)设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为（ ）。 答案 填：设=所取的第i件产品是不合格品 ,i=1,2, A=所取的两件中有一件是不合格品则显然有：A =+,所求概率即 P|A= =41 (1994年、数学四、填空)设一批产品中的一、二、三等品各占60%，30%，10%

21、，先从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ ）。 答案 填：设=所取到的产品是第i等品, i=1,2,3,则所求即为：P（|）=42 (1996年、数学四、选择)设A,B为随机事件，且AÌB, 0P(B),则（ ）成立。A. P(A) P(A|B) B. P(A) P(A|B)C. P(A) P(A|B) D. P(A) P(A|B) 答案 选B由于 AÌB,则P(A) =P(AB)，又因为0P(B) 1，则P(A|B)= P(A)43 (1998年、数学四、选择)设A,B，C为三个独立的随机事件，0P(C)1,则事件（ ）不独立。A. 与C B.AC与

22、C. 与 D. 与 答案 选B44 (2000年、数学四、选择)设A,B，C三个事件两两独立，则A,B，C三个事件独立的充分必要条件是（ ）。A.A与BC独立 B.AB与 AC独立 C.AB与AC独立 D.AB与AC独立 答案 选 A45 (1989年、数学一、填空)设随机变量Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ）。 答案 填0.8方程有实根当且仅当0，即|Y|2,则P(|Y|2)=046 （1987年、数学三、是非）连续型随机变量取任何给定值的概率均为0 （ ）。 答案 填：是47 （1989年、数学三、计算）设随机变量X在区间2，5上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测

23、中，至少有两次的观测值大于3的概率。解：P(X3)= , 则所求概率即为48 （1991年、数学三、计算）一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X的概率分布。解： 设 =第i个路口遇到红灯，i=1,2,3,则P()=0.5, X的所有取值为0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()=0.5P(X=1)=0.25 P(x=2)=0.125P(X=3)= =0.125其他49 （1994年、数学三、填空）设 X ，对X的三次独立重复观察中， 事件X0.5出现的次数为随机变

24、量Y,则PY=2=( )。 答案 填PX0.5=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则PY=2=50 (2000年、数学三、填空)设随机变量X的概率密度为 若K使得PXK=2/3,则K的取值范围是（ ）。 答案 填：1，351 (1989年、数学四、计算)设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。解：设随机变量表示第i只元件的使用寿命,i=1,2,3,则P200=得所求概率为：1-52 (1996年、数学四、填空)用一台机器接连独立制造三个同种零件，第i个零件是不合格品的

25、概率为,(i=1,2,3),以三个零件中的合格品数为随机变量X,则PX=2=( )。 答案 填：设=第i个零件合格，i=1,2,3,则PX=2= = =53 (1997年、数学四、填空)设XB(2,p),YB(3,p),且PX1=,则PY1=( )。 答案 填：由PX1=1-PX=0=，可得p=,则PY1=1-PY=0=54 (1988年、数学一、填空)设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设（x）为标准正态分布函数，已知（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为（ ）。 答案 填：0.987655 (1988年、数学一、计算)设随机变量X的概

26、率密度函数，求随机变量Y=1-的概率密度函数。解：Y的分布函数为 =则： =56 （1990年、数学一、填空）设随机变量Xf(x)=,-x+,则XF(x)=( )。 答案 填： 当x0时，F(x)=当x0时，F(x)=57 (1993年、数学一、填空)设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。 答案 填：当0y4时，此时，=58 (1998年、数学一、计算)设随机变量X的概率密度 = ， x0，求Y=的概率密度。解：当y1时，0当y1时，由于，则知当y1时，=0, 当y1时，=59 (1987年、数学三、计算)设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P

27、(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 答案：当x1时，F(x)=0; 当1x2时，F(x)=0.2; 当2x3时，F(x)=0.5;当3x时，F(x)=160 (1988年、数学三、计算)设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。答案： 当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.61 (1989年、数学三、填空)设X的分布函数 ,则A=( ),P (|x| ) =( )。 答案 填：1； 62 (1990年、数学三、计算)对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成

28、绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且XN(72,),则P(X96)=1-P(X96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.68263 (1991年、数学三、填空)设X的分布函数F(x)为： 则X的概率分布为（ ）。 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.64 (1992年、数学三、计算)设测量误差XN(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精确

29、到0.01）。解：由于XN(0，100)，则P(|X|19.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且显然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y2)=1-设l=np=100×0.05=5，且YP(5),则P(Y3)=1- P(Y2)=1-=0.870565 (1993年、数学三、计算)设一大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为lt的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。解：（1） 只需求出T的分布函数F(t)：当 t0时，F(t)=P(

30、Tt)=0当 t0时， F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(N(t)=0)=可见T服从参数为l的指数分布。（2）P(T16|T8)= 66 （1993年、数学三、选择）设 X(x),且 (-x)= j(x),其分布函数为F(x),则对任意实数a, F(-a)=( )。 A.1- B. - C.F(a) D.2F(a)-1 答案 选：B67 （1995年、数学三、选择）设XN(,),则随着的增大，P(|X-|）（ ）。A.单调增大 B.单调减少 C.保持不便 D.增减不定 答案 选：C68 （1997年、数学三、计算）设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=-1)= ,P(X=1)= ,

31、在事件-1X-1出现的条件下，X在区间（-1，1）内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X 的分布函数F(x)。解：显然， P(-1X1 = . 设-1ab1,则P(aXb= k(b-a)且 P(-1X1=k(1-(-1)=2,则k=,在事件(-1X-1出现的条件下，X在区间（-1，1）内的子区间上（0,x）取值的条件概率为P(-1Xx|-1X1=, 故P(-1Xx)=(x+1) 69 （1998年、数学三、选择）若随机变量 的分布函数为与则a,b取值为（ ）时，可使F(x)=a-b为某随机变量的分布函数。A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3