2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(浙江卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江理科数学本试题卷分选择题和非选择题两部分,全部共4页,选择题部分第1页至第2页,非选择题部分第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.2.参考公式:选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015浙江,理1)已知集合p=x|x2-2x0,q=x|1<x2,则(rp)q=()a.0,1)b.(0,2c.(1,2)d.1,2答案:c解析:p=x|x(x-2)0=x|x2或x0,rp=(0,2).又q=(1,2,(rp)q=(1,2),故选

2、c.2.(2015浙江,理2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()a.8 cm3b.12 cm3c.323 cm3d.403 cm3答案:c解析:由三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积v=2×2×2+13×2×2×2=323(cm3),故选c.3.(2015浙江,理3)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()a.a1d>0,ds4>0b.a1d<0,ds4<

3、0c.a1d>0,ds4<0d.a1d<0,ds4>0答案:b解析:设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d2<0,且a1=-53d.ds4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0,故选b.4.(2015浙江,理4)命题“nn*,f(n)n*且f(n)n”的否定形式是()a.nn*,f(n)n*且f(n)>nb.nn*,f(n)n*或f(n)>nc.n0n*,f

4、(n0)n*且f(n0)>n0d.n0n*,f(n0)n*或f(n0)>n0答案:d解析:命题“nn*,f(n)n*且f(n)n”的否定为“n0n*,f(n0)n*或f(n0)>n0”,故选d.5.(2015浙江,理5)如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1答案:a解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),由抛物线定义,得|af|=x1+1,|b

5、f|=x2+1,则sbcfsacf=bcac=x2x1=|bf|-1|af|-1,故选a.6.(2015浙江,理6)设a,b是有限集,定义:d(a,b)=card(ab)-card(ab),其中card(a)表示有限集a中元素的个数.命题:对任意有限集a,b,“ab”是“d(a,b)>0”的充分必要条件;命题:对任意有限集a,b,c,d(a,c)d(a,b)+d(b,c).a.命题和命题都成立b.命题和命题都不成立c.命题成立,命题不成立d.命题不成立,命题成立答案:a7.(2015浙江,理7)存在函数f(x)满足:对于任意xr都有()a.f(sin 2x)=sin xb.f(sin 2

6、x)=x2+xc.f(x2+1)=|x+1|d.f(x2+2x)=|x+1|答案:d解析:|x+1|=(x+1)2=x2+2x+1,存在函数f(x)=x+1,使f(x2+2x)=|x+1|对xr成立,故选d.8.(2015浙江,理8)如图,已知abc,d是ab的中点,沿直线cd将acd翻折成a'cd,所成二面角a'-cd-b的平面角为,则()a.a'dbb.a'dbc.a'cbd.a'cb答案:b解析:设adc=,设ab=2,则由题意ad=bd=1.在空间图形中,设a'b=t.在a'bd中,cosa'db=a'd2

7、+db2-ab22a'd×db=12+12-t22×1×1=2-t22.在空间图形中,过a'作a'ndc,过b作bmdc,垂足分别为n,m.过n作np􀱀mb,连结a'p,所以npdc.则a'np就是二面角a'-cd-b的平面角,所以a'np=.在rta'nd中,dn=a'dcosa'dc=cos ,a'n=a'dsina'dc=sin .同理,bm=pn=sin ,dm=cos .故bp=mn=2cos .显然bp面a'np,故bpa&

8、#39;p.在rta'bp中,a'p2=a'b2-bp2=t2-(2cos )2=t2-4cos2.在a'np中,cos =cosa'np=a'n2+np2-a'p22a'n×np=sin2+sin2-(t2-4cos2)2sin×sin=2+2cos2-t22sin2=2-t22sin2+cos2sin2=1sin2cosa'db+cos2sin2.因为1sin21,cos2sin20,所以cos cosa'db当=2时取等号,因为,a'db0,而y=cos x在0,上为递减函数,所以

9、a'db.故选b.非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2015浙江,理9)双曲线x22-y2=1的焦距是,渐近线方程是. 答案:23y=±22x解析:由双曲线的方程x22-y2=1可知,a=2,b=1.所以c=a2+b2=3.故双曲线的焦距为2c=23;双曲线的渐近线方程为y=±bax=±12x,即y=±22x.10.(2015浙江,理10)已知函数f(x)=x+2x-3,x1,lg(x2+1),x<1,则f(f(-3)=,f(x)的最小值是. 答案:02

10、2-3解析:f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,f(f(-3)=f(1)=1+21-3=0.当x1时,f(x)=x+2x-322-3,当且仅当x=2x,即x=2时取得最小值,当x<1时,x2+11,lg(x2+1)0,综上所述,f(x)的最小值为22-3.11.(2015浙江,理11)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是. 答案:38+k,78+k,kz解析:f(x)=sin2x+sin xcos x+1=1-cos2x2+12sin 2x+1=12(sin 2x-cos 2x)+32=22sin2x-4+32.故t=22

11、=.令2k+22x-42k+32,kz,解得k+38xk+78,kz,故f(x)的单调递减区间为38+k,78+k,kz.12.(2015浙江,理12)若a=log43,则2a+2-a=. 答案:433解析:由a=log43,知2a+2-a=2log43+2-log43=2log23+2log233=3+33=433.13.(2015浙江,理13)如图,在三棱锥a-bcd中,ab=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,点m,n分别为ad,bc的中点,则异面直线an,cm所成的角的余弦值是. 答案:78解析:连结dn,取dn的中点p,连结pm,cp,因为m是ad的中点,故pm

12、an,则cmp即为异面直线an,cm所成的角,ab=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,可得an=cm=dn=22,故mp=pn=2.在rtpcn中,cp=pn2+cn2=2+1=3,由余弦定理可得,coscmp=cm2+mp2-cp22·cm·mp=8+2-32×22×2=78,故异面直线an,cm所成的角的余弦值为78.14.(2015浙江,理14)若实数x,y满足x2+y21,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是. 答案:3解析:画出直线2x+y-2=0和x+3y-6=0以及圆x2+y2=1的图形,如图.(1)如图,当点(x,

13、y)在区域(阴影部分)时,2x+y-20,x+3y-6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=2x+y-2+6-x-3y=x-2y+4.令t=x-2y+4,则y=12x+2-t2,画出直线l1:y=12x,平移l1经过点b时,t取得最小值.由2x+y-2=0,x2+y2=1得x=1,y=0或x=35,y=45,即a(1,0),b35,45.所以tmin=35-2×45+4=3.(2)如图,当点(x,y)在区域时,2x+y-20,x+3y-6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=-2x-y+2+6-x-3y=-3x-4y+8.令s=-3x-4y+8,则y=-3

14、4x+2-s4,画出直线l2:y=-34x,平移l2经过点b时,s取得最小值,所以,smin=-3×35-4×45+8=3.综上,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.15.(2015浙江,理15)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=12.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=52,且对于任意x,yr,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0r),则x0=,y0=,|b|=. 答案:1222解析:设e3为空间单位向量,且满足e3e2,e3e1,|b-(x0e1+y0e2)|=1,故设b=

15、x0e1+y0e2+e3,b·e1=2,即(x0e1+y0e2+e3)·e1=2,得x0+12y0=2,又b·e2=52,即(x0e1+y0e2+e3)·e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此时,b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1·e2+2e1·e3+4e2·e3=1+4+1+4×12+0+0=8=22.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)(2015浙江,理16)

16、在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c,已知a=4,b2-a2=12c2.(1)求tan c的值;(2)若abc的面积为3,求b的值.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分.解:(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2b-12=12sin2c,所以-cos 2b=sin2c.又由a=4,即b+c=34,得-cos 2b=sin 2c=2sin ccos c,解得tan c=2.(2)由tan c=2,c(0,)得sin c=255,cos c=55.又因为sin b=sin(a+c)=sin4+c,所以sin b=31010

17、.由正弦定理得c=223b,又因为a=4,12bcsin a=3,所以bc=62,故b=3.17.(本题满分15分)(2015浙江,理17)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90°,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面abc的射影为bc的中点,d是b1c1的中点.(1)证明:a1d平面a1bc;(2)求二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分.(1)证明:设e为bc的中点,由题意得a1e平面abc,所以a1eae.因为ab=ac,所以aebc.故ae平面a1bc.由d,e

18、分别为b1c1,bc的中点,得deb1b且de=b1b,从而dea1a且de=a1a,所以a1aed为平行四边形.故a1dae.又因为ae平面a1bc,所以a1d平面a1bc.(2)解:方法一:作a1fbd且a1fbd=f,连结b1f.由ae=eb=2,a1ea=a1eb=90°,得a1b=a1a=4.由a1d=b1d,a1b=b1b,得a1db与b1db全等.由a1fbd,得b1fbd,因此a1fb1为二面角a1-bd-b1的平面角.由a1d=2,a1b=4,da1b=90°,得bd=32,a1f=b1f=43,由余弦定理得cosa1fb1=-18.方法二:以cb的中点e

19、为原点,分别以射线ea,eb为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系e-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:a1(0,0,14),b(0,2,0),d(-2,0,14),b1(-2,2,14).因此a1b=(0,2,-14),bd=(-2,-2,14),db1=(0,2,0).设平面a1bd的法向量为m=(x1,y1,z1),平面b1bd的法向量为n=(x2,y2,z2).由m·a1b=0,m·bd=0,即2y1-14z1=0,-2x1-2y1+14z1=0,可取m=(0,7,1).由n·db1=0,n·bd=0,即2y2=0,-2x2-2y2+14z

20、2=0,可取n=(7,0,1).于是|cos<m,n>|=|m·n|m|·|n|=18.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值为-18.18.(本题满分15分)(2015浙江,理18)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,br),记m(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明:当|a|2时,m(a,b)2;(2)当a,b满足m(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.满分15分.(1)证明:由f

21、(x)=x+a22+b-a24,得对称轴为直线x=-a2.由|a|2,得-a21,故f(x)在-1,1上单调,所以m(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|.当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4,得maxf(1),-f(-1)2,即m(a,b)2.当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4,得maxf(-1),-f(1)2,即m(a,b)2.综上,当|a|2时,m(a,b)2.(2)解:由m(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2,故|a+b|3,|a-b|3,由|a|+|b|=|a+b|,ab0,|a-b|,ab<0,得|a|+|b|3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在-1,1上的最大值为2,即m(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.19.(本题满分15分)(2015浙江,理19)已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点a,b关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求aob面积的最大值(o为坐标原点).本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.解:(1)由题意知m0,可设直线ab的方程为y=-1mx+b.由x22+y2=1,y=-1mx+b,消去y,得12+1m2x2-2bmx