2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014浙江,理1)设全集u=xn|x2,集合a=xn|x25,则ua=().a.b.2c.5d.2,5答案:b解析:由题意知集合a=xn|x5,则ua=xn|2x<5=2,故选b.2.(2014浙江,理2)已知i是虚数单位,a,br,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的().a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:当a=b=1时,(a+bi

2、)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件,应选a.3.(2014浙江,理3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是().a.90 cm2b.129 cm2c.132 cm2d.138 cm2答案:d解析:由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积s=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×

3、12×3×4=138(cm2).故选d.4.(2014浙江,理4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=2cos 3x的图象().a.向右平移4个单位b.向左平移4个单位c.向右平移12个单位d.向左平移12个单位答案:c解析:y=sin 3x+cos 3x=2cos3x-4=2cos3x-12,因此需将函数y=2cos 3x的图象向右平移12个单位.故选c.5.(2014浙江,理5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=().a.45b.60c.120d.

4、210答案:c解析:(1+x)6展开式的通项公式为tr+1=c6rxr,(1+y)4展开式的通项公式为th+1=c4hyh,(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为c6rc4hxryh.f(m,n)=c6mc4n.f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=c63+c62c41+c61c42+c43=20+60+36+4=120.故选c.6.(2014浙江,理6)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)3,则().a.c3b.3<c6c.6<c9d.c>9答案:c解析:由f(-1)=f(-2)=f(-3),得-1+

5、a-b+c=-8+4a-2b+c,-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,解得a=6,b=11.从而可得f(x)=x3+6x2+11x+c.又由0<f(-1)3,得0<-1+6-11+c3,即6<c9.故选c.7.(2014浙江,理7)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是().答案:d解析:由于本题中函数为y=xa(x0)与y=logax,对于选项a,没有幂函数图象,故错误;对于选项b,由y=xa(x0)的图象知a>1,而由y=logax的图象知0<a<1,故b错误;对于选项c,由y=xa(x0)的图象知

6、0<a<1,而由y=logax的图象知a>1,故c错误;对于选项d,由y=xa(x0)的图象,知0<a<1,而由y=logax的图象知0<a<1,故选d.8.(2014浙江,理8)记maxx,y=x,xy,y,x<y,minx,y=y,xy,x,x<y,设a,b为平面向量,则().a.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|b.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|c.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2d.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2答案:d解析:根据向量运算的几何意义,即三角形法则,

7、可知min|a+b|,|a-b|与min|a|,|b|的大小关系不确定,故a,b选项错误.当a,b中有零向量时,显然max|a+b|2,|a-b|2=|a|2+|b|2成立.由于|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2+2|a|b|cos<a,b>,|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos<a,b>,若a0,b0,则当0°<a,b><90°时,显然|a+b|2>|a-b|2,且|a+b|2>|a|2+|b|2;当<a,b>=9

8、0°时,显然|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2;当90°<<a,b>180°时,显然|a+b|2<|a-b|2,而|a-b|2>|a|2+|b|2.故总有max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2成立.故选d.9.(2014浙江,理9)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则().a.p1>p2,

9、e(1)<e(2)b.p1<p2,e(1)>e(2)c.p1>p2,e(1)>e(2)d.p1<p2,e(1)<e(2)答案:a解析:p1=mm+n+nm+n×12=2m+n2(m+n),p2=3m2-3m+2mn+n2-n3(m+n)(m+n-1),p1-p2=2m+n2(m+n)-3m2-3m+2mn+n2-n3(m+n)(m+n-1)=5mn+n(n-1)6(m+n)(m+n-1)>0.故p1>p2.1的可能取值为1,2,p(1=1)=cn1cm+n1=nm+n;p(1=2)=cm1cm+n1=mm+n.故e(1)=1

10、15;nm+n+2×mm+n=2m+nm+n.2的可能取值为1,2,3.p(2=1)=cn2cm+n2=n(n-1)(m+n)(m+n-1),p(2=2)=cm1cn1cm+n2=2mn(m+n)(m+n-1),p(2=3)=cm2cm+n2=m(m-1)(m+n)(m+n-1),故e(2)=1×n(n-1)(m+n)(m+n-1)+2×2mn(m+n)(m+n-1)+3×m(m-1)(m+n)(m+n-1)=n(n-1)+4mn+3m(m-1)(m+n)(m+n-1).于是e(1)-e(2)=2m+nm+n-n(n-1)+4mn+3m(m-1)(m+n

11、)(m+n-1)=(2m+n)(m+n-1)-n(n-1)+4mn+3m(m-1)(m+n)(m+n-1)=-m(m+n-3)(m+n)(m+n-1).又m3,n3,e(1)-e(2)<0,即e(1)<e(2).综上,应选a.10.(2014浙江,理10)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)=13|sin 2x|,ai=i99,i=0,1,2,99.记ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3.则().a.i1<i2<i3b.i2<i1<i3c.i1<

12、;i3<i2d.i3<i2<i1答案:b解析:由i992-i-1992=199·2i-199,结合题意可得i1=199199+399+599+2×99-199=199×99299=1.由2i99-i-199-i992+i-1992=29999-(2i-1)99=299×100-2i99,i50,299×2i-10099,50<i99.结合题意可得i2=299×2×50(98+0)2×99=98×10099×99=(99-1)(99+1)992=992-1992<1.

13、i3=13sin2×199-sin2×099+sin2×299-sin2×199+sin2×9999-sin2×9899=132sin5099-2sin2×7499=23sin5099-sin14899=23sin4999+sin4999=43sin4999>43sin3=233>1.因此i2<i1<i3,故选b.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2014浙江,理11)若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是. 答案:6解析:第一次运行结果s=1

14、,i=2,第二次运行结果s=4,i=3,第三次运行结果s=11,i=4,第四次运行结果s=26,i=5,第五次运行结果s=57,i=6,此时57>50,输出i=6.12.(2014浙江,理12)随机变量的取值为0,1,2,若p(=0)=15,e()=1,则d()=. 答案:25解析:设=1时的概率为p,则e()=0×15+1×p+21-p-15=1,解得p=35.故d()=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×15=25.13.(2014浙江,理13)当实数x,y满足x+2y-40,x-y-10,x1时,1ax+

15、y4恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:1,32解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y,即y=-ax+z.作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在a(1,0),b(2,1),c1,32处取得.故由1z4恒成立,可得1a4,12a+14,1a+324,解得1a32.14.(2014浙江,理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答). 答案:60解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有c32a42=36种;二是有三人各获得一张奖券,

16、共有a43=24种.因此不同的获奖情况有36+24=60种.15.(2014浙江,理15)设函数f(x)=x2+x,x<0,-x2,x0,若f(f(a)2,则实数a的取值范围是. 答案:(-,2解析:由题意得f(a)<0,f2(a)+f(a)2或f(a)0,-f2(a)2,解得f(a)-2.由a<0,a2+a-2或a0,-a2-2,解得a2.16.(2014浙江,理16)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点a,b.若点p(m,0)满足|pa|=|pb|,则该双曲线的离心率是. 答案

17、:52解析:由双曲线方程可知,它的渐近线方程为y=bax与y=-bax,它们分别与x-3y+m=0联立方程组,解得a-ama-3b,-bma-3b,b-ama+3b,bma+3b.由|pa|=|pb|知,可设ab的中点为q,则q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,由pqab,得kpq·kab=-1,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即c2a2=54.故ca=52.17.(2014浙江,理17)如图,某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练.已知点a到墙面的距离为ab,某目标点p沿墙面上的射线cm移动,此人为了准确瞄准目标点p,需计算由点

18、a观察点p的仰角的大小.若ab=15 m,ac=25 m,bcm=30°,则tan 的最大值是.(仰角为直线ap与平面abc所成角) 答案:539解析:由于abbc,ab=15 m,ac=25 m,所以bc=252-152=20 m.过点p作pnbc交bc于n,连接an(如图),则pan=,tan =pnan.设nc=x(x>0),则bn=20-x,于是an=ab2+bn2=152+(20-x)2=x2-40x+625,pn=nc·tan 30°=33x,所以tan =33xx2-40x+625=331-40x+625x2=33625x2-40x+

19、1,令1x=t,则625x2-40x+1=625t2-40t+1,当t=4125时,625t2-40t+1取最小值925,因此625x2-40x+1的最小值为925=35,这时tan 的最大值为33×53=539此时x=1254.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)(2014浙江,理18)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=3,cos2a-cos2b=3sin acos a-3sin bcos b.(1)求角c的大小;(2)若sin a=45,求abc的面积.分析:(1)将已知等式运用二

20、倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2a,2b的三角函数式,结合角a,b的范围求出2a,2b的关系式,然后求出角c.(2)由(1)知c,又已知sin a,c,则可由asina=csinc求出a,则由sabc=12acsin b知,只需求sin b即可.结合b=-(a+c)运用两角和的正弦公式可求sin b.解:(1)由题意得1+cos2a2-1+cos2b2=32sin 2a-32sin 2b,即32sin 2a-12cos 2a=32sin 2b-12cos 2b,sin2a-6=sin2b-6,由ab,得ab,又a+b(0,),得2a-6+2b-6=,即a+b=23,所以c=3.(2)由c=

21、3,sin a=45,asina=csinc,得a=85.由a<c,得a<c,从而cos a=35,故sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=4+3310.所以abc的面积为s=12acsin b=83+1825.19.(本小题满分14分)(2014浙江,理19)已知数列an和bn满足a1a2a3an=(2)bn(nn*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=1an-1bn(nn*).记数列cn的前n项和为sn.求sn;求正整数k,使得对任意nn*均有sksn.分析:(1)an为等比数列,且a1=2,要求

22、an,只需求公比q.又已知b3=6+b2,故由a1a2a3an=(2)bn可得a1a2a3=(2)b3,a1a2=(2)b2,由此可求出a3,进而由a3=a1q2可求出q,则an可求.求出an,则a1a2an可求,从而bn可求.(2)先由(1)中所求an,bn求出cn,进而求出sn;若存在正整数k,使得对任意nn*,均有sksn,则说明sn具有最大值,即判断数列cn中各项的符号.先具体判断前4项的符号,再用作差法判断从第5项开始的以后各项的符号.解:(1)由题意a1a2a3an=(2)bn,b3-b2=6,知a3=(2)b3-b2=8,又由a1=2,得公比q=2(q=-2,舍去),所以数列an

23、的通项为an=2n(nn*).所以,a1a2a3an=2n(n+1)2=(2)n(n+1).故数列bn的通项为bn=n(n+1)(nn*).(2)由(1)知cn=1an-1bn=12n-1n-1n+1(nn*),所以sn=1n+1-12n(nn*).因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n5时,cn=1n(n+1)n(n+1)2n-1,而n(n+1)2n-(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n-2)2n+1>0,得n(n+1)2n5·(5+1)25<1.所以,当n5时,cn<0.综上,对任意nn*恒有s4sn,故k=4.20.(本小题

24、满分15分)(2014浙江,理20)如图,在四棱锥a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90°,ab=cd=2,de=be=1,ac=2.(1)证明:de平面acd;(2)求二面角b-ad-e的大小.分析:(1)先在直角梯形bcde中求出bc,即可利用勾股定理验证acbc,然后利用面面垂直的性质定理将已知平面abc平面bcde转化为ac平面bcde,从而得到acde,最后结合已知dedc即可证得结论.(2)方法一,根据(1)问中证得的垂直关系作出所求二面角的平面角,然后分别求出其所在三角形的三边长,利用余弦定理求其值;方法二,根据(1)问证得的垂直关系建立空间直角坐

25、标系,求出相关点的坐标及二面角两个半平面的法向量,最后利用这两个法向量的夹角表示所求二面角即可.解:(1)在直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=2.由ac=2,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又平面abc平面bcde,从而ac平面bcde.所以acde,又dedc,从而de平面acd.(2)方法一:作bfad,与ad交于点f,过点f作fgde,与ae交于点g,连结bg,由(1)知dead,则fgad.所以bfg是二面角b-ad-e的平面角.在直角梯形bcde中,由cd2=bc2+bd2,得bdbc,又平面abc平面bcde,得bd平面abc,从而bda

26、b.由于ac平面bcde,得accd.在rtacd中,由dc=2,ac=2,得ad=6.在rtaed中,由ed=1,ad=6,得ae=7.在rtabd中,由bd=2,ab=2,ad=6,得bf=233,af=23ad.从而gf=23.在abe,abg中,利用余弦定理分别可得cosbae=5714,bg=23.在bfg中,cosbfg=gf2+bf2-bg22bf·gf=32.所以,bfg=6,即二面角b-ad-e的大小是6.方法二:以d为原点,分别以射线de,dc为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系d-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:d(0,0,0),e(1,0,0),c(

27、0,2,0),a(0,2,2),b(1,1,0).设平面ade的法向量为m=(x1,y1,z1),平面abd的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得ad=(0,-2,-2),ae=(1,-2,-2),db=(1,1,0),由m·ad=0,m·ae=0,得-2y1-2z1=0,x1-2y1-2z1=0,可取m=(0,1,-2).由n·ad=0,n·bd=0,即-2y2-2z2=0,x2+y2=0,可取n=(1,-1,2).于是|cos<m,n>|=|m·n|m|·|n|=33·2=32.由题意可知,所求二面角是锐

28、角,故二面角b-ad-e的大小是6.21.(本小题满分15分)(2014浙江,理21)如图,设椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆c只有一个公共点p,且点p在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点p的坐标;(2)若过原点o的直线l1与l垂直,证明:点p到直线l1的距离的最大值为a-b.分析:(1)因为直线与椭圆只有一个公共点,则只需联立直线与椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,则由判别式=0可求.(2)由直线l1过原点且与直线l垂直,即可求出直线l1的方程,进而利用点到直线的距离公式求出点p到直线l1的距离,然后寻找不等关系消去k即

29、可.解:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由y=kx+m,x2a2+y2b2=1,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与c只有一个公共点,故=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点p的坐标为-a2kmb2+a2k2,b2mb2+a2k2.又点p在第一象限,故点p的坐标为p-a2kb2+a2k2,b2b2+a2k2.(2)由于直线l1过原点o且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点p到直线l1的距离d=-a2kb2+a2k2+b2kb2+a2k21+k2,整理得d=a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2.因为a2k2+b2k2

30、2ab,所以a2-b2b2+a2+a2k2+b2k2a2-b2b2+a2+2ab=a-b,当且仅当k2=ba时等号成立.所以,点p到直线l1的距离的最大值为a-b.22.(本小题满分14分)(2014浙江,理22)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(ar).(1)若f(x)在-1,1上的最大值和最小值分别记为m(a),m(a),求m(a)-m(a);(2)设br.若f(x)+b24对x-1,1恒成立,求3a+b的取值范围.分析:(1)要求函数的最值需研究函数的单调性,因函数解析式含有三次式和绝对值,故需先去绝对值然后利用导数研究其单调性.又因为要求的是区间-1,1上的最值,故需分a-1,-1<a<1和a1三种情况讨论.(2)f(x)+b24对x-1,1恒成立,即-2f(x)+b2对x-1,1恒成立,也即函数h(x)=f(x)+2,x-1,1的值域应为-2,2的子集,由此寻求a,b满足的条件,进而求出3a+b的取值范围.解:(1)因为f(x)=x3+3x-3a,xa,x3-3x+3a,x<a,所以f'(x)=3x2+3,xa,3x2-3,x<a,由于-1x1,当a-1时,有xa,故f(x)=x3+3x-3a,此时f(x)在(-1,1)上是增函数,因此,m(a