2020届江苏省南京师范大附中高三下学期6月高考模拟(2)数学试题

1、1 / 28 2020届届江苏省南京师范大附中高三下学期江苏省南京师范大附中高三下学期6月高考模拟月高考模拟(1)数学试题数学试题 第第卷（必做题，共卷（必做题，共 160 分）分） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70分不需要写出解答过程，请将答案分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）填写在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合2,3a=，2,4b =，则ab =_ 【答案】2,3,4 【解析】 【分析】 利用并集的知识求得ab. 【详解】集合2,3a=，2,4b =，所以ab =2,3,4. 故答案为：2,3,

2、4 【点睛】本小题主要考查并集的概念和运算，属于基础题. 2. 设i是虚数单位，复数(),rzabi a b=+，若242zi=+，则ab =_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据复数的乘法法则将复数2z化为一般形式，根据复数相等可求得ab的值. 【详解】复数(),rzabi a b=+，()2222242zabiababii=+=+=+，22ab=， 因此，1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 将 6个数据 1，2，3，4，5，a 去掉最大的一个，剩下的 5个数据的平均数为 1.8，则a=_ 【答

3、案】1 【解析】 【分析】 利用平均数的计算公式列方程，解方程求得a的值. 【详解】若a是最大的数，则1 234535+ +=， 不符合题意. 故5是最大的数， 2 / 28 则12341.85a+ +=，解得1a = . 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查平均数的计算，属于基础题. 4. 下图是一个算法流程图，则输出的s的值是_ 【答案】1024 【解析】 【分析】 列举出算法循环的每一步，由此可得出输出的s的值. 【详解】第一次循环，010k =成立，012s = +，0 11k =+ =； 第二次循环，110k = 成立，01122s = +，1 12k = + =； 第三次循环，21

4、0k =成立，0121222s = +，213k =+ =； 以此类推，执行最后一次循环，910k =成立，012912222s = +，9 110k =+ =； 1010k =不成立，输出1001291 21 2222110241 2s= += +=. 故答案为：1024. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于中等题. 5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是_ 3 / 28 【答案】19 【解析】 个位数为 1,3,5,7,9 时，十位数为 2,4,6,8；个位数为 0,2,4,6,8 时，十位数为 1,3,5,7,9，共 45 个

5、个位数为 0 时，十位数为 1,3,5,7,9，共 5 个，个位数为 0 的概率是54519. 6. 函数( )()1 lg 2f xx=的定义域为_ 【答案】)8,2 【解析】 分析】 由二次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，列不等式组，可求得函数的定义域 【详解】解：由题意得，1 lg(2)020 xx得021020 xx， 解得82x ， 所以函数的定义域为)8,2， 故答案为：)8,2 【点睛】此题考查求复合函数的定义域，考查对数不等式的解法，属于基础题 7. 曲线()2sin04yx=+的一个对称中心的坐标为()3,0，则的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 令2sin(

6、3)04+=，求出最小的即可. 【详解】令2sin(3)04+=，可得sin(3)04+=，3=,4+kkz +,123= kkz，当1,4=k最小 故答案为：4 【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，考查了运算求解能力，属于基础题. 8. 设双曲线()222210,0 xyabab=的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为1:2，则双曲4 / 28 线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为1d，2d，则12dd=_ 【答案】33 【解析】 【分析】 先由题意，得到左准线为：2axc= ；右准线为2axc=；左右焦点分别记作()1,0fc，()2,0fc，根据题中条件，得到223c

7、a=，记该双曲线的右顶点为(),0a a，过点(),0a a作1aml于点m，过点()2,0fc作21f nl于点n，其中1l为双曲线的一条渐近线；根据三角形相似，即可得出结果. 【详解】因为双曲线()222210,0 xyabab=的左准线为：2axc= ；右准线为2axc=； 左右焦点分别记作()1,0fc，()2,0fc， 又左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为1:2， 所以2212accacc=+，整理得223ca=， 记该双曲线的右顶点为(),0a a，如图，过点(),0a a作1aml于点m，过点()2,0fc作21f nl于点n，其中1l为双曲线的一条渐近线； 则易知2r

8、t oamrt of n， 所以21222233damoaaadf nofcc=. 5 / 28 故答案为：33. 【点睛】本题主要考查双曲线性质的简单应用，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型. 9. 已知在体积为4的圆柱中，ab，cd分别是上、下底面直径，且abcd，则三棱锥abcd的体积为_ 【答案】83 【解析】 设上，下底面圆的圆心分别为1o，o，圆的半径为r 由已知，214vroo=圆柱，则214roo= a bcdc oabd oabvvv=+ o是cd中点 c到平面oab的距离与d到平面oab的距离相等 故c oabd oabvv=，2a bcdc oabvv= 设三棱锥coab

9、的高为h 则hr=， 211122 122233 28333a bcdc oaboabvvshab oorroor oor= 10. 已知( )3,0sin ,0 xx xf xx x=，( )23 ,0cos,0 xx xg xxx x+=+，则不等式( )()6f g x解集为_ 【答案】12xx 【解析】 【分析】 先由( )()6f g x结合函数( )yf x=的解析式，求得( )g x的取值范围，再结合函数( )yg x=的解析式可得出原不等式的解集. 【详解】令( )ug x=，由( )()6f g x得( )6f u ，且( )3,0sin ,0 xx xf xx x=. 当0

10、u时，由( )6f u 可得360uu，即()()22230uuu+， 6 / 28 ()2223120uuu+=+，解得2u ； 当0u时，( )sin1,1f uu= ，此时不等式( )6f u 无解. 所以，( )2g x ，且( )23 ,0cos,0 xx xg xxx x+=+. 当0 x 时，由( )2g x 可得232xx+，即2320 xx+，解得12x； 当0 x 时，1cos1x ，( )cos1g xxx=+，不等式( )2g x 无解. 综上所述，不等式( )()6f g x的解集为12xx. 故答案为：12xx. 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，考查了分类讨论

11、思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 11. 直线yaxb=+是曲线1yx=+的切线，则+ab的最小值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 设直线yaxb=+与曲线1yx=+相切于点()00,1xx +，根据导数的几何意义求出切线方程，可得001,212axxb=+，再根据基本不等式可得+ab的最小值. 【详解】设直线yaxb=+与曲线1yx=+相切于点()()000,10 xxx+， 当00 x =时，直线yb=不是曲线1yx=+的切线，故00 x , 由1yx=+得0012x xyx=， 所以切线方程为()()000112yxxxx+=， 即001122xyxx=+， 7 / 28 所以

12、001,212axxb=+， 所以00001112122222xxabxx+=+ + =， 当且仅当01x =时，等号成立，所以()min2ab+= 故答案为：2. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题. 12. 各项为正且公差不为 0的等差数列 na的第 1项、第 2 项、第 6项恰好是等比数列 nb的连续三项（顺序不变），设12231111nnnsa aa aa a+=+，若对于一切的*nn，11nsa，则1a的最小值为_ 【答案】13 【解析】 【分析】 根据等差数列 na的第 1 项、第 2 项、第 6 项恰好是等比数列 nb的连续三项，利用等比中项得到

13、2216aa a=，化简得到13da=，从而求得()132nana=，然后利用裂项相消法求得()2131nnsna=+，再由()211131nnaa+，得到131nan+求解. 【详解】设等差数列 na的公差为 d， 由2216aa a=得()()21115adaad+=+， 因为0d ， 所以13da=， 所以()()11132naandna=+=， 12231111nnnsa aa aa a+=+ 8 / 28 11223111111113nnaaaaaaa+=+ ()()21111133131ndnaanana=+， 所以()211131nnaa+，则131nan+， 因为1111313

14、313nnn=+， 所以113a ， 故1a的最小值为13 故答案为：13 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 在abc中，24acbc=，acb为钝角，,m n是边ab上的两个动点，且1mn =，若cm cn的最小值为34，则cosacb=_ 【答案】1 3 58 【解析】 【分析】 取mn的中点p得pnpm= ，12pnpm=，再将cm cn用向量,pn pm cp表示并结合cm cn的最小值为34得min1cp=，即c到直线ab的距离为1，再根据几何关系即可求得cosacb 【详解】取mn的中点

15、p，取pnpm= ，12pnpm=， () () () ()214cm cncppmcppncppmcppmcp=+=+=， 9 / 28 因为cm cn的最小值34， 所以min1cp= 作chab，垂足为h，如图， 则1ch =，又2bc =，所以30b=， 因为4ac =， 所以由正弦定理得：1sin4a=，15cos4a=， 所以()31coscos 150cossin22acbaaa= + 315111 3 524248= += 故答案为：1 3 58. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题. 14. 设 a，b是两个实数，0ab，直线: l

16、 ykxm=+和圆221xy+=交于两点 a，b，若对于任意的,ka b，均存在正数 m，使得oab的面积均不小于34，则2ba的最大值为_ 10 / 28 【答案】2 【解析】 【分析】 设 o 到直线 l 的距离为 d，利用三角形的面积均不小于34列不等式，由此求得d的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于,m k的不等式.根据k的取值范围，求得m的取值范围，由此求得关于, a b的不等式，结合导数求得2ba的最大值. 【详解】设 o 到直线 l的距离为 d，则2132 124aobsdd=， 解得1322d，即213221mk+， 所以22131122kmk+ +， 因为,ka b

17、，0m 时， 22max111122kb+=+，22min331122ka+=+， 所以22131122bma+ +， 因为存在0m 满足条件， 11 / 28 所以22131122ba+ +， 化简得223122ba，且0ab， 由223122ba得232ba+， 所以( )22322baaaf a+=， 因为0a ，解不等式( )26202 32afaa=+无解， 所以( )f a在)0,+上单调递减， 所以( )( )02f af= 故2ba的最大值为2 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题. 二、二、解答题（本大题共解答题（本大题共 6

18、小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd为矩形，平面 pad平面 abcd，papd，e，f分别为ad，pb的中点求证： （1）ef/平面 pcd； （2）平面 pab平面 pcd 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）取 bc 中点 g，连结 eg，fg，推导出/ /fgpc，/ /egdc，从而平面/ /efg平面pcd，由此12 / 28 能得出结论； （2）推导出cdad，从而cd 平

19、面 pad，即得cdpa，结合papd得出pa 平面 pcd，由此能证明结论成立. 【详解】（1）取 bc中点 g，连结 eg，fg，e，f 分别是 ad，pb 的中点， / /fgpc，/ /egdc， / /fg面pcd，/ /eg面pcd， fgegg=，平面/ /efg平面pcd， ef 平面efg，/ /ef平面pcd. （2）因底面 abcd 为矩形，所以cdad， 又因为平面pad 平面 abcd， 平面pad平面abcdad=，cd 平面 abcd，所以cd 平面 pad 因为pa 平面 pad，所以cdpa. 又因为papd， pdcdd=，所以pa 平面 pcd 因为pa

20、平面 pab，所以平面pab 平面 pcd 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16. 已知，均为锐角，且5tantan43+= （1）求cos2的值； （2）若()1sin3=，求tan的值 【答案】（1）35；（2）95 22+. 【解析】 【分析】 （1）对所给等式利用两角差的正切公式展开化简可求出tan，再利用二倍角公式及同角三角函数的关系13 / 28 进行化简求值；（2）利用同角三角函数的关系求出()cos、()tan，角写为()+，再利用两角和的正切公式展开求值. 【详解】（1）由5t

21、antan43+=，得1tan5tan1tan3+=+，即23tan5tan20=， 解得tan2=，或1tan3= ，因为为锐角， 所以tan2=，222222cossin1 tan3cos2cossin1 tan5= + （2）因为，均为锐角，所以22， 所以()()22 2cos1 sin3=，()()()sin2tancos4=， ()()()tantantantan1 tantan+=+= ()228295 24222 22124+= 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、三角恒等变换，涉及两角和与差的正切公式、二倍角的余弦公式，属于中档题. 17. 一种机械装置的示意图如图所示，所有

22、构件都在同一平面内，其中，o，a是两个固定点，2oa =米，线段 ab 是一个滑槽（宽度忽略不计），1ab =米，60oab=，线段 op，oq，pq 是三根可以任意伸缩的连接杆，opoq，o，p，q 按逆时针顺序排列，该装置通过连接点 q 在滑槽 ab 中来回运动，带动点 p 运动，在运动过程中，始终保持14opoq= （1）当点 q运动到 b点时，求 op的长； （2）点 q在滑槽中来回运动时，求点 p 的运动轨迹的长度 14 / 28 【答案】（1）34米；（2）14米 【解析】 【分析】 （1）当 q运动到b时，由条件可求得3oq = 在直角opq中，再利用14opoq=，可得op的长

23、. （2）以 o为坐标原点，ao所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出p， q两点坐标，写出直线ab的方程，找出p点轨迹的两个临界，即可得出 p的运动轨迹的长度. 【详解】（1）在rtopq中，14opoq=，设opx=，则4oqx=， 当点 q运动到 b 点时，224212 1 2 cos603oqx=+ =， 所以34x = 答：当点 q运动到 b 点时，op的长为34米 （2）以 o为坐标原点，ao所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设(),p x y，()00,q xy，则004 ,4xyyx= = 因为线段 ab 的方程为()32yx=+，32,2

24、x ， 所以()0032yx=+，032,2x ， 因此()4342xy=+，342,2y ， 整理得3132yx= +， 15 / 28 由342,2y 得3182y， 设直线3132yx= +和直线38y =的交点为 m， 直线3132yx= +和直线12y =的交点为 n， 则点 p的运动轨迹为线段 mn，易解得3 3,88m，10,2n， 所以22331108824mn=+= 答：点 q 在滑槽中运动时，点 p的运动轨迹的长度为14米 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，涉及直线的方程，弄清楚模型是关键，属于难题. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10 xyca

25、bab+=，直线():,r,0l ykxt k tk=+ （1）若椭圆 c 的一条准线方程为4x =，且焦距为 2，求椭圆 c的方程； （2）设椭圆 c 的左焦点为 f，上顶点为 a，直线 l过点 f，且与 fa垂直，交椭圆 c于 m，n（m在 x轴上方），若2nffm=，求椭圆 c的离心率； （3）在（1）的条件下，若椭圆 c 上存在相异两点 p，q 关于直线 l对称，求2t的取值范围（用 k表示） 【答案】（1）22143xy+=；（2）1536e=；（3）220,34kk+. 【解析】 【分析】 （1）利用准线、焦距以及222abc=+列方程组，解方程组求得, ,a b c的值，进而求得

26、椭圆方程. （2）求得直线l的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合2nffm=得到关于, a c的方程，由此求得椭圆的离心率. （3）设()11,p x y，()22,q xy，pq的中点()00,xy，利用点差法求得0043txkyt= = ，根据点()00,xy在椭圆 c 的内部列不等式，由此求得2t的取值范围. 16 / 28 【详解】（1）设椭圆 c 的半焦距为 c， 因为椭圆 c的一条准线方程为4x =，且焦距为 2， 所以22224,22accabc=+， 解得2,31abc=，椭圆 c 的方程为22143xy+= （2）如图，因为()0,ab，(),0fc， 所以afbk

27、c=， 因为直线 l过点 f，且与 fa 垂直， 所以直线 l的方程为bxycc= ， 与椭圆 c 的方程联立得()4222324220ba cyb c yb c+=， 因为 l过左焦点 f， 所以 恒成立， 设()11,m x y，()22,n xy，则321242242124222,b cyyba cb cy yba c+= += +（*）， 因为2nffm=， 所以212yy= ， 代入（*）得32142242214222,2b cyba cb cyba c= += +， 消去1y并化简得4222280ba cb c+=， 因为222bac=， 所以()()2222222280aca c

28、acc+=， 17 / 28 即4224990ca ca+=， 因为cea=， 所以429910ee+ =，解得2356e=， 所以3515366e= （3）如图，设()11,p x y，()22,q xy，pq中点()00,xy， 则221122221,43143xyxy+=+=，两式相减并化简得 2121212134yyyyxxxx+= +，即0034pqykx= ， 因为1pqkk= ， 所以0034kyx=， 又00ykxt=+， 所以004,3txkyt= = ， 因为点()00,xy在椭圆 c的内部， 18 / 28 所以()2243143ttk+，化简得22234ktk+ 故2t

29、的取值范围为220,34kk+ 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 19. 已知函数( )()11xf xaxae=+，( )21122g xaxxa=+，其中ra （1）当0a =时，求函数( )( )()2112f xf xx=在r上的零点个数； （2）对任意的1x，有( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围 【答案】（1）( )f x在r上只有一个零点；（2）)0,+. 【解析】 【分析】 （1）求得( )()12112xf xex=，利用导数分析函数( )f x在r上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；

30、（2）令( )( )( )h xf xg x=，求得( )()()111xh xaxe=+，对实数a的取值分0a 、1a 、10a 三种情况讨论，利用导数分析函数( )h x在区间)1,+上的单调性，验证不等式( )0h x 是否恒成立，由此可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）0a =时，( )( )()()221111122xf xf xxex=，( )11xfxex=+， 令( )11xg xex=+，则( )11xgxe=， 19 / 28 当1x 时，( )0gx，当1x 时，( )0gx， 所以( )g x在(),1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以( )( )110g x

31、g= ， 所以( )0fx，( )f x在 r 上单调递增， 由于( )11002fe=，( )110f=，所以( )f x在 r 上只有一个零点 （2）令( )( )( )()1211122xh xf xg xaxaeaxxa=+， 则对任意的1x，( )0h x 恒成立，注意到( )10h=， ( )()()()()1111111111xxxxh xaeaxaeaxaxeaxaxe=+ =+ =+ 因为1x，所以110 xe 若0a ，当1x时，10ax+ ，( )0h x，所以( )h x在)1,+上单调递增， 当1x时，( )( )10h xh=，符合题意 若1a ，当1x 时，10a

32、x+ ，( )0h x，所以( )h x在)1,+上单调递减， 当1x 时，( )( )10h xh=，与( )0h x 矛盾，不符合题意 当10a 时，由（1）知，( )()12112xf xex=在r上单调递增，且只有一个零点， 设该零点为0 x，则()00,1x ， 当1x 时，( )( )()010f xff x=， 即1x 时，()21112xex，()21112xaea x ， 则( )()()()()21211111111222xxh xaxaeaxxaaxaea xaxa=+=+ ()()()()11111211xxxaxaeaeaxaaxaeaxa+=+， 当210axa+

33、，即121xa时，()1210 xaxae+， 当10a ，1x 时，()10axa+， 所以12xa时，( )0h x ，与( )0h x 矛盾，不符合题意 20 / 28 故实数a的取值范围是)0,+ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于难题. 20. 若无穷数列 na和无穷数列 nb满足：存在正常数 a，使得对任意的*nn，均有nnaba，则称数列 na与 nb具有关系( )p a （1）设无穷数列 na和 nb均是等差数列，且2nan=，()*2nnbnn=+，问：数列 na与 nb是否具有关系( )1p？说明理由

34、； （2）设无穷数列 na是首项为 1，公比为13的等比数列，11nnba+=+，*nn，证明：数列 na与 nb具有关系( )p a，并求 a 的最小值； （3）设无穷数列 na是首项为 1，公差为()rd d 的等差数列，无穷数列 nb是首项为 2，公比为()*nq q的等比数列，试求数列 na与 nb具有关系( )p a的充要条件 【答案】（1）数列 na与 nb不具有关系( )1p；理由见解析；（2）证明见解析，a 的最小值为 1；（3）数列 na与 nb具有关系( )p a的充要条件为0d =，1q = 【解析】 【分析】 （1）先假设数列 na与 nb具有关系( )1p，根据题意，

35、推出矛盾，即可得出结论； （2）根据等比数列的通项公式，得到1112111333nnnnnab= ，即可得出数列 na与 nb具有关系( )p a设 a的最小值为0a，0nnaba，结合题中条件，即可求出结果； （3）先由等差数列与等比数列的通项公式得出两数列通项，设1da=，20bq=，根据数列 na与 nb具有关系( )p a，即存在正常数 a，使得对任意的*nn，均有nnaba分0d =，1q =；0d =，2q ；0d ，1q =；0d ，2q 四种情况讨论，结合导数的方法，以及反证法，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为2nan=，()*2nnbnn=+， 21 / 28 若

36、数列 na与 nb具有关系( )1p， 则对任意的*nn，均有1nnab， 即()221nn+，亦即21n， 但4n =时，221n=， 所以数列 na与 nb不具有关系( )1p （2）证明：因为无穷数列 na是首项为 1，公比为13的等比数列， 所以113nna=， 因为11nnba+=+， 所以113nnb=+， 所以1112111333nnnnnab= ， 所以数列 na与 nb具有关系( )p a 设 a 的最小值为0a，0nnaba， 因为1nnab，所以01a 若001a，则当302log1na时，0231na， 则0213na，这与“对任意的*nn，均有0nnaba”矛盾， 所

37、以01a =，即 a的最小值为 1 （3）因为数列 na是首项为 1，公差为()rd d 的等差数列， 无穷数列 nb是首项为 2，公比为()*nq q的等比数列， 所以()111naanddnd=+=+ ，112nnnbbqqq=， 设1da=，20bq=， 22 / 28 则nadna=+，nnbbq=，*nn 数列 na与 nb具有关系( )p a，即存在正常数 a， 使得对任意的*nn，均有nnaba （）当0d =，1q =时，1 21 1nnab= ，取1a =， 则nnaba，数列 na与 nb具有关系( )p a； （）当0d =，2q 时，假设数列 na与 nb具有关系( )

38、p a， 则存在正常数 a，使得对任意的*nn，均有nnaba 因为nnnnbaab， 所以，对任意的*nn，nnbaa， 即1nbqa +，1naqb+， 所以1logqanb+， 这与“对任意的*nn，均有nnbaa”矛盾，不合； （）当0d ，1q =时，假设数列 na与 nb具有关系( )p a， 则存在正常数 a，使得对任意的*nn，均有nnaba 因为nnnnabab， 所以，对任意的*nn，nnaba， 即2naa+，2dnaa+， 所以2dnaa+，2aand+， 这与“对任意的*nn，均有nnaba”矛盾，不合； （）当0d ，2q 时，假设数列 na与 nb具有关系( )p

39、 a， 则存在正常数 a，使得对任意的*nn，均有nnaba 因为nnnnbaab， 23 / 28 所以，对任意的*nn，nnbaa， 所以nbqdnaad naa+， 所以ndaaqnbb+， 设0db=，0aab+=， 则对任意的*nn，nqn+ 因为，2nnq ， 所以，对任意的*nn，2nn+， 下面先证明：存在1n ，当nn时，22nn 即证ln22ln0nn 设( )()ln0f xxx x=，则( )11222xfxxxx=， 所以()0,4x时，( )0fx，( )fx在区间()0,4上递增， 同理( )fx在区间()4,+上递减， 所以( )( )max4ln420f xf

40、=， 所以ln xx 因此，()()ln22lnln22ln22xxxxxx=， 所以，当22ln2x时，ln22ln0 xx， 设22ln2n=，则当xn时，ln22ln0 xx， 即当nn时，22nn，又2nn+， 所以2nn+，即20nn， 解得2402n+， 24 / 28 这与对任意的*nn，2nn+矛盾，不合 综上所述，数列 na与 nb具有关系( )p a的充要条件为0d =，1q = 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的应用，涉及导数的方法求最值，以及反证思想的应用，综合性较强，难度较大. 第第卷（附加题，共卷（附加题，共 40 分）分） 【选做题】本题包括【选做题】本题包

41、括 a，b，c三小题，请选定其中两题作答，每小题三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计分共计 20 分，解分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 a选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 21. 已知二阶矩阵m的逆矩阵1213122=m （1）求矩阵m； （2）设直线:4l x = 在矩阵m对应的变换的作用下得到直线l，求l的方程 【答案】（1）1234m=；（2）240 xy=. 【解析】 【分析】 （1）利用逆矩阵的计算公式可求得矩阵m； （2）设直线l上一点(),p x y，则直线l上一点(),px y，根据矩阵的乘法可计算得出232

42、2xyxyyx=，代入4x = ，化简可得出直线l的方程. 【详解】（1）由1213122=m，知其行列式为：13121222 = 得112111222334221122m=； （2）设直线l上一点(),p x y，则直线l上一点(),px y， 25 / 28 在矩阵m的作用变换下，1223434xxxyyyxy+ = + ， 所以234xxyyxy=+=+，所以2322xyxyyx= 4x = ，24yx= ，即直线l的方程为240 xy= 【点睛】本题考查二阶逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵变换，考查计算能力，属于中等题. b选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22. 已知

43、直线 p的参数方程为x82tty= +=（t 为参数）,曲线 c的参数方程为22,2 2xsys =（s为参数）设 p为曲线 c 上的动点，求点 p 到直线 l的距离的最小值. 【答案】4 55. 【解析】 【详解】直线l的普通方程为280 xy+=. 因为点p在曲线c上，设()22,2 2pss， 从而点p到直线l的距离()()()222222424 28512sssd+=+ ， 当2s =时，min4 55d=. 因此当点p的坐标为()4,4时，曲线c上点p到直线l的距离取到最小值4 55. c选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23. 已知：a，b，c+r且231abc+=，求证：222114abc+ 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 构造柯西不等式，即可得出结果. 26 / 28 【详解】由柯西不等式，得() ()()22222221231231