2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷) (2)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学1.(2016浙江,文1)已知全集u=1,2,3,4,5,6,集合p=1,3,5,q=1,2,4,则(up)q=()a.1b.3,5c.1,2,4,6d.1,2,3,4,5答案c由题意,得up=2,4,6,又q=1,2,4,所以(up)q=1,2,4,6,故选c.2.(2016浙江,文2)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()a.mlb.mnc.nld.mn答案c对于选项a,=l,l,m,m与l可能平行,也可能异面,故选项a不正确;对于选项b,d,m,n,m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项b,d不正确.对于选项

2、c,=l,l.n,nl.故选c.3.(2016浙江,文3)函数y=sin x2的图象是()答案df(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),y=sin x2的图象关于y轴对称,排除a,c;又当x=±2时,sin241,排除b,故选d.4.(2016浙江,文4)若平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()a.355b.2c.322d.5答案b画平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30如图阴影部分所示.两平行直线的斜率为1,两平行直线与直线x+y-3=0垂直,两平行线间的最短距离是ab的

3、长度.由x+y-3=0,x-2y+3=0,得a(1,2).由x+y-3=0,2x-y-3=0,得b(2,1).|ab|=(1-2)2+(2-1)2=2,故选b.5.(2016浙江,文5)已知a,b>0且a1,b1.若logab>1,则()a.(a-1)(b-1)<0b.(a-1)(a-b)>0c.(b-1)(b-a)<0d.(b-1)(b-a)>0答案d当0<a<1时,由logab>1得b<a.a<1,b<a<1,b-a<0,b-1<0,a-1<0.(a-1)(b-1)>0,(a-1)(a-b

4、)<0,(b-a)(b-1)>0.排除a,b,c.当a>1时,由logab>1得b>a>1.b-a>0,b-1>0.(b-1)(b-a)>0.故选d.6.(2016浙江,文6)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案af(x)=x2+bx=x+b22-b24,当x=-b2时,f(x)取最小值-b24.令t=f(x),则t-b24,f(t)=t2+btt-b24.对称轴为t=-b2,又t-b24,当-b

5、24-b2,即b0或b2时,f(t)的最小值在t=-b2处取得,且f(t)的最小值与f(x)的最小值相等.综上,可知b<0是f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等的充分不必要条件.7.(2016浙江,文7)已知函数f(x)满足:f(x)|x|,且f(x)2x,xr.()a.若f(a)|b|,则abb.若f(a)2b,则abc.若f(a)|b|,则abd.若f(a)2b,则ab答案bf(x)|x|且f(x)2x,f(x)表示的区域如图阴影部分所示.对于选项a和选项c而言,无论f(a)|b|还是f(a)|b|,均有ab或ab都成立,选项a和选项c均不正确;对于选项b,若f(a)2b,只能

6、得到ab,故选项b正确;对于选项d,若f(a)2b,由图象可知ab与ab均有可能,故选项d不正确.8.(2016浙江,文8)如图,点列an,bn分别在某锐角的两边上,且|anan+1|=|an+1an+2|,anan+2,nn*,|bnbn+1|=|bn+1bn+2|,bnbn+2,nn*.(pq表示点p与q不重合)若dn=|anbn|,sn为anbnbn+1的面积,则()a.sn是等差数列b.sn2是等差数列c.dn是等差数列d.dn2是等差数列答案a如图,延长ana1,bnb1交于p,过an作对边bnbn+1的垂线,其长度记为h1,过an+1作对边bn+1bn+2的垂线,其长度记为h2,则

7、sn=12|bnbn+1|×h1,sn+1=12|bn+1bn+2|×h2.sn+1-sn=12|bn+1bn+2|h2-12|bnbn+1|h1.|bnbn+1|=|bn+1bn+2|,sn+1-sn=12|bnbn+1|(h2-h1).设此锐角为,则h2=|pan+1|sin ,h1=|pan|sin ,h2-h1=sin (|pan+1|-|pan|)=|anan+1|sin .sn+1-sn=12|bnbn+1|anan+1|sin .|bnbn+1|,|anan+1|,sin 均为定值,sn+1-sn为定值.sn是等差数列.故选a.9.(2016浙江,文9)某几何

8、体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3. 答案8040解析由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,故s表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm2),v=23+4×4×2=40(cm3).10.(2016浙江,文10)已知ar,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是. 答案(-2,-4)5解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)

9、2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+122+(y+1)2=-54不表示圆.11.(2016浙江,文11)已知2cos2x+sin 2x=asin(x+)+b(a>0),则a=,b=. 答案21解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+4+1,所以a=2,b=1.12.(2016浙江,文12)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xr,则实数a=,b=. 答案-21解析因为f(x)-f(a)=x3+

10、3x2+1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a2,(x-b)(x-a)2=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b,所以-2a-b=3,a2+2ab=0,-a2b=-a3-3a2,解得a=-2,b=1.13.(2016浙江,文13)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为f1,f2.若点p在双曲线上,且f1pf2为锐角三角形,则|pf1|+|pf2|的取值范围是. 答案(27,8)解析由题意,知a=1,b=3,c=2,则e=ca=2.设p(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设p在右支上,由f1pf2为锐角三角形,可知1<x<2,则|pf1|

11、=(x+2)2+y2=2x+1,|pf2|=(x-2)2+y2=2x-1.由f1pf2为锐角三角形,知f1pf2为锐角,则|pf1|2+|pf2|2>|f1f2|2,即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72,所以72<x<2,所以|pf1|+|pf2|=4x(27,8).14.(2016浙江,文14)如图,已知平面四边形abcd,ab=bc=3,cd=1,ad=5,adc=90°.沿直线ac将acd翻折成acd',直线ac与bd'所成角的余弦的最大值是. 答案66解析设直线ac与bd'所成角为.设o是ac中点

12、,由已知得ac=6,如图,以直线ob为x轴,直线oa为y轴,过o与平面abc垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,由a0,62,0,b302,0,0,c0,-62,0.作dhac于h,翻折过程中,d'h始终与ac垂直,在rtadc中,可知ch=cd2ca=16=66,则oh=63,dh=1×56=306,因此可设d'306cos,-63,306sin,则bd'=306cos-302,-63,306sin.因为与ca平行的单位向量为n=(0,1,0).所以cos =|cos<bd',n>|=bd'·n|bd'|n|=

13、639-5cos,所以cos =1时,cos 取最大值66.15.(2016浙江,文15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是. 答案7解析由已知得<a,b>=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos ,sin ),则|a·e|+|b·e|=|cos |+|cos +3sin |cos |+|cos |+3|sin |=2|cos |+3|sin |,取等号时cos 与sin 同号.所以2|cos |+3|sin |=|

14、2cos +3sin |=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取为锐角.显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin ,cos 同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.16.(2016浙江,文16)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos b.(1)证明:a=2b;(2)若cos b=23,求cos c的值.证明(1)由正弦定理得sin b+sin c=2sin acos b,故2sin acos b=sin b+sin(a+b)=sin b+sin acos

15、 b+cos asin b,于是sin b=sin(a-b).又a,b(0,),故0<a-b<,所以b=-(a-b)或b=a-b,因此a=(舍去)或a=2b,所以,a=2b.(2)由cos b=23得sin b=53,cos 2b=2cos2b-1=-19,故cos a=-19,sin a=459,cos c=-cos(a+b)=-cos acos b+sin asin b=2227.17.(2016浙江,文17)设数列an的前n项和为sn.已知s2=4,an+1=2sn+1,nn*.(1)求通项公式an;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.解(1)由题意得a1+a2=4,a2

16、=2a1+1,则a1=1,a2=3.又当n2时,由an+1-an=(2sn+1)-(2sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nn*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nn*,b1=2,b2=1.当n3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n3.设数列bn的前n项和为tn,则t1=2,t2=3.当n3时,tn=3+9(1-3n-2)1-3-(n+7)(n-2)2=3n-n2-5n+112,所以tn=2,n=1,3n-n2-5n+112,n2,nn*.18.(2016浙江,文18)如图,在三棱台abc-def中,平面bcfe平面

17、abc,acb=90°,be=ef=fc=1,bc=2,ac=3.(1)求证:bf平面acfd;(2)求直线bd与平面acfd所成角的余弦值.(1)证明延长ad,be,cf相交于一点k,如图所示.因为平面bcfe平面abc,且acbc,所以ac平面bck,因此bfac.又因为efbc,be=ef=fc=1,bc=2,所以bck为等边三角形,且f为ck的中点,则bfck.所以bf平面acfd.(2)解因为bf平面ack,所以bdf是直线bd与平面acfd所成的角.在rtbfd中,bf=3,df=32,得cosbdf=217,所以,直线bd与平面acfd所成角的余弦值为217.19.(2

18、016浙江,文19)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为f,抛物线上的点a到y轴的距离等于|af|-1.(1)求p的值;(2)若直线af交抛物线于另一点b,过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n,an与x轴交于点m.求m的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得,抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,f(1,0),可设a(t2,2t),t0,t±1.因为af不垂直于y轴,可设直线af:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,b1t2,-2t.又直线ab的斜率为2tt2-1,故直线fn的斜率为-t2-12t.从而得直线fn:y=-t2-12t(x-1),直线bn:y=-2t.所以nt2+3t2-1,-2t.设m(m,0),由a,m,n三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点m的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).20.(2016浙江,文20)