材料力学 第04章 弯曲应力

1、FFconst=0=SMF，纯弯曲纯弯曲：00，MFS横力弯曲横力弯曲：FFaalCDABFSFFMFa4-44-4纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力一一. . 纯弯曲纯弯曲：在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成弯才能合成弯矩矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dA才能合成剪力才能合成剪力FS SdAMSFAd MSFdAdAdASFM弯曲变形动画弯曲变形动画aabbmnmnMMMM变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系三个方面三个方面: :一一. .几何变形几何变形(1)aa(1)aa、bbbb弯成弧弯成弧线，线，a

2、aaa缩短，缩短，bbbb伸伸长长( (2)mm、nn变形后仍变形后仍保持为直线，且仍与保持为直线，且仍与变为弧线的变为弧线的aa，bb正正交；交；(3)(3)部分纵向线段缩短部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段，另一部分纵向线段 伸长。伸长。1.1.平面假设：平面假设：梁各个横截面变形后仍保持为平面梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。2.2.单向受力假设：单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。处于单向受

3、拉或受压的状态。 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面部分纵向纤维伸长，必有部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不一层纵向纤维既不伸长也不缩短缩短, ,保持原来的长度保持原来的长度，这一纵向纤维层称为，这一纵向纤维层称为中性层中性层. .中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性中性轴轴几何方程几何方程二二. . 物理关系物理关系ddd)(ddyxxyzdxydyy E Ey一点的正应力与它到中性层的距离成正比。一点的正应力与它到中性层的距离成正比。dxxd三三. .静力学方程静力学方程AAF

4、d NAyAzMdAzAyMd 0 0 M0d NAAF0dAAyE0dAAyE0zASydA必过截面形心中性轴Z横截面对横截面对Z Z轴的静矩轴的静矩设中性轴为zdAyzM0d AyAzM0dAAzydAEAyzE0yzAIzydAMAyMAzdMAyEAyyEAAdd2zEIM1zAIdAy2yzyz轴为截面的主惯性轴轴为截面的主惯性轴截面的形心主惯性矩截面的形心主惯性矩中性层的曲率公式中性层的曲率公式横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力tZM yI1max21yyy若当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：,cZMyI2maxct则MWZmaxmaxM yIZ正应力正

5、应力ZIyMyEWz 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量WIyzzmax1 1）沿）沿y y轴线性分布，同一轴线性分布，同一坐标坐标y y处，正应力相等。中处，正应力相等。中性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。2 2）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。3 3）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距中性轴最远处。中性轴最远处。3.简单截面的抗弯模量简单截面的抗弯模量hbhhIWzz2122/3yyd(1)(1)矩形：矩形：261bhWzy(2)(2)圆：圆：32)2/(6434DDDWz(3)(3)圆环圆环)1 (32)2/(64)(4344DDdDWZyx

6、DdZy0DDd式中 zIyxM 二.横力弯曲时的正应力三.梁弯曲正应力强度条件 上式是在上式是在平面假设平面假设和和单向受力假设单向受力假设的基础上推的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于对于横力弯曲，由于剪力剪力的存在，横截面产生剪的存在，横截面产生剪切变形，使切变形，使横截面发生翘曲横截面发生翘曲，不再保持为平面。理，不再保持为平面。理论证明在论证明在L/h大于大于5时该式的精度能满足工程要求。时该式的精度能满足工程要求。maxZIyM利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：maxmax

7、MWZ已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸; ;已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxMWzzWM 例例 ：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图置分别如图(a)(a)、(b)(b)。按弯曲正应力强度条件确。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比定两者许可载荷之比 P P1 1P P2 2？l解：解：6/2111max1maxbhlPWMz6/2222max2maxhb

8、lPWMz由得maxmax :12PPhb12 例例 主主梁梁ABAB，跨度为，跨度为l l，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高承载的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度的最佳长度a为多少？为多少？解解：a2a2l2l2PABCD4/ )(maxalPMAB主梁主梁AB:AB:MMPlaABmax()42PAB2 / )( al2 / )( al2PPaCD副梁副梁CD:CD:MPaCDmax4PlaPa44()由由CDABMM)()(maxmax得得al2M4 P)(MCDmaxa 例例 受均布载荷的外伸

9、梁材料许用应力受均布载荷的外伸梁材料许用应力校核该梁的强度。校核该梁的强度。解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见MPa160Mmax20kN m2m4m10kN/m10020045kN15kNSF202515tzMWmax6/2 . 01 . 0102023MPa30t 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全M2025.11 例例 图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力t t =30MPa=30MPa，许用压应力，许用压应力c c =60MPa,=60MPa,z z=7.63=7.631010-6-6m m4 4，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。9kN4kN1m1m1mABCDM

10、25 . kN105 . kNCz5288C C截面截面B B截面截面2.54MPa8 .28885 . 2ztItMPa17525 . 2zcIcMPa27524ztItMPa46884zcIc注：强度校核（选截面、荷载）注：强度校核（选截面、荷载）（1）ctct（等截面）只须校核（等截面）只须校核Mmax处处（2）（等截面）（等截面）(a)对称截面情况只须校核对称截面情况只须校核Mmax处使处使cctt,maxmax(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核非对称截面情况，具体分析，一般要校核M+max与与 M-max两处。两处。 例例 简支梁简支梁ABAB，在截面下边缘贴一应变片，测，在

11、截面下边缘贴一应变片，测得其应变得其应变= 610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPaE=200GPa，求载荷求载荷P的大小。的大小。04 . m05 . m1mPABCD4020解：解：C点的应力点的应力CE2001061034MPa120C由由C截面的弯矩截面的弯矩MWCCzPFMAC4 . 05 . 05 . 0得得P 32 . kN 02 . P640N m640N m04 . m05 . m1mPABCD支座反力支座反力PFA4 . 0 例例 图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷求载荷P的大小。的大小。

12、P2mABC2003002m解：解：2/0d)(lACxxP2 mABC2003002 mxdx2/0d)(lxEx2/0d)(lzxEWxM2/0d2lzxEWxPPlW Ez216PW ElzAC162 164020361051022103.kN150P 我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是寸比例是 h:b=3:2h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。佳比值。（使（使Wz最大）bhd解：解：bhd222Wbhz26b db()226

13、026dd22bdbWz由此得由此得bd3hdbd22232bh图图a所示工字钢制所示工字钢制成的梁，其计算简成的梁，其计算简图可取为如图图可取为如图b所所示的简支梁。钢的示的简支梁。钢的许用弯曲正应力许用弯曲正应力 =152 MPa 。试。试选择工字钢的号码。选择工字钢的号码。例题例题 1. 画画M图，并确定图，并确定Mmax。弯矩图如图弯矩图如图c所示所示mkN375max M解解:强度条件强度条件 要求：要求： zWMmax 366maxm102460Pa10152mkN375 MWz363m102447cm2447 zW 此值虽略小于要求的此值虽略小于要求的Wz但相差不到但相差不到1%

14、，故，故可以选用可以选用56b工字钢。工字钢。由型钢规格表查得由型钢规格表查得56b号工字钢的号工字钢的Wz为为2. 求求Wz，选择工字钢型号，选择工字钢型号 图图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴所示。已知横截面对于中性轴z 的的惯性矩惯性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应。铸铁的许用拉应力力 t=30 MPa，许用压应力，许用压应力 c=90 MPa 。试求梁。试求梁的许用荷载的许用荷载F。例题例题 86134C截面截面B截面截面(d)解解:zBtIFb 8621max

15、maxmaxBttzctIFb 13441maxzBccIFb 13421max,max,1. 由由 t,max t 确定确定F。Pa1030m105493)m1086)(m22/(648-3max, t F F119200N=19.2kNF236893N=36.893kN2. 由由 c,max c 确定确定F。Pa1090m105493)m10134)(m22/(648-3maxc, F F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。，可见梁的强度由拉应力确定。一一.矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力hq x( )Pbxdxq x( )M x( )M xM x( )( )dM yIzzySF

16、SSdFF mnnmdx 1 1MFS 2 2M+dMFSy平平行行的的方方向向都都与与假假设设SF) 1y沿宽度均布。)2NFNIIF在在h h b b的情况下的情况下*dNIAAF*d)d(d)(1NAzAAIyMMAF*d1AzAIyM*d1AzAyIMMISzz*xbSIMSIMMzzzzdd*即：SI bMxzz*ddxbFFd INIINbISFzz*S*1ddd*zzAzSIMMAyIMM结论：结论：NFNIIF*A*A*ASdFyy *SbISFzz*CzyAS 222yhyyhb 2242yhb 23 SmaxbhF3. .切应力分布规律切应力分布规律)4(222SyhIFz

17、 max bhyzFSy123bhIz223S46yhbhF二二.工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力腹板腹板翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：bISFzz*SbBhHybISFzz*maxSmax1 1、腹板上的切应力、腹板上的切应力dISFzz*SyyhdyhhbSz22/222*22222yhdhbxyhzOdbydAxzyOA*dx22*222yhdhbSz腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处中性轴处中性轴处hbdIFz2Smin2S*max,Smax222hdhbdIFdISFzzzzyOmaxminmax2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 a、因为翼缘的上、下表面无、因为翼缘的上、下表面

18、无切应力，所以翼缘上、下边缘切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于处平行于y 轴的切应力为零；轴的切应力为零； b、计算表明，工字形截面梁、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力的腹板承担的剪力(1) 平行于平行于y 轴的切应力轴的切应力可见翼缘上平行于可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一轴的切应力很小，工程上一般不考虑。般不考虑。S11S9 . 0dFAFAxyhzOdby(2) 垂直于垂直于y 轴的切应力轴的切应力zzISF*S1*N1*N2S dFFFhIFhIFzz222SS*dzzSIM11*N2F*N1FxFdd1S 11xyhzOdb即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于y轴的切轴的切

19、应力随应力随 按线性规律变化。按线性规律变化。hIFz2S1 且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应切应力流力流”。zyOmaxmaxmin1max三、薄壁环形截面梁三、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：应力的分布特征：(1) r0沿壁厚切应沿壁厚切应力的大小不变；力的大小不变；(2) 内、外壁上无切应力内、外壁上无切应力切应力的方向与圆周切应力的方向与圆周相切；相切；(3) y轴是对称轴轴是对称轴切应切应力分布与力分布与 y轴对称

20、；与轴对称；与 y轴相交的各点处切应力轴相交的各点处切应力为零。为零。最大切应力最大切应力max 仍发生仍发生在中性轴在中性轴z上。上。zyOmaxr0max2000*22rrrSz302002p22drrrAIAzyzIIII2p30p21rIIz)2()2(23020S*SmaxrrFISFzzAFrFS0S202rAzyOr0yz2r0 /OC薄壁环形截面梁最大切应力的计算薄壁环形截面梁最大切应力的计算四、圆截面梁四、圆截面梁切应力的分布特征：切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周边缘各点切应力的方向与圆周相切；相切；切应力分布与切应力分布与 y轴对称；轴对称；与与 y轴相交各点处

21、的切应力其轴相交各点处的切应力其方向与方向与y轴一致。轴一致。)(*SybISFzzy关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水的水平直线段上各点处的切应力汇平直线段上各点处的切应力汇交于一点交于一点 ；2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y沿宽度相等。沿宽度相等。zyOmaxkkOd最大切应力最大切应力 max 在中性轴在中性轴z处处dISFzz*SmaxAFdF34434S2SddddF643242142SzyOmaxkkOdyzOC2d /3、梁的切应力强度条件、梁的切应力强度条件一般一般 max发生在发生在FS

22、, ,max所在截面的中性轴处，该位置所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则。不计挤压，则 max所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bISFzz*max,max,S材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有EmaxFmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上梁上 max所在点处于所在点处于单轴应力状态单轴应力状态，其正，其正应力强度条件为应力强度条件为 max梁上任意点梁上任意点G 和和H 平面应力状态平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不若这种应力状态的

23、点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（须考虑两者的共同作用（强度理论强度理论）。）。Cmax DmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GH横力弯曲梁的强度条件：横力弯曲梁的强度条件： max max强度强度足够足够 max max确定截面尺寸确定截面尺寸验验证证设计截面时设计截面时Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2 例例 圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa=160MPa，=100MPa=100MPa，试求最小直径，试求最小直径d dminminq

24、20kN/m4mABd解：解：kN,40maxSFmaxmax MWzMqlmax2840kN m由正应力强度条件：由正应力强度条件：6331016032/1040d即得 d 137mm34maxmaxAFs623101004/104034d即得d 261 . mm由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：所以dmin 137mmq 20kN / m4 mABd-40kN-40kN40kN40kNmkN40 例例 跨度为跨度为6m的简支钢梁，是由的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中号工字钢在其中间区段焊上两块间区段焊上两块 100 10 3000mm的钢板制成。材料的钢板制成。材料均为均为Q235钢

25、，其钢，其 =170MPa， =100MPa。试校核。试校核该梁的强度。该梁的强度。kN75AFkN75BF解解 1、计算反力得、计算反力得F1F2 50kN 50kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010FS(kN)xM(kNmm)x75252575112.5150112.5F1F2 50kN 50kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010kN75max,SFmkN150maxMmkN150maxM)2102320(101001210100 2105 .11075234zI44

26、mm1016522最大弯矩为最大弯矩为334maxmm1097210)2/320(1016522yIWzzMPa3 .154109721015036maxmax,zEWMF1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010EMPa5 .162102 .692105 .11236max,zCCWMMPa8 .286 .2745 . 910753max,maxmaxzzsdISFmkN5 .112CMC截面弯矩为截面弯矩为FS(kN)xM(kNmm)x75252575112.5150112.5F1F2 50kN 50kN 5

27、0kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010满足强度条件满足强度条件剪应力强度条件剪应力强度条件例例 跨度跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材料为红松，料为红松，许用正应力许用正应力=10MPa,许用剪应力许用剪应力 =1MPa, 胶合缝的许用剪应力胶合缝的许用剪应力=0.5MPa。试求该试求该梁的容许荷载集度梁的容许荷载集度q之值。之值。yz20100100201802404545BlAqql 2FS q

28、l28l/2M 解：解：1、最大弯矩、最大剪力、最大弯矩、最大剪力2、由正应力确定许可载荷、由正应力确定许可载荷kN22/max,SqqlFmkN28/2maxqqlM33)202240()452180(12112240180zI44mm1014736334maxmm1012281201014736yIWzzyz20100100201802404545kN/m14. 6q1010122810236maxmaxqWMzyz20100100201802404545kN22/max,SqqlF33max,mm108462100100452)220100(20180zSMPa78. 010147369

29、0108461014. 62433max,maxS,maxzzbISF33mm10396)220100(20180zSMPa367. 0101473690103961014. 62433maxS,zzbISF3、校核切应力强度条件、校核切应力强度条件 例例 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为若材料许用应力为 ，其许可载荷，其许可载荷 F F 为多少？如将两个梁用一根为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为，求螺栓的最小

30、直径？求螺栓的最小直径？F解：叠梁承载时，每解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层1.1.梁的最大正应力梁的最大正应力：WMmaxmax21其中其中：246)2(22bhhbW 2maxmax122bhFLWMFSF-FLMb2h2hL lbhF1222.当两梁用螺栓联为一当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个：体时，中性轴只有一个：b2h2h6/2maxmaxbhFLWMF62maxBhFL由正应力强度条件：由正应力强度条件：LbhF62可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。3.求螺栓最小直径：求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是

31、受剪zzbhFAFs2323max设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力 F F LhLbhbhbhF4623232max中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：4bhbLFs 由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：4/4/ 2dbhAFs螺螺可得：可得：bhd minbhd讨论：讨论：F Fs s 与何力平衡？与何力平衡？FSzhzhNIMbhybdyIMbdyF822020SNFbhhLFbhLbhFF423)12/(8324-6 4-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是正应力控制梁弯曲强度的主要因素是正应力maxmaxZWM设计梁的原则应设计梁的原则应使使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。一一. .