2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷) (2)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试上海理科数学一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(2016上海,理1)设xr,则不等式|x-3|<1的解集为. 答案(2,4)由题意,得-1<x-3<1,解得2<x<4.2.(2016上海,理2)设z=3+2ii,其中i为虚数单位,则lm=. 答案13z=3+2ii=2-3i,|z|=13.3.(2016上海,理3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离. 答案255利

2、用两平行线间距离公式,得d=|c1-c2|a2+b2=|-1-1|22+12=255.4.(2016上海,理4)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是(米). 答案1.76将这6位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.5.(2016上海,理5)已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=. 答案log2(x-1)将点(3,9)代入函数f(x)

3、=1+ax的解析式,得1+a3=9,解得a=2,所以f(x)=1+2x,即y=1+2x,用y表示x,得x=log2(y-1),所以f-1(x)=log2(x-1).6.(2016上海,理6)如图,在正四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd的边长为3,bd1与底面所成角的大小为arctan23,则该正四棱柱的高等于. 答案22由题意得tandbd1=dd1bd=23,又bd=32,所以dd1=23bd=23×32=22.7.(2016上海,理7)方程3sin x=1+cos 2x在区间0,2上的解为. 答案6或56化简3sin x=1+cos 2x,得3s

4、in x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去),所以在区间0,2上的解为6或56.8.(2016上海,理8)在3x-2xn的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于. 答案112由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为tr+1=c8r(3x)8-r-2xr=(-2)rc8rx83-43r,求常数项则令83-43r=0,所以r=2,所以t3=112.9.(2016上海,理9)已知abc的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.

5、60;答案733利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为32+52-722×3×5=-12,所以此角的正弦值为32,设该三角形外接圆的半径为r,由正弦定理,得2r=732,所以r=733.10.(2016上海,理10)设a>0,b>0,若关于x,y的方程组ax+y=1x+by=1无解,则a+b的取值范围是. 答案(2,+)将方程组中的ax+y=1式化为y=1-ax,代入x+by=1,并整理,得(1-ab)x=1-b,方程组无解应该满足1-ab=0且1-b0,所以ab=1且b1,所以由基本不等式得a+b>2ab=2.11.(2016上海,理11

6、)无穷数列an由k个不同的数组成,sn为an的前n项和若对任意nn*,sn2,3,则k的最大值为. 答案4要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,所以最多由4个不同的数组成.12.(2016上海,理12)在平面直角坐标系中,已知a(1,0),b(0,-1),p是曲线y=1-x2上一个动点,则bp,ba的取值范围是. 答案0,2如图,画出函数y=1-x2的图像.当点p与点a重合时,bp·ba最大,为ba2=2,当点p与点c重合时bp·ba最小,此时两向量垂直,则数量积为0,所以bp·ba的取值范围为0,2.13.(2

7、016上海,理13)设a,br,c0,2),若对任意实数x都有2sin3x-3=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为. 答案4a=±2,b=±3,当a,b确定时,c唯一,故有4种组合.14.(2016上海,理14)如图,在平面直角坐标系xoy中,o为正八边形a1a2an的中心,a(1,0),任取不同的两点a1,a2,点p满足op+oa1+oa2=0,则点p落在第一象限的概率是. 答案528共有c82=28种基本事件,其中使点p落在第一象限共有c32+2=5种基本事件,故概率为528.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每

8、题有且只有一个正确答案,考生写在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(2016上海,理15)设ar,则“a>1”是“a2>1”的()a.充分非必要条件b.必要非充分条件c.充要条件d.既非充分也非必要条件答案aa>1a2>1,a2>1a>1或a<-1,所以是充分非必要条件,选a.16.(2016上海,理16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()a.=6+5cos b.=6+5sin c.=6-5cos d.=6-5sin 答案d依次取=0,2,32,结合图形可知只有=6-5sin 满足,选d.17.(20

9、16上海,理17)已知无穷等比数列an的公比为q,前n项和为sn,且limnsn=s,下列条件中,使得2sn<s(nn*)恒成立的是()a.a1>0,0.6<q<0.7b.a1<0,-0.7<q<-0.6c.a1>0,0.7<q<0.8d.a1<0,-0.8<q<-0.7答案b由题意,得2a11-qn1-q<a111-q,(0<|q|<1)对一切正整数恒成立,当a1>0时,qn>12不恒成立,舍去;当a1<0时,qn<12,从而q2<12,选b.18.(2016上海,理

10、18)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为r的三个函数,对于命题:若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均为增函数,则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以t为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以t为周期的函数,下列判断正确的是()a.和均为真命题b.和均为假命题c.为真命题,为假命题d.为假命题,为真命题答案d因为f(x)=f(x)+g(x)+f(x)+h(x)-g(x)+h(x)2必是以t为周期的函数,类似的,g(x),h(x)也是以t为周期的函数,所以是真命题;增函数减增函数

11、不一定为增函数,因此是假命题.选d.三、解答题(74分)19.(2016上海,理19)将边长为1的正方形aa1o1o(及其内部)绕的oo1旋转一周形成圆柱,如图,ac长为23,a1b1长为3,其中b与c在平面aa1o1o的同侧.(1)求三棱锥c-o1a1b的体积;(2)求异面直线b1c与aa1所成的角的大小.解20.(本题满分14分)(2016上海,理20)有一块正方形菜地efgh,eh所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到f点或河边运走.于是,菜地分为两个区域s1和s2,其中s1中的蔬菜运到河边较近,s1中的蔬菜运到f点较近,而菜地内s1和s2的分界线c上的点到河边与到f点的距离相等,现建立平

12、面直角坐标系,其中原点o为ef的中点,点f的坐标为(1,0),如图.(1)求菜地内的分界线c的方程;(2)菜农从蔬菜运量估计出s1面积是s2面积的两倍,由此得到s1面积的“经验值”为83.设m是c上纵坐标为1的点,请计算以eh为一边、另一边过点m的矩形的面积,及五边形eomgh的面积,并判断哪一个更接近于s1面积的经验值.解21.(本小题满分14分)(2016上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,直线l过f2且与双曲线交于a,b两点.(1)若l的倾斜角为2,f1ab是等边三角形,求双曲线的渐近线

13、方程;(2)设b=3,若l的斜率存在,且(f1a+f1b)·ab=0,求l的斜率.解22.(本小题满分16分)(2016上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知ar,函数f(x)=log21x+a.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t12,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解23.(本小题满分18分)(2016上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列an满足:只要ap=aq(p,qn*),必有ap+1=aq+1,则称