2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)

1、1 / 16 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(天天津津) 文科数学文科数学 1.(2017 天津,文 1)设集合 a=1,2,6,b=2,4,c=1,2,3,4,则(ab)c=( ) a.2 b.1,2,4 c.1,2,4,6 d.1,2,3,4,6 解析a=1,2,6,b=2,4,c=1,2,3,4, ab=1,2,4,6,(ab)c=1,2,4.故选 b. 答案 b 2.(2017 天津,文 2)设 xr,则“2-x0”是“|x-1|1”的( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 解析x=-3满足 2

2、-x0,但不满足|x-1|1, “2-x0”不是“|x-1|1”的充分条件. 若|x-1|1,则-1x-11,即 0 x2,可得 2-x0, 即“2-x0”是“|x-1|1”的必要条件, 故“2-x0”是“|x-1|1”的必要而不充分条件.故选 b. 答案 b 3.(2017 天津,文 3)有 5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这 5 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔,则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) 2 / 16 a.45 b.35 c.25 d.15 解析从 5支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),

3、(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔”为事件 a,则事件 a 包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4 个基本事件,则 p(a)=410=25.故选 c. 答案 c 4.(2017 天津,文 4)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 19,则输出 n 的值为( ) a.0 b.1 c.2 d.3 解析运行程序.当输入 n 的值为 19,则 n的值依次为 18,6,2. 20,b0)的右焦点为 f,点 a 在双曲线的渐近线上,oaf是边长为 2的等边三角形(o 为原点),则双曲线的方程为( ) a.24212=

4、1 b.21224=1 c.23-y2=1 d.x2-23=1 3 / 16 解析双曲线2222=1(a0,b0)的右焦点为 f(c,0),点 a在双曲线的渐近线上,且oaf 是边长为 2的等边三角形,不妨设点 a在渐近线 y=x 上, = 2,= tan60,2+ 2= 2,解得 = 1, = 3.所以双曲线的方程为 x2-23=1.故选 d. 答案 d 6.(2017 天津,文 6)已知奇函数 f(x)在 r 上是增函数,若 a=-f(log215),b=f(log24.1),c=f(20.8),则 a,b,c 的大小关系为( ) a.abc b.bac c.cba d.calog24.1

5、log24=2,20.8log24.120.8. 又 f(x)在 r 上是增函数, f(log25)f(log24.1)f(20.8),即 abc.故选 c. 答案 c 7.(2017 天津,文 7)设函数 f(x)=2sin(x+),xr,其中 0,|2,11858142, 所以231.所以排除 c,d. 当 =23时,f(58)=2sin(5823+ ) =2sin(512+ )=2, 所以 sin(512+ )=1. 所以512+=2+2k,即 =12+2k(kz). 因为|,所以 =12.故选 a. 答案 a 8.(2017 天津,文 8)已知函数 f(x)=| + 2, 1, +2,

6、 1.设 ar,若关于 x的不等式 f(x)|2+ |在 r 上恒成立,则 a 的取值范围是( ) a.-2,2 b.-23,2 c.-2,23 d.-23,23 解析由 f(x)=| + 2, 0在 r 上恒成立, 关于 x的不等式 f(x)|2+ |在 r 上恒成立, 关于 x的不等式-f(x)2+af(x)在 r 上恒成立, 5 / 16 即关于 x的不等式-2-f(x)af(x)-2在 r 上恒成立. 令 p(x)=-2-f(x), 则 p(x)= 2-2, 0,-32-2,0 1,-32-2, 1. 当 x0时,p(x)-2, 当 0 x1时,-72p(x)-2, 当 x1 时,p(

7、x)-23,当且仅当 x=233时取等号. 综上所述,p(x)max=-2. 令 t(x)=f(x)-2,则 t(x)= -32 + 2, 0,2+ 2,0 1,2+2, 1. 当 x2,当 0 x1 时,2t(x)0), 则 c(-1,b),a(0,b). fac=120,kaf=tan 120=-3,直线 af 的方程为 y=-3x+3. 点 a在直线 af上,b=3. 则圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1. 答案(x+1)2+(y-3)2=1 7 / 16 13.(2017 天津,文 13)若 a,br,ab0,则4+44+1的最小值为 . 解析a,br,且 ab0, 4+44+1

8、422+1=4ab+1 4(当且仅当2= 22,4 =1,即2=22,2=24时取等号). 答案 4 14.(2017 天津,文 14)在abc 中,a=60,ab=3,ac=2,若 =2 , = (r),且 =-4,则 的值为 . 解析 =2 , = + = +23 = +23( )=23 +13 . 又 = ,a=60,ab=3,ac=2, =-4. =3 212=3,(23 +13 ) ( )=-4, 即23 213 2+ (3-23) =-4, 23 4-13 9+(3-23) 3=-4,即113-5=-4,解得 =311. 答案311 15.(2017 天津,文 15)在abc 中,

9、内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin a=4bsin b,ac=5(a2-b2-c2). (1)求 cos a的值; (2)求 sin(2b-a)的值. 解(1)由 asin a=4bsin b,及sin=sin,得 a=2b. 8 / 16 由 ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得 cos a=2+2-22=-55=-55. (2)由(1),可得 sin a=255, 代入 asin a=4bsin b,得 sin b=sin4=55. 由(1)知,a为钝角, 所以 cos b=1-sin2 =255. 于是 sin 2b=2sin bcos b=45, co

10、s 2b=1-2sin2b=35, 故 sin(2b-a)=sin 2bcos a-cos 2bsin a=45 (-55) 35255=-255. 16.(2017 天津,文 16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 连续剧播放时长 (分钟) 广告播放时长 (分钟) 收视人次 (万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播放时间不少于 30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍.分别用 x

11、,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用 x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 9 / 16 解(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为 70 + 60 600,5 + 5 30, 2, 0, 0,即 7 + 6 60, + 6,-2 0, 0, 0, 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分: 图 1 (2)设总收视人次为 z 万,则目标函数为 z=60 x+25y. 考虑 z=60 x+25y,将它变形为 y=-125x+25,这是斜率为-125,随 z变化的一族平

12、行直线. 25为直线在 y 轴上的截距,当25取得最大值时,z的值最大. 又因为 x,y满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=60 x+25y 经过可行域上的点 m时,截距25最大,即 z 最大. 解方程组7 + 6 = 60,-2 = 0,得点 m 的坐标为(6,3). 所以,电视台每周播出甲连续剧 6 次,乙连续剧 3次时才能使总收视人次最多. 10 / 16 图 2 17.(2017 天津,文 17) 如图,在四棱锥 p-abcd中,ad平面 pdc,adbc,pdpb,ad=1,bc=3,cd=4,pd=2. (1)求异面直线 ap与 bc所成角的余弦值; (2)求证:pd平面

13、 pbc; (3)求直线 ab与平面 pbc所成角的正弦值. (1)解如图,由已知 adbc, 故dap或其补角即为异面直线 ap与 bc所成的角. 因为 ad平面 pdc,所以 adpd. 在 rtpda中,由已知,得 ap=2+ 2= 5,故 cosdap=55. 所以,异面直线 ap 与 bc 所成角的余弦值为55. (2)证明因为 ad平面 pdc,直线 pd平面 pdc, 所以 adpd. 又因为 bcad,所以 pdbc. 又 pdpb,所以 pd平面 pbc. 11 / 16 (3)解过点 d 作 ab 的平行线交 bc 于点 f,连结 pf,则 df与平面 pbc所成的角等于

14、ab与平面 pbc所成的角. 因为 pd平面 pbc,故 pf为 df在平面 pbc上的射影, 所以dfp 为直线 df和平面 pbc所成的角. 由于 adbc,dfab,故 bf=ad=1, 由已知,得 cf=bc-bf=2. 又 addc,故 bcdc, 在 rtdcf中,可得 df=2+ 2=25,在 rtdpf 中,可得 sindfp=55. 所以,直线 ab 与平面 pbc所成角的正弦值为55. 18.(2017 天津,文 18)已知an为等差数列,前 n 项和为 sn(nn*),bn是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,s11=11b4.

15、(1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nbn的前 n项和(nn*). 解(1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q. 由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12, 而 b1=2,所以 q2+q-6=0. 又因为 q0,解得 q=2. 所以,bn=2n.由 b3=a4-2a1, 可得 3d-a1=8. 由 s11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以,an的通项公式为 an=3n-2,bn的通项公式为 bn=2n. 12 / 16 (2)设数列a2nbn的前 n项和为 tn,由 a2n=6n-2,

16、有 tn=4 2+10 22+16 23+(6n-2) 2n, 2tn=4 22+10 23+16 24+(6n-8) 2n+(6n-2) 2n+1, 上述两式相减,得 -tn=4 2+6 22+6 23+6 2n-(6n-2) 2n+1 =12(1-2)1-2-4-(6n-2) 2n+1 =-(3n-4)2n+2-16. 得 tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,数列a2nbn的前 n 项和为(3n-4)2n+2+16. 19.(2017 天津,文 19)设 a,br,|a|1.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x). (1)求 f(x)的单调区间

17、; (2)已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, 求证:f(x)在 x=x0处的导数等于 0; 若关于 x 的不等式 g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求 b的取值范围. (1)解由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b, 可得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a). 令 f(x)=0,解得 x=a 或 x=4-a. 由|a|1,得 a0,可得 f(x)1. 又因为 f(x0)=1,f(x0)=0. 故 x0为 f(x)的极大值点,由(1)知 x0=a. 另一方面,由于|a|1,故 a+1b0)的左焦点

18、为 f(-c,0),右顶点为 a,点 e的坐标为(0,c),efa的面积为22. (1)求椭圆的离心率; (2)设点 q在线段 ae上,|fq|=32c,延长线段 fq 与椭圆交于点 p,点 m,n在 x轴上,pmqn,且直线 pm与直线 qn间的距离为 c,四边形 pqnm的面积为 3c. 求直线 fp 的斜率; 求椭圆的方程. 解(1)设椭圆的离心率为 e. 由已知,可得12(c+a)c=22. 又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0, 即 2e2+e-1=0. 又因为 0e0), 则直线 fp的斜率为1. 由(1)知 a=2c,可得直线 ae的方程为2+=1, 即 x+2y-2c=0, 与直线 fp的方程联立,可解得 x=(2-2)+2, y=3+2, 15 / 16 即点 q的坐标为(2-2)+2,3+2). 由已知|fq|=32c,有(2-2)+2+ 2+ (3+2)2= (32)2, 整理得 3m2-4m=0,所以 m=43,即直线 fp的斜率为34. 由 a=2c,可得 b=3c,故椭圆方程可以表示为242+232=1. 由得直线 fp的方程为 3x-4y+3c=0, 与椭圆方程联立3-4 + 3 = 0,242+232= 1,消去 y,整理得 7x2+6cx-13c2=0, 解得