2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖北卷)

1、1 / 16 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北湖北卷卷) 数学(理工类) 本试题卷共 6 页,22 题.其中第 15、16 题为选考题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用 2b 铅笔将答题卡上试卷类型 a 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.

2、写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2b 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 湖北,理 1)i 为虚数单位,i607的共轭复数为( ) a.i b.-i c.1 d.-1 答案:a 解析:i607=i1514+3=i3=-i,i607的共轭复数为 i. 2.(2015 湖北,理 2)我国古

3、代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) a.134 石 b.169 石 c.338 石 d.1 365 石 答案:b 解析:由条件知 254 粒内夹谷 28 粒,可估计米内夹谷的概率为28254=14127,所以 1 534 石米中夹谷约为141271 534169(石). 3.(2015 湖北,理 3)已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) a.212 b.211 c.210 d.29 答案:d 解析:由条件知

4、c3= c7,n=10. (1+x)10中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29. 2 / 16 4.(2015 湖北,理 4)设 xn(1,12),yn(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) a.p(y2)p(y1) b.p(x2)p(x1) c.对任意正数 t,p(xt)p(yt) d.对任意正数 t,p(xt)p(yt) 答案:c 解析:由曲线 x的对称轴为 x=1,曲线 y 的对称轴为 x=2,可知 21. p(y2)p(y1),故 a 错; 由图象知 1p(x1),故 b 错; 对任意正数 t,由题中图象知,p(xt)p(

5、yt),故 c 正确,d 错. 5.(2015 湖北,理 5)设 a1,a2,anr,n3,若 p:a1,a2,an成等比数列: q:(12+ 22+12)(22+ 32+2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,则( ) a.p 是 q 的充分条件,但不是 q的必要条件 b.p 是 q 的必要条件,但不是 q的充分条件 c.p 是 q 的充分必要条件 d.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 答案:a 解析:p:a1,a2,an成等比数列,设公比为 t, (12+ 22+12)(22+ 32+2)=12(1+t2+t4+t2n-4) 12t2(1+t2+t4+t2n-4)=

6、14t2(1+t2+t4+t2n-4)2, (a1a2+a2a3+an-1an)2=12t(1+t2+t4+t2n-4)2 =14t2(1+t2+t4+t2n-4)2. q 成立.故 pq. 当 an=0 时,q 成立,而 p 不成立. qp.故 p 是 q 的充分不必要条件. 6.(2015 湖北,理 6)已知符号函数 sgn x=1, 0,0, = 0,1, 1),则( ) 3 / 16 a.sgng(x)=sgn x b.sgng(x)=-sgn x c.sgng(x)=sgnf(x) d.sgng(x)=-sgnf(x) 答案:b 解析:f(x)是 r 上的增函数,g(x)=f(x)-

7、f(ax)(a1), 当 x0 时,xax,g(x)0. sgng(x)=-1; 当 x=0 时,x=ax,g(x)=0. sgng(x)=0; 当 xax,g(x)0. sgng(x)=1. sgng(x)=-sgn x.故选 b. 7.(2015 湖北,理 7)在区间0,1上随机取两个数 x,y,记 p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“|x-y|12”的概率,p3为事件“xy12”的概率,则( ) a.p1p2p3 b.p2p3p1 c.p3p1p2 d.p3p20, p3-p1=ln2 38=ln2-ln 38=ln16380, p2p30)个单位长度,得到离心率为 e2的双曲线

8、 c2,则( ) a.对任意的 a,b,e1e2 b.当 ab 时,e1e2;当 ab 时,e1e2 c.对任意的 a,b,e1b 时,e1e2;当 ae2 答案:d 解析:由条件知12=22=1+22,22=1+(+)2, 当 ab 时,+,12 22.e1e2. 当 ab 时,+ 22.e1e2. 所以,当 ab 时,e1e2;当 ae2. 9.(2015 湖北,理 9)已知集合 a=(x,y)|x2+y21,x,yz,b=(x,y)|x|2,|y|2,x,yz,定义集合ab=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)a,(x2,y2)b,则 ab中元素的个数为( ) a.77 b.49

9、c.45 d.30 答案:c 解析:a=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0). 如图,b中元素共 25 个. 5 / 16 (1)当 x1=y1=0 时,ab=b,共有 25 个元素. (2)当 x1=0,y1=-1 时,ab 中的元素为(x2,y2-1),其中不在 b中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共 5 个. (3)当 x1=0,y1=1 时,ab 中的元素为(x2,y2+1),其中不在 b中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共 5 个. (4)当 x1=-1,y1=0 时,ab

10、 中的元素为(x2-1,y2),其中不在 b中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共 5 个. (5)当 x1=1,y1=0 时,ab 中的元素为(x2+1,y2),其中不在 b中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共 5 个. 综上,ab中的元素共有 25+54=45(个). 10.(2015 湖北,理 10)设 xr,x表示不超过 x 的最大整数,若存在实数 t,使得t=1,t2=2,tn=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是( ) a.3 b.4 c.5 d.6 答案:b 解析:tn=n,ntnn+1,即1t

11、(n+1)1,问题转化为求 n 的最大值,使 k 取 1 到 n 时,不等式1t(k+1)1均成立,即lnln tln(+1),构造函数 f(x)=ln,则 f(x)=1ln2,当 0 x0,当 xe 时,f(x)0,且 f(2)=ln22 313成立;当 n=4 时,514=12511281112= 313成立;当 n=5 时,615=(63)115=216115,而313=(35)115=243115,(n+1)1 313不成立.所以正整数 n 的最大值为 4. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置.

12、书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11.(2015 湖北,理 11)已知向量 ,| |=3,则 = . 答案:9 解析: = ( + )=| |2+ . 又 ,| |=3. =9. 12.(2015 湖北,理 12)函数 f(x)=4cos22cos(2 )-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 . 答案:2 解析:令 f(x)=41+cos2 sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即 sin 2x=|ln(x+1)|, 在同一坐标系作出 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)|的图象. 由图象知共 2 个交

13、点,故 f(x)的零点个数为 2. 6 / 16 13.(2015 湖北,理 13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 a处时测得公路北侧一山顶 d 在西偏北30 的方向上,行驶 600 m 后到达 b处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 cd= m. 答案:1006 解析:在abc 中,bac=30 ,abc=180 -75 =105 ,bca=45 . ab=600,由正弦定理得sin=sin, 解得 bc=3002(m). 在 rtbcd 中,cbd=30 ,dcb=90 , cd=bc tan 30 =3002 33=1006(m). 14.

14、(2015 湖北,理 14)如图,圆 c 与 x 轴相切于点 t(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 a,b(b在 a的上方),且|ab|=2. (1)圆 c 的标准方程为 ; (2)过点 a任作一条直线与圆 o:x2+y2=1 相交于 m,n 两点,下列三个结论: |=|;|=2;|+|=22. 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2 (2) 解析:(1)由题意可设圆心 c 坐标为(1,b),再取 ab中点为 p,连接 cp,cb, 则bpc 为直角三角形,得|bc|=r=2=b, 故圆 c 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.

15、 (2)由(1)知圆 c 的方程为(x-1)2+(y-2)2=2, 令 x=0,得 y1=2-1 或 y2=2+1, 所以 a(0,2-1),b(0,2+1). 设 m(cos ,sin ), 则|mb|2=cos2+(sin -2-1)2 7 / 16 =4+22-2(2+1)sin , |ma|2=cos2+sin -(2-1)2 =4-22-2(2-1)sin . |2|2=4+222(2+1)sin4222(21)sin =2+2(2+1)sin22(21)sin =(2+1)(2sin)(21)(2sin) =2+121=3+22. |=1+2. 同理|=1+2. |=|,即成立.

16、又|=1+2 11+2=1+2-(2-1)=2,也成立. 又|+|=1+2 +11+2=22,也成立. 综上所述,都正确. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(2015 湖北,理 15)(选修 41:几何证明选讲)如图,pa是圆的切线,a为切点,pbc 是圆的割线,且 bc=3pb,则= . 答案:12 解析:由题意易知pbapac, 则得=. 又 pa2=pb pc,bc=3pb, 所以 pa2=4pb2,即 pa=2pb, 故=12. 8 / 16 16

17、.(2015 湖北,理 16)(选修 44:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为 (sin -3cos )=0,曲线 c 的参数方程为 = 1, = +1(t 为参数),l 与 c 相交于 a,b两点,则|ab|= . 答案:25 解析:由题意知直线 l 的直角坐标方程为 y=3x, 曲线 c 的普通方程为 y2-x2=4. 由 = 3,2 2= 4,得 x=22, 由弦长公式得|ab|=10 2=25. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分

18、 11 分)(2015 湖北,理 17)某同学用“五点法”画函数 f(x)=asin(x+)( 0,| 0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象的一个对称中心为(512,0),求 的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得 a=5,=2,=-6. 数据补全如下表: x+ 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 asin(x+) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为 f(x)=5sin(2 6). (2)由(1)知 f(x)=5sin(2 6), 得 g(x)=5sin(2 + 2 6). 因为 y=sin x 的对称中心为(k,0),kz. 9 / 16

19、 令 2x+2-6=k,解得 x=2+12-,kz. 由于函数 y=g(x)的图象关于点(512,0)成中心对称,令2+12-=512,解得 =23,kz. 由 0 可知,当 k=1 时, 取得最小值6. 18.(本小题满分 12 分)(2015 湖北,理 18)设等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 sn,等比数列bn的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,s10=100. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)当 d1 时,记 cn=,求数列cn的前 n 项和 tn. 解:(1)由题意有,101+ 45 = 100,1 = 2,即21+ 9 = 20,1 = 2, 解得1

20、= 1, = 2,或1= 9, =29. 故= 2 1,= 21,或=19(2 + 79),= 9 (29)1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn=2121, 于是 tn=1+32+522+723+924+2121, 12tn=12+322+523+724+925+212. -可得 12tn=2+12+122+122212=3-2+32, 故 tn=6-2+321. 19.(本小题满分 12 分)(2015 湖北,理 19)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 p-abcd 中,

21、侧棱 pd底面 abcd,且 pd=cd,过棱 pc 的中点 e,作 efpb,交 pb于点 f,连接de,df,bd,be. (1)证明:pb平面 def,试判断四面体 dbef 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (2)若面 def与面 abcd 所成二面角的大小为3,求的值. 解法 1:(1)因为 pd底面 abcd,所以 pdbc. 10 / 16 由底面 abcd 为长方形,有 bccd,而 pdcd=d, 所以 bc平面 pcd. 而 de平面 pcd,所以 bcde. 又因为 pd=cd,点 e是 pc 的中点,所以 depc. 而 pcbc

22、=c,所以 de平面 pbc. 而 pb平面 pbc,所以 pbde. 又 pbef,deef=e, 所以 pb平面 def. 由 de平面 pbc,pb平面 def, 可知四面体 bdef的四个面都是直角三角形, 即四面体 bdef是一个鳖臑,其四个面的直角分别为deb,def,efb,dfb. 图 1 (2)如图 1,在面 pbc 内,延长 bc 与 fe交于点 g, 则 dg 是平面 def 与平面 abcd 的交线. 由(1)知,pb平面 def,所以 pbdg. 又因为 pd底面 abcd,所以 pddg. 而 pdpb=p,所以 dg平面 pbd. 故bdf是面 def与面 abc

23、d 所成二面角的平面角, 设 pd=dc=1,bc=,有 bd=1 + 2, 在 rtpdb中,由 dfpb,得dpf=fdb=3, 则 tan3=tandpf= 1 + 2= 3,解得 =2. 所以=1=22. 故当面 def与面 abcd 所成二面角的大小为3时,=22. 解法 2:(1)如图 2,以 d 为原点,射线 da,dc,dp分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 11 / 16 图 2 设 pd=dc=1,bc=, 则 d(0,0,0),p(0,0,1),b(,1,0),c(0,1,0), =(,1,-1), 点 e是 pc 的中点,所以 e(0,12,12),

24、= (0,12,12), 于是 =0,即 pbde. 又已知 efpb,而 deef=e, 所以 pb平面 def. 因 =(0,1,-1), =0, 则 depc.所以 de平面 pbc. 由 de平面 pbc,pb平面 def, 可知四面体 bdef的四个面都是直角三角形, 即四面体 bdef是一个鳖臑,其四个面的直角分别为deb,def,efb,dfb. (2)由 pd平面 abcd,所以 =(0,0,1)是平面 abcd 的一个法向量; 由(1)知,pb平面 def,所以 =(-,-1,1)是平面 def的一个法向量. 若面 def与面 abcd 所成二面角的大小为3, 则 cos3=

25、 | | | | = |12+2| =12, 解得 =2,所以=1=22. 故当面 def与面 abcd 所成二面角的大小为3时,=22. 20.(本小题满分 12 分)(2015 湖北,理 20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 a,b两种奶制品,生产 1 吨 a产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1 000 元;生产 1 吨 b产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5小时,获利 1 200 元,要求每天 b产品的产量不超过 a 产品产量的 2 倍,设备每天生产 a,b两种产品时间之和不超过 12 小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量 w(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 w 12

26、 15 18 p 0.3 0.5 0.2 12 / 16 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 z(单位:元)是一个随机变量. (1)求 z 的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率. 解:(1)设每天 a,b两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z, 则有2 + 1.5 , + 1.5 12,2 0, 0, 0. (1) 目标函数为 z=1 000 x+1 200y. 图 1 当 w=12 时,(1)表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 a(0,0),b(2.4,4

27、.8),c(6,0). 将 z=1 000 x+1 200y 变形为 y=-56x+1 200, 当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l:y=-56x+1 200在 y 轴上的截距最大, 最大获利 z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 图 2 当 w=15 时,(1)表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 a(0,0),b(3,6),c(7.5,0). 将 z=1 000 x+1 200y 变形为 y=-56x+1 200, 当 x=3,y=6 时,直线 l:y=-56x+1 200在 y 轴上的截距最大, 最大获利 z=zmax=31 000+61 200=10

28、200. 图 3 当 w=18 时,(1)表示的平面区域如图 3. 13 / 16 四个顶点分别为 a(0,0),b(3,6),c(6,4),d(9,0). 将 z=1 000 x+1 200y 变形为 y=-56x+1 200, 当 x=6,y=4 时,直线 l:y=-56x+1 200在 y 轴上的截距最大, 最大获利 z=zmax=61 000+41 200=10 800. 故最大获利 z 的分布列为 z 8 160 10 200 10 800 p 0.3 0.5 0.2 因此,e(z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获

29、利超过 10 000 元的概率 p1=p(z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 21.(本小题满分 14 分)(2015 湖北,理 21)一种作图工具如图 1 所示.o 是滑槽 ab的中点,短杆 on 可绕 o 转动.长杆 mn 通过 n 处铰链与 on 连接,mn 上的栓子 d 可沿滑槽 ab滑动,且 dn=on=1,mn=3.当栓子 d 在滑槽 ab内作往复运动时,带动n 绕 o 转动一周(d 不动时,n 也不动),m 处的笔尖画出的曲线记为 c,以 o 为原

30、点,ab所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. 图 1 图 2 (1)求曲线 c 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x-2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 p,q 两点,若直线 l 总与曲线 c 有且只有一个公共点,试探究:opq 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. 解:(1)设点 d(t,0)(|t|2),n(x0,y0),m(x,y), 依题意, =2 ,且| |=| |=1, 14 / 16 所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(0 )2+ 02= 1,02+ 02= 1. 即 = 20 2, = 20,且

31、t(t-2x0)=0. 由于当点 d 不动时,点 n 也不动,所以 t 不恒等于 0, 于是 t=2x0,故 x0=4,y0=-2,代入02+ 02=1,可得216+24=1, 即所求的曲线 c 的方程为216+24=1. (2)()当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x=4 或 x=-4,都有 sopq=1244=8. ()当直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=kx+m( 12), 由 = + ,2+ 42= 16,消去 y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0. 因为直线 l 总与椭圆 c 有且只有一个公共点, 所以 =64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即 m2=16k2+4. 又由 = + , 2 = 0,可得 p(212,12); 同理可得 q(21+2,1+2). 由原点 o 到直线 pq 的距离为 d=|1+2和|pq|=1 + 2|xp-xq|, 可得 sopq=12|pq| d=12|m|xp-xq| =12 |m|212+21+2| = |22142|. 将代入得,sopq=|22142|=8|42+1|421|. 当 k214时,sopq=8(42+1421)=8(1 +2421)8; 当 0k214时,sopq=8(42+1142) =8(1 +2142). 因 0