2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷) (2)

1、1 / 6 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(广东广东卷卷) 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用 2b 铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答

2、题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据 x1,x2,xn的方差 s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中表示样本均值. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 广东,理 1)若集合 m=x|(x+4)(x+

3、1)=0,n=x|(x-4)(x-1)=0,则 mn=( ) a.1,4 b.-1,-4 c.0 d. 答案:d 解析:由题意知集合 m=-4,-1,n=4,1,m 和 n 没有相同的元素.故 mn=. 2.(2015 广东,理 2)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则= ( ) a.2-3i b.2+3i c.3+2i d.3-2i 答案:a 解析:因为 z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i. 3.(2015 广东,理 3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) a.y=1 + 2 b.y=x+1 c.y=2x+12 d.y=x+ex 答案:d 解

4、析:根据函数奇偶性的定义,易知函数 y=1 + 2,y=2x+12为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项 a,b,c.故选d. 4.(2015 广东,理 4)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( ) a.521 b.1021 c.1121 d.1 答案:b 解析:从 15 个球中任取 2 个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为c101c51c152=105157=1021. 5.(2015 广东

5、,理 5)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( ) a.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 b.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 c.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 d.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 答案:a 解析:设与直线 2x+y+1=0 平行的直线方程为 2x+y+m=0(m1), 因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0 的距离为5, 所以|5= 5,|m|=5. 故所求直线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 6.(2015 广东,理 6)若变量 x,

6、y满足约束条件4 + 5 8,1 3,0 2,则 z=3x+2y 的最小值为( ) 2 / 6 a.4 b.235 c.6 d.315 答案:b 解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由 z=3x+2y 可得 y=-32x+2. 2指的是直线 y=-32x+2在 y 轴上的截距, 根据图形可知当直线 y=-32x+2通过点 a时,可使2取得最小值,即 z 取得最小值. 易知点 a的坐标为(1,45), 所以 zmin=31+245=235. 7.(2015 广东,理 7)已知双曲线 c:2222=1 的离心率 e=54,且其右焦点为 f2(5,0),则双曲线 c 的方程为( )

7、 a.2423=1 b.29216=1 c.21629=1 d.2324=1 答案:c 解析:因为双曲线 c 的右焦点为 f2(5,0),所以 c=5. 因为离心率 e=54, 所以 a=4. 又 a2+b2=c2,所以 b2=9. 故双曲线 c 的方程为21629=1. 8.(2015 广东,理 8)若空间中 n个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( ) a.至多等于 3 b.至多等于 4 c.等于 5 d.大于 5 答案:b 解析:特殊值法.当 n=3 时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故 n=3 符合; 当 n=4 时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故 n=4

8、符合. 由此可以排除选项 a,c,d.故选 b. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6小题,每小题 5分,满分 30 分. (一)必做题(913 题) 9.(2015 广东,理 9)在(-1)4的展开式中,x 的系数为 . 答案:6 解析:该二项展开式的通项为 tr+1=c4()4-r(-1)r,当 x 的指数为 1 时,4-r=2,解得 r=2. 故 t3=c42()2(-1)2=6x,即 x 的系数为 6. 10.(2015 广东,理 10)在等差数列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= . 答案:10 解析:根据等差数列的性质,得 a3+a4+a5+a

9、6+a7=5a5=25,解得 a5=5. 又 a2+a8=2a5,所以 a2+a8=10. 11.(2015 广东,理 11)设abc 的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.若 a=3,sin b=12,c=6,则 b= . 答案:1 解析:由 sin b=12解得 b=6或 b=56. 根据三角形内角和定理,舍去 b=56, 所以 b=6,a=23. 根据正弦定理sin=sin,得3sin23=sin6,解得 b=1. 12.(2015 广东,理 12)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案:1 560 3

10、/ 6 解析:该问题是一个排列问题,故共有a402=4039=1 560 条毕业留言. 13.(2015 广东,理 13)已知随机变量 x服从二项分布 b(n,p).若 e(x)=30,d(x)=20,则 p= . 答案:13 解析:根据二项分布的均值、方差公式,得() = = 30,() = (1 ) = 20,解得 p=13. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(2015 广东,理 14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin( 4) = 2,点 a的极坐标为a(22,74),则点 a到直线 l 的距离为 . 答案:522 解析:2sin

11、( 4) = 2,即 2sin cos4-2cos sin4= 2,将其化为直角坐标方程为 y-x=1. 又点 a的直角坐标为(22cos74,22sin74)=(2,-2),所以点 a(2,-2)到直线 y-x=1 的距离 d=52=522. 15.(2015 广东,理 15)(几何证明选讲选做题)如图,已知 ab 是圆 o 的直径,ab=4,ec 是圆 o 的切线,切点为c,bc=1,过圆心 o 作 bc 的平行线,分别交 ec 和 ac 于点 d 和点 p,则 od= . 答案:8 解析:设 od 交劣弧于点 m,由 opbc,得 op=12,p为 ac 的中点,pm=32. 由切割线定

12、理得 dc2=dm (dm+4). 在abc 中,ac 为直角边,且 ac=2 2= 42 12= 15, 所以 cp=152. 在 rtdcp 中,dc2=(dm+pm)2+cp2, 联立可求得 dm=6,所以 od=8. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2015 广东,理 16)在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量 m=(22,22),n=(sin x,cos x),x(0,2). (1)若 mn,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为3,求 x 的值. 解:(1)m=(22,22)

13、,n=(sin x,cos x),且 mn, m n=(22,22) (sin x,cos x) =22sin x-22cos x=sin( 4)=0. 又 x(0,2),x-4 (4,4). x-4=0,即 x=4. tan x=tan4=1. (2)由(1)和已知得 cos3=| =sin(4)(22)2+(22)2sin2+cos2 =sin( 4) =12, 又 x-4 (4,4), x-4=6,即 x=512. 17.(本小题满分 12 分)(2015 广东,理 17)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表: 4 / 6 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄

14、1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值和方差 s2; (3)36

15、 名工人中年龄在-s 与+s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为 2,公差为 4 的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)可得其样本的均值 =44+40+36+43+36+37+44+43+379=40, 方差 s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=194

16、2+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009. (3)由(2)知 s=103, 所以-s=3623,+s=4313. 因为年龄在-s 与+s 之间共有 23 人, 所以其所占的百分比是233663.89%. 18.(本小题满分 14 分)(2015 广东,理 18)如图,三角形 pdc 所在的平面与长方形 abcd 所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3,点 e是 cd 边的中点,点 f,g 分别在线段 ab,bc 上,且 af=2fb,cg=2gb. (1)证明:pefg; (2)求二面角 p-ad-c 的正切值; (3)求直线 pa与直线

17、 fg 所成角的余弦值. (1)证明:pd=pc,且点 e为 cd 边的中点, pedc. 又平面 pdc平面 abcd,且平面 pdc平面 abcd=cd,pe平面 pdc, pe平面 abcd.又 fg平面 abcd, pefg. (2)解:四边形 abcd 是矩形,addc. 又平面 pdc平面 abcd,且平面 pdc平面 abcd=cd,ad平面 abcd,ad平面 pdc. pd平面 pdc,adpd. pdc 即为二面角 p-ad-c 的平面角. 在 rtpde中,pd=4,de=12ab=3,pe=2 2= 7, tanpdc=73,即二面角 p-ad-c 的正切值为73. (

18、3)解:如图所示,连接 ac, af=2fb,cg=2gb, 即=2, 5 / 6 acfg, pac 即为直线 pa与直线 fg 所成的角或其补角. 在pac 中,pa=2+ 2=5, ac=2+ 2=35. 由余弦定理可得 cospac=2+222=52+(35)2422535=9525, 直线 pa与直线 fg 所成角的余弦值为9525. 19.(本小题满分 14 分)(2015 广东,理 19)设 a1,函数 f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点; (3)若曲线 y=f(x)在点 p 处的切线与 x 轴平行,且

19、在点 m(m,n)处的切线与直线 op 平行(o 是坐标原点),证明:ma 23-1. 解:(1)由题意可知函数 f(x)的定义域为 r,f(x)=(1+x2)ex+(1+x2)(ex)=(1+x)2ex0, 故函数 f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间. (2)a1, f(0)=1-a1+a2-a2a-a=a0. 函数 f(x)在区间(0,a)上存在零点. 又由(1)知函数 f(x)在(-,+)上单调递增, 函数 f(x)在(-,+)上仅有一个零点. (3)由(1)及 f(x)=0,得 x=-1. 又 f(-1)=2e-a,即 p(1,2e ), kop=2e010=a-2e.

20、 又 f(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-2e. 令 g(m)=em-m-1,则 g(m)=em-1, 由 g(m)0,得 m0,由 g(m)0,得 m0. 函数 g(m)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增. g(m)min=g(0)=0,即 g(m)0 在 r 上恒成立, 即 emm+1. a-2e=(1+m)2em(1+m)2(1+m)=(1+m)3, 即 2e31+m. 故 m 2e3-1. 20.(本小题满分 14 分)(2015 广东,理 20)已知过原点的动直线 l 与圆 c1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 a,b. (1)求圆 c1的圆心坐

21、标; (2)求线段 ab的中点 m 的轨迹 c 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 l:y=k(x-4)与曲线 c 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由 x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4, 从而可知圆 c1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段 ab的中点 m(x,y), 由弦的性质可知 c1mab,即 c1mom. 故点 m 的轨迹是以 oc1为直径的圆, 该圆的圆心为 c(32,0),半径 r=12|oc1|=123=32, 其方程为( 32)2+y2=(32)2, 即 x2+y2-3x=0. 又因为点 m 为线段 ab

22、的中点,所以点 m 在圆 c1内, 所以( 3)2+ 253. 易知 x3,所以53x3. 所以线段 ab的中点 m 的轨迹 c 的方程为 x2+y2-3x=0(53 3). (3)存在实数 k 满足题意. 6 / 6 由(2)知点 m 的轨迹是以 c(32,0)为圆心,32为半径的圆弧(如图所示,不包括两个端点), 且 e(53,253),f(53,253). 又直线 l:y=k(x-4)过定点 d(4,0), 当直线 l 与圆 c 相切时,由|(324)0|2+1=32,得 k=34. 又 kde=-kdf=-0(253)453=257,结合上图可知当 k34,34 257,257时,直线 l:y=k(x-4)与曲