2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷)理

1、安徽理科本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第卷时,每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5

2、毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式:如果事件a与b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b)如果事件a与b相互独立,那么p(ab)=p(a)p(b)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,理1)设i是虚数单位,z是复数z的共轭复数.若z·zi+2=2z,则z=(). a.1+ib.1-ic.-1+id.-1-i答案:a解析:设z=a+bi(a,br

3、),则由z·zi+2=2z得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+bi=1+i.2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().a.16b.2524c.34d.1112答案:d解析:开始2<8,s=0+12=12,n=2+2=4;返回,4<8,s=12+14=34,n=4+2=6;返回,6<8,s=34+16=1112,n=6+2=8;返回,8<8不成立,输出s=1112.3.(2013安徽,理3)在下列命题中,不是公理的是

4、().a.平行于同一个平面的两个平面相互平行b.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面c.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内d.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:a解析:由立体几何基本知识知,b选项为公理2,c选项为公理1,d选项为公理3,a选项不是公理.4.(2013安徽,理4)“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)内单调递增”的().a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:c解析:函数f(x)的图象有以下三种情形:a=0a>0a<0由图

5、象可知f(x)在区间(0,+)内单调递增时,a0,故选c.5.(2013安徽,理5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是().a.这种抽样方法是一种分层抽样b.这种抽样方法是一种系统抽样c.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案:c解析:五名男生成绩的平均数为15(86+94+88+92+90)=90,五名女生成绩的平均数为15(88+93+93+8

6、8+93)=91,五名男生成绩的方差为s12=(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)25=8,五名女生成绩的方差为s22=2(88-91)2+3(93-91)25=6,所以s12>s22,故选c.6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<-1或x>12,则f(10x)>0的解集为().a.x|x<-1或x>-lg 2b.x|-1<x<-lg 2c.x|x>-lg 2d.x|x<-lg 2答案:d解析:由题意知-1<10x<12,所以x<

7、lg 12=-lg 2,故选d.7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为().a.=0(r)和cos =2b.=2(r)和cos =2c.=2(r)和cos =1d.=0(r)和cos =1答案:b解析:由题意可知,圆=2cos 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=2(r)和cos =2,故选b.8.(2013安徽,理8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn

8、)xn,则n的取值范围是().a.3,4b.2,3,4c.3,4,5d.2,3答案:b解析:f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn可化为f(x1)-0x1-0=f(x2)-0x2-0=f(xn)-0xn-0,故上式可理解为y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n可看成过原点的直线与y=f(x)的交点个数.如图所示,由数形结合知识可得,为n=2,为n=3,为n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,o是坐标原点,两定点a,b满足|oa|=|ob|=oa·ob=2,则点集p|op=oa+ob,|+|1,r所表示的区域的面积是().a.22b.23c.42d

9、.43答案:d解析:以oa,ob为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使a,b两点关于x轴对称,由已知|oa|=|ob|=oa·ob=2,可得出aob=60°,点a(3,1),点b(3,-1),点d(23,0).现设p(x,y),则由op=oa+ob得(x,y)=(3,1)+(3,-1),即3(+)=x,-=y.由于|+|1,r,可得-3x3,-1y1,画出动点p(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为23×2=43.10.(2013安徽,理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于

10、x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是().a.3b.4c.5d.6答案:a解析:由f'(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x)2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图所示,x1<x2x2<x1由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.第卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.

11、(2013安徽,理11)若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=. 答案:12解析:x+a3x8的通项为c8rx8-rar(x-13)r=c8rarx8-rx-r3=c8rarx8-r-r3,8-r-r3=4,解得r=3.c83a3=7,得a=12.12.(2013安徽,理12)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin a=5sin b,则角c=. 答案:23解析:3sin a=5sin b,3a=5b.又b+c=2a,由可得,a=53b,c=73b,cos c=b2+a2-c22ab=b2+53b2-73b22×53

12、b×b=-12,c=23.13.(2013安徽,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于a,b两点.若该抛物线上存在点c,使得acb为直角,则a的取值范围为. 答案:1,+)解析:如图,设c(x0,x02)(x02a),a(-a,a),b(a,a),则ca=(-a-x0,a-x02),cb=(a-x0,a-x02).cacb,ca·cb=0,即-(a-x02)+(a-x02)2=0,(a-x02)(-1+a-x02)=0,x02=a-10,a1.14.(2013安徽,理14)如图,互不相同的点a1,a2,an,和b1,b2,bn,分别在角o的两条边上,所有anbn

13、相互平行,且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等.设oan=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是. 答案:an=3n-2解析:设soa1b1=s,a1=1,a2=2,oan=an,oa1=1,oa2=2.又易知oa1b1oa2b2,soa1b1soa2b2=(oa1)2(oa2)2=122=14.s梯形a1b1b2a2=3soa1b1=3s.所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等,且oa1b1oanbn,oa1oan=soa1b1soanbn=ss+3(n-1)s=13n-2.a1an=13n-2,an=3n-2.15.(2013安徽,理15)如图,正方体

14、abcd-a1b1c1d1的棱长为1,p为bc的中点,q为线段cc1上的动点,过点a,p,q的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号). 当0<cq<12时,s为四边形当cq=12时,s为等腰梯形当cq=34时,s与c1d1的交点r满足c1r=13当34<cq<1时,s为六边形当cq=1时,s的面积为62答案:解析:当cq=12时,d1q2=d1c12+c1q2=54,ap2=ab2+bp2=54,所以d1q=ap,又因为ad12pq,所以正确;当0<cq<12时,截面为apqm,且为四边形,故也正确,如图(1)

15、所示;图(1)如图(2),当cq=34时,由qcnqc1r得c1qcq=c1rcn,即1434=c1r1,c1r=13,故正确;图(2)如图(3)所示,当34<cq<1时,截面为五边形apqmf,所以错误;当cq=1时,截面为apc1e,图(3)可知ac1=3,ep=2,且四边形apc1e为菱形,s四边形apc1e=62,故正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(2013安徽,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cos x·sinx+4(>0)的最小正周期为.(1)求的值;

16、(2)讨论f(x)在区间0,2上的单调性.解:(1)f(x)=4cos x·sinx+4=22sin x·cos x+22cos2x=2(sin 2x+cos 2x)+2=2sin2x+4+2.因为f(x)的最小正周期为,且>0,从而有22=,故=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+4+2.若0x2,则42x+454.当42x+42,即0x8时,f(x)单调递增;当22x+454,即8x2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,8上单调递增,在区间8,2上单调递减.17.(2013安徽,理17)(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)

17、x2,其中a>0,区间i=x|f(x)>0.(1)求i的长度(注:区间(,)的长度定义为-);(2)给定常数k(0,1),当1-ka1+k时,求i长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=a1+a2,故f(x)>0的解集为x|x1<x<x2.因此区间i=0,a1+a2,i的长度为a1+a2.(2)设d(a)=a1+a2,则d'(a)=1-a2(1+a2)2.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-ka<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1&

18、lt;a1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-ka1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而d(1-k)d(1+k)=1-k1+(1-k)21+k1+(1+k)2=2-k2-k32-k2+k3<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间1-k,1+k上取得最小值1-k2-2k+k2.18.(2013安徽,理18)(本小题满分12分)设椭圆e:x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆e的焦距为1,求椭圆e的方程;(2)设f1,f2分别是椭圆e的左、右焦点,p为椭圆e上第一象限内的点,直线f2p

19、交y轴于点q,并且f1pf1q.证明:当a变化时,点p在某定直线上.解:(1)因为焦距为1,所以2a2-1=14,解得a2=58.故椭圆e的方程为8x25+8y23=1.(2)设p(x0,y0),f1(-c,0),f2(c,0),其中c=2a2-1.由题设知x0c,则直线f1p的斜率kf1p=y0x0+c,直线f2p的斜率kf2p=y0x0-c,故直线f2p的方程为y=y0x0-c(x-c).当x=0时,y=cy0c-x0,即点q坐标为0,cy0c-x0.因此,直线f1q的斜率为kf1q=y0c-x0.由于f1pf1q,所以kf1p·kf1q=y0x0+c·y0c-x0=-

20、1.化简得y02=x02-(2a2-1).将代入椭圆e的方程,由于点p(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点p在定直线x+y=1上.19.(2013安徽,理19)(本小题满分13分)如图,圆锥顶点为p,底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°,ab和cd是底面圆o上的两条平行的弦,轴op与平面pcd所成的角为60°.(1)证明:平面pab与平面pcd的交线平行于底面;(2)求coscod.(1)证明:设面pab与面pcd的交线为l.因为abcd,ab不在面pcd内,所以ab面pcd.又因为ab面pab,面pab与面pcd的交线为l,所以abl.

21、由直线ab在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)解:设cd的中点为f.连接of,pf.由圆的性质,cod=2cof,ofcd.因为op底面,cd底面,所以opcd.又opof=o,故cd面opf.又cd面pcd,因此面opf面pcd.从而直线op在面pcd上的射影为直线pf,故opf为op与面pcd所成的角.由题设,opf=60°.设op=h,则of=op·tanopf=h·tan 60°=3h.根据题设有ocp=22.5°,得oc=optanocp=htan22.5°.由1=tan 45°=2tan22.5

22、6;1-tan222.5°和tan 22.5°>0,可解得tan 22.5°=2-1,因此oc=h2-1=(2+1)h.在rtocf中,coscof=ofoc=3h(2+1)h=6-3,故coscod=cos(2cof)=2cos2cof-1=2(6-3)2-1=17-122.20.(2013安徽,理20)(本小题满分13分)设函数fn(x)=-1+x+x222+x332+xnn2(xr,nn*).证明:(1)对每个nn*,存在唯一的xn23,1,满足fn(xn)=0;(2)对任意pn*,由(1)中xn构成的数列xn满足0<xn-xn+p<1n.

23、证明:(1)对每个nn*,当x>0时,f'n(x)=1+x2+xn-1n>0,故fn(x)在(0,+)内单调递增.由于f1(1)=0,当n2时,fn(1)=122+132+1n2>0,故fn(1)0.又fn23=-1+23+k=2n23kk2-13+14k=2n23k=-13+14·2321-23n-11-23=-13·23n-1<0,所以存在唯一的xn23,1,满足fn(xn)=0.(2)当x>0时,fn+1(x)=fn(x)+xn+1(n+1)2>fn(x),故fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.由

24、fn+1(x)在(0,+)内单调递增知,xn+1<xn,故xn为单调递减数列,从而对任意n,pn*,xn+p<xn.对任意pn*,由于fn(xn)=-1+xn+xn222+xnnn2=0,fn+p(xn+p)=-1+xn+p+xn+p222+xn+pnn2+xn+pn+1(n+1)2+xn+pn+p(n+p)2=0.式减去式并移项,利用0<xn+p<xn1,得xn-xn+p=k=2nxn+pk-xnkk2+k=n+1n+pxn+pkk2k=n+1n+pxn+pkk2k=n+1n+p1k2<k=n+1n+p1k(k-1)=1n-1n+p<1n.因此,对任意pn*,都有0<xn-xn+p<1n.21.(2013安徽,理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使p(x=m)取得最大值的整数m.解:(1)因为事件a:“学生甲收到李老师所发信息”与事件b:“学生